Описание метода Гельфанда-Левитана

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Поведение спектра

2. Свойства собственных функций

3. Операторы преобразования

4. Метод Гельфанда-Левитана

Список использованных источников



ВВЕДЕНИЕ

Обратные задачи спектрального анализа состоят в восстановлении дифференциальных операторов по их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль не только в различных разделах математики, но и имеют много приложений в естествознании и технике.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля:

. (1)

Первые исследования по спектральной теории операторов вида (1) были выполнены в связи с уравнением, описывающим колебание струны в XIX веке, а интенсивное развитие данная теория для различных классов операторов получила век спустя. Что касается обратных спектральных задач, то основные результаты и методы здесь были получены во второй половине XX века. Созданные методы позволили решить целый ряд важных прикладных задач в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно увеличивается благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время интенсивно развивается теория обратных задач во всем мире.

Целью данной курсовой работы является описание метода Гельфанда-Левитана. Метод позволяет получить алгоритм решения обратной задачи для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля, определяемого уравнением:

и краевыми условиями:

где л - спектральный параметр; q(x), h и H вещественны;

Курсовая работа состоит из введения, четырех глав и списка использованных источников. В первой главе изучаются основные спектральные характеристики краевых задач Штурма-Лиувилля на конечном интервале. В частности, доказана теорема о существовании и асимптотическом поведении собственных значений и собственных функций. Во второй главе исследуются свойства собственных функций. Доказано, что система собственных функций является полной и образует ортогональный базис в пространстве . В третьей главе строятся операторы преобразования, которые являются эффективным инструментом в спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля. В четвертой главе приведен алгоритм решения обратной задачи методом Гельфанда - Левитана, который позволяет свести данную задачу к линейному интегральному уравнению.



1. ПОВЕДЕНИЕ СПЕКТРА

Рассмотрим краевую задачу:

L=L(q(x), h, H): (1.1)

(1.2)

Здесь л - спектральный параметр; q(x), h и H вещественны; . Оператор называется оператором Штурма-Лиувилля, а функцию q мы в дальнейшем будем называть потенциалом.

Нас интересуют нетривиальные решения краевой задачи (1.1) - (1.2).

Определение 1.1. Те значения параметра л, для которых L имеет нетривиальные решения называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями. Множество собственных значений называется спектром L.

В этом разделе мы получим свойства спектра краевой задачи L и изучим асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций. обратная задача оператор преобразование

Пусть являются решениями уравнения (1.1) при начальных условиях:

При каждом фиксированном x функции , , , являются целыми аналитическими функциями по л. Ясно, что:

(1.3)

Обозначим:

, (1.4)

Согласно формуле Остроградского-Лиувилля, вронскиан не зависит от x. Функция называется характеристической функцией краевой задачи L. Подставляя и в (1.4):

Получаем:

(1.5)

Функция является целой по л и имеет не более счетного множества нулей .

Теорема 1.1. Нули характеристической функции совпадают с собственными значениями краевой задачи L. Функции и являются собственными функциями, и существует последовательность такая, что:

(1.6)

Доказательство:

1. Пусть является нулем функции . Тогда, в силу (1.3)-(1.5) , и функции , удовлетворяют краевым условиям (1.2). Следовательно, - собственное значение, а , - соответствующие собственные функции.

2. Обратно, пусть является собственным значением L, и пусть - соответствующая собственная функция. Тогда:

Ясно, что (если бы , то , и по теореме единственности решения задачи Коши ). Без ограничения общности полагаем . Тогда , и следовательно . Поэтому (1.5) дает

.

Мы также доказали, что каждому собственному значению соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция. Ў

Обозначим:

. (1.7)

Числа называются весовыми числами, а числа называются спектральными данными краевой задачи L.

Лемма 1.1. Справедливо соотношение:

, (1.8)

где числа определяются формулой (1.6) и

.

Доказательство:

Так как:

, ,

и, следовательно, с учетом (1.5) имеем:

При получаем:

используя (1.6) и (1.7) получаем,

. Ў

Теорема 1.2. Собственные значения и собственные функции , - вещественны. Все нули являются простыми, то есть . Собственные функции соответствующие различным собственным значениям ортогональны в .

Доказательство:

Пусть и - собственные значения с собственными функциями и соответственно. Вычисляем:

так как , , то подстановка исчезает.

Поэтому:

.

Так как:

,

и так как , то имеем:

.

Далее, пусть

- невещественное собственное значение с собственной функцией

Тогда:

Так как

и , и вещественны, то:

- также собственное значение с собственной функцией . Так как , то

что невозможно. Таким образом, все собственные значения задачи L вещественны. И, следовательно, собственные функции , также вещественны, так как , , то в силу (1.8) имеем

. Ў

Пример 1.1. Пусть , и пусть

.

