Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пошукова робота на тему:

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів

Умовний екстремум

Максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам - зв'язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції за умови, що її аргументи задовольняють умові зв'язку.

У даній задачі екстремуми функції знаходять не на всій площині, а лише на прямій.

Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції

(1.1)

При

(1.2)

За наявності умови (1.2) із двох змінних незалежною буде лише одна, наприклад, оскільки визначається із рівності (1.2) як функція. Якщо із (1.2) знайти явну залежність і підставити її в (1.1), то одержимо функцію однієї змінної, яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв'язання рівняння (1.2) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв'язання задачі на умовний екстремум - методі невизначених множників Лагранжа.

У точках екстремуму похідна має дорівнювати нулю. Враховуючи, що є функція від, знаходимо.

Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:

 (1.3)

з трьома невідомими. Із системи (1.3) визначаємо що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.

Ліві частини рівнянь (1.3) є частинними похідними функції

,

яка називається функцією Лагранжа. Система (1.2) співпадає з умовами безумовного екстремуму функції .

Із виводу рівнянь (1,3) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.

Зауваження. Описаний метод поширюється на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.

Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції змінних

за умови, що змінні зв'язані рівняннями:

(1.4)

Складемо функцію Лагранжа

і прирівняємо до нуля її частинні похідні по:

Із рівнянь (1.3) знаходимо координати критичних точок і допоміжних невідомих. Система рівнянь (1.3) є необхідними умовами умовного екстремуму.

Приклад. За яких розмірів прямокутний паралелепіпед має найбільший об'єм, якщо його повна поверхня має площу?

Р о з в ' я з о к. Нехай довжина сторін паралелепіпеда дорівнюють. Його об'єм, а площа поверхні . Потрібно знайти найбільше значення функції за умови.

Складаємо функцію Лагранжа

і прирівнюємо до нуля її частинні похідні:

Звідси знаходимо. Точка є критичною точкою функції. Оскільки поставлена задача має певний розв'язок, а критична точка лише одна, то в цій критичній точці буде екстремум.

Шуканий паралелепіпед - куб.

Знаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів

У різних областях людської діяльності широке розповсюдження мають формули, одержані на основі обробки спостережень або експериментів. Такі формули називаються емпіричними.

Нехай на основі експерименту потрібно встановити функціональну залежність величини від величини: .

Вид функції встановлюється або із теоретичних міркувань, або на основі аналізу графіка функції . Для цього слід побудувати в прямокутній декартовій системі координат точки, відповідні експериментальним значенням. Ці точки в дальшому будемо називати експериментальними. Якщо експериментальні точки розміщені на координатній площині так, як зображено на рис. 2, то доречно будувати у вигляді лінійної функції. Якщо експериментальні точки розміщені так, як показано на рис. 1, то функцію будемо шукати.

При вибраному вигляді функції залишається добрати параметри так, щоб вони якнайкраще і описували розглядуваний процес.

Рис.1 Рис.2

Найпоширенішим методом розв'язання даної задачі є метод розв'язання даної задачі є метод найменших квадратів.

Нехай експериментальні точки групуються навколо прямої (див. рис. 6.13).

Розглянемо експериментальну точку з такою самою абсцисою, але яка лежить на прямій. Її координати . Різницю ординат цих точок

, (1.4)

що являє собою відхилення точки від прямої, назвемо похибкою.

Доберемо параметри і так, щоб сума квадратів похибок

(1.5)

була найменшою.

Підставимо в (1.5) вирази помилок (1.4), одержимо

(1.6)

Тут величини, які потрібно знайти. Для того щоб функція мала найменше значення, необхідно виконати умови:

Перегрупувавши члени, подамо цю систему у вигляді

(1.7)

Ця система рівнянь називається нормальною системою методу найменших квадратів. Розв'язавши її, знаходимо і підставляємо в емпіричну формулу.

Нехай тепер експериментальні точки розміщені поблизу деякої параболи (див. рис. 1).

Для знаходження використаємо метод найменших квадратів. Відхилення за ординатою експериментальних точок від відповідних точок параболи.

Доберемо параметри так, щоб сума квадратів похибок була найменшою. Для цього необхідно виконання умов

функція лагранж найменший квадрат

(1.8)

Обчисливши частинні похідні, маємо систему рівнянь

Перегрупувавши доданки в кожному із рівнянь, одержимо нормальну систему рівнянь методу найменших квадратів для параболічної залежності:

(1.9)

Із цієї системи знаходимо і підставляємо їх в емпіричну формулу.

Размещено на Allbest.ru