Аналитическая геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Задача 1

Коллинеарны ли векторы , построенные по векторам , если .

Решение: Найдём координаты векторов и :

.

Найдём отношения соответствующих координат векторов и :

.

Так как координаты пропорциональны, то .

Ответ:.

Задача 2

Дан треугольник с вершинами . Найти:

а) величину угла ;

б) координаты точки пересечения медиан;

в) координаты точки пересечения высот;

г) длину высоты, опущенной из вершины ;

д) площадь треугольника ;

е) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне;

ж) систему неравенств, задающих область внутри треугольника.

Решение: Найдем уравнения сторон треугольника и угловые коэффициенты, используя уравнение прямой, заданной двумя точками:

.

Уравнение прямой : , отсюда или . Угловой коэффициент прямой равен .

Уравнение прямой : , отсюда или . Угловой коэффициент прямой равен .

Уравнение прямой: , отсюда или .

Угловой коэффициент прямой равен .

Рисунок Треугольник с вершинами .

а) вычислим внутреннюю величину угла треугольника :

, отсюда (по таблице Брадиса или с помощью инженерного калькулятора), радиан.

б) Обозначим: - точку пересечения медиан, и - середины отрезков и соответственно.

Найдем координаты середин сторон, используя формулы , и уравнения соответствующих медиан.

Точка : ,

тогда уравнение медианы : , отсюда .

Точка О: ,

тогда уравнение медианы : , отсюда .

Координаты точки пересечения медиан найдем, решая систему уравнений, задающих медианы:

, т.е.

в) Обозначим через - точку пересечения высот и .

Уравнение высоты будем искать в виде: .

Так как прямые и перпендикулярны, то . Тогда или .

Уравнение высоты будем искать в виде .

Так как прямые и перпендикулярны, то

Тогда или .

Координаты точки пересечения высот найдем, решая систему уравнений, задающих высоты:

, т.е.

г) длину высоты найдем по формуле расстояния от точки до прямой: .

У нас это точка и прямая :

(ед.).

д) площадь треугольника найдем по формуле: .

Получаем (кв.ед.).

е) так как искомая прямая параллельна стороне , то их угловые коэффициенты равны. Используя уравнение , получаем: или .

ж) Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Уравнение прямой: ; уравнение прямой : ; уравнение прямой : .

Для определения нужной полуплоскости берем любую точку, лежащую внутри треугольника, например точку (1,1), и подставляем ее координаты в уравнения прямых.

Получаем: , , .

Следовательно, система неравенств имеет вид: .

Ответ: а) радиан; б) ; в) ; г) (ед.);

д) (кв.ед.); е) ; ж) .

Задача 3

Составить канонические уравнения:

а) эллипса, большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке ;

б) гиперболы с мнимой полуосью равной 2, и фокусом ;

в) параболы, имеющей директрису .

Решение:

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид .

По условию задачи , . Для эллипса справедливо равенство .

Для нашей задачи получаем: .

Подставляя в каноническое уравнение эллипса, поучаем: .

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

По условию задачи , . Для гиперболы справедливо равенство .

Для нашей задачи получаем: .

Подставляя в каноническое уравнение гиперболы, поучаем:

в) Каноническое уравнение параболы в нашем случае имеет вид , а уравнение ее директрисы .

По условию задачи уравнение директрисы . Поэтому .

Подставляя в каноническое уравнение параболы, поучаем .

Ответ: а) ; б) ; в) .

Задача 4

По координатам вершин А (3; - 2; 2), В (1; - 3; 1), С (2; 0; 4),

D (6; - 4; 6) пирамиды АВСD найти:

а) длины ребер АВ и АС;

б) угол между векторами ;

в) объем пирамиды АВСD;

г) высоту, опущенную из вершины D на грань АВС;

д) уравнение прямой АВ;

е) уравнение плоскости ВСD;

ж) синус угла между прямой АВ и плоскостью ВСD;

з) косинус угла между плоскостью xOy и плоскостью ВСD.

Решение: Найдем координаты векторов , , :

а) Длины ребер АВ и АС найдем как длины векторов и :

, ,

т.е. (ед.), (ед.).

б) Угол между векторами и найдём, используя скалярное произведение векторов: тогда

в) Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах и , как на сторонах. Объём параллелепипеда найдём, используя смешанное произведение векторов:

.

Объём параллелепипеда равен (ед3). Тогда объём пирамиды равен (ед3).

г) Из школьного курса известна формула объёма пирамиды: . Отсюда . коллинеарность вектор треугольник площадь

Площадь основания найдём, используя векторные произведения векторов:

, то есть вектор векторного произведения имеет координаты (0, 5, -5).

(ед.2).

(ед.).

д) Для нахождения уравнения прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: . Имеем: ,

- каноническое уравнение искомой прямой.

- общее

уравнение искомой прямой.

е) Для нахождения уравнения плоскости ВСD используем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

.

Имеем:

т.е.

- искомое уравнение, или .

ж) синус угла между прямой АВ и плоскостью ВСD (это угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости) находится по формуле:

.

Получаем:

з) косинус угла между плоскостью xOy и плоскостью ВСDнайдем по формуле:

.

Получаем

.

Ответ: а); б) ; в) 5; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

Размещено на Allbest.ru