Тогда (1.1) - (1.2) примет вид:

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Замечание 1.1. Пусть здесь и в дальнейшем

, .

Покажем, что

, .

В самом деле, пусть

.

Тогда:

.

, то.

Аналогично для:

Лемма 1.2. При верны следующие асимптотические оценки:

(1.9)

(1.10)

равномерно по . и символы Ландау.

Доказательство:

Рассмотрим уравнение:

Метод вариаций произвольных постоянных дает:

(*)

Из (*) следует

Функция является решением задачи Коши:

(**)

Применим (*). У нас . Тогда

(1.11)

Пусть верно (1.11). Тогда:

(1.12)

И, следовательно, верно (**).

Вспомним:

, .

Умножим (1.11) на :

Обозначим:

.

При имеем:

,

или

при достаточно больших .

Поэтому:

или .

Подставляя эту оценку в правую часть (1.11) и (1.12) получаем:

и приходим к (1.9).

Аналогично получается и (1.10). Заметим, что (1.10) может быть получено, используя (1.9). В самом деле,

.

Рассмотрим функцию:

Тогда:

, .

Следовательно,

Поэтому (1.9) верно и для .

Так как:

,

то получаем (1.10). Ў

Теорема 1.3. Краевая задача имеет счетное множество собственных значений . При этом:

(1.13)

(1.14)

Здесь и в дальнейшем один и тот же символ обозначает различные последовательности из , а символ обозначает различные положительные константы, не зависящие от , и .

Доказательство:

1) Подставляя асимптотику для из (1.9) в правые части (1.11) и (1.12), вычисляем:

(1.15)

Согласно, (1.5),

.

Следовательно, в силу (1.15), имеем

(1.16)

.

2) Обозначим:

,



покажем, что:

(1.17)

(1.18)

при достаточно большом:

.

Пусть:

.

Достаточно доказать (1.17) для области:

Положим:

.

Пусть . При имеем .

Так как:

,

то при

,

.

Таким образом (1.17) доказано. Далее, используя (1.16), получаем для

и, следовательно, (1.18) доказано.

3) Обозначим:

.

В силу (1.16):

.

Согласно (1.17),

при достаточно больших . Тогда по теореме Руше число нулей функции внутри совпадает с числом нулей функции:

,

то есть равно . Таким образом, в круге:

расположено собственных значений краевой задачи . Применяя теперь теорему Руше к кругу:

,

заключаем, что при достаточно больших в лежит ровно один ноль функции , а именно:

.

В силу произвольности имеем:

(1.19)

Подставляя (1.19) в (1.16), получаем:

и, следовательно,

(1.20)

Тогда:

,

.

С помощью (1.20), вычисляем более точно:

то есть (1.13) доказано. Подставляя (1.13) в (1.15), приходим к (1.14), где:

(1.21)

Следовательно,

,

и теорема 1.3 доказана. ?

В силу (1.6) при имеем:

.

Тогда, используя (1.7), (1.14), (1.21), получаем:

Через обозначим пространство функций , таких, что функции абсолютно непрерывны и .

Теорема 1.4. Задание спектра однозначно определяет характеристическую функцию по формуле:

(1.22)

Доказательство:

Из (1.16) вытекает, что является целой по функцией порядка Ѕ и, следовательно, по теореме Адамара однозначно определяется своими нулями с точностью до постоянного множителя:

(1.23)

Рассмотрим функцию

.

Тогда:

.

Учитывая (1.13) и (1.16), вычисляем:

и, следовательно,

Подставляя это в (1.23), приходим к (1.22). Ў

Теорема 1.5. Функция удовлетворяет следующему интегральному уравнению:

(1.24)

Доказательство:

Рассмотрим уравнение:

Метод вариаций произвольных постоянных дает:

(*)

Из (*) следует:

Функция является решением задачи Коши:

(**)

Применим (*). У нас . Тогда:

.

Пусть верно (1.24). Тогда:

и, следовательно, верно (**). Ў

2. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

В этой главе доказывается, что система собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля полна и образует ортогональный базис в

Теоремы о полноте и о разложении играют важную роль при решении различных задач математической физики методом разделения переменных.

Теорема 2.1. (1) Система собственных функций краевой задачи полна в .

(2) Пусть , - абсолютно непрерывная функция. Тогда:

(2.1)

причем ряд сходится равномерно на

(3) Для ряд (2.1) сходится в , причем имеет место равенство Парсеваля

. (2.2)

Доказательство:

1) Обозначим:

и рассмотрим функцию:

.

Функция называется функцией Грина задачи . Она является ядром интегрального оператора обратного к оператору Штурма-Лиувилля, то есть функция дает решение краевой задачи:

(2.3)

это легко проверяется дифференцированием. В самом деле:

,

,

,

Учитывая (1.6) и используя теорему 1.2 вычисляем:

В силу (1.8) имеем:

(2.4)

2) Пусть функция такова, что:

.

Тогда с учетом (2.4) и, следовательно, при каждом фиксированном функция является целой по л. Получим теперь оценку для . Ранее было получено:

Используя представление для , вычисляем при :

.

Используя принцип максимума модуля для аналитических функций и теорему Лиувилля, заключаем, что . Отсюда, и из (2.3) следует, что на . Таким образом, утверждение (1) доказано.

3) Пусть теперь - произвольная абсолютно непрерывная функция. Так как и - решения уравнения (1.1), то функцию можно преобразовать к виду:



Интегрируем дважды по частям слагаемые со вторыми производными:

.

Подстановки в точках , , дают:

,

,

.

Исходя из этого получаем:

(2.5)

Используя (1.9), (1.10) и (1.18), получаем при фиксированном и достаточно большом

(2.6)

Покажем, что:

(2.7)

Предположим сначала, что абсолютно непрерывна на . В этом случае интегрирование по частям дает:

В силу (1.9), (1.10) и (1.18) получаем:

Пусть теперь . Зафиксируем и выберем абсолютно непрерывную функцию так, что:

Тогда при имеем:

Следовательно, существует такое, что:

при

В силу произвольности приходим к (2.7).

Рассмотрим контурный интеграл:

,

(с обходом против часовой стрелки). Из (2.5) - (2.7) вытекает:

(2.7)

С другой стороны, можем вычислить с помощью теоремы о вычетах. В силу (2.4) имеем:

.

Сравнивая это с (2.8), приходим к (2.1), причем ряд сходится равномерно на , то есть утверждение (2) доказано.

4) Система собственных функций полна и ортогональна в; поэтому она образует ортогональный базис в и справедливо равенство Парсеваля (2.2).

3. ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Важную роль в теории обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля играют так называемые операторы преобразования. Они связывают решения двух различных уравнений Штурма-Лиувилля при всех . В этой главе мы построим операторы преобразования, которые нам потребуются в следующей главе.

Теорема 3.1. Для функции имеет место представление:

, (3.1)

где - вещественная непрерывная функция, причем:

(3.2)

Доказательство:

Из (1.11) при вытекает, что функция является решением следующего интегрального уравнения:

. (3.3)

Так как:

,

то (3.3) примет вид:

,

и, следовательно,

.

Метод последовательных приближений дает:

, (3.4)

. (3.5)

Покажем по индукции, что:

(3.6)

где функции не зависят от .

Вычислим , используя соотношение:

,

Получим:

Замена переменных во втором интеграле дает:

.

Меняя порядок интегрирования во втором интеграле получаем:

Таким образом (3.6) верно, при , где:

(3.7)

Предположим теперь, что (3.6) верно при некотором . Тогда, подставляя (3.6) в (3.5), вычисляем:

Замена переменных:

и

соответственно приводят к равенству:

Меняя порядок интегрирования, получаем:

(3.8)

Подставляя (3.6) в (3.4), приходим к (3.1), где:

(3.9)

Из (3.7) и (3.8) вытекает:

.

В самом деле, (3.7) дает при :

.

Далее, если при некотором оценка для верна, то в силу (3.8) имеем:

Таким образом, ряд (3.9) сходится абсолютно и равномерно при , и функция является непрерывной. Более того, из (3.7)-(3.9) следует, что гладкость функции совпадает с гладкостью функции . Так как согласно (3.7) и (3.8):

,

то приходим к (3.2). Ў

Оператор Т, определяемый формулой:

,

отображает функцию , которая является решением уравнения с нулевым потенциалом, в функцию , которая является решением уравнения (1.1) с некоторым потенциалом , то есть:

.

Оператор Т называется оператором преобразования для . Важно, что ядро не зависит от л.

Теорема 3.2. Для функций и имеют место представления:

(3.10)

(3.11)

где и - вещественные непрерывные функции с той же гладкостью, что и функция , причем:

, (3.12)

, (3.13)

Доказательство:

Функция удовлетворяет уравнению (1.24):

,

,

и, следовательно,

.

Метод последовательных приближений дает:

, (3.14)

(3.15)

Покажем по индукции, что:

(3.16)

где функции не зависят от .

Вычислим , используя соотношение:

,

Получим:

Замена переменных во втором интеграле дает:

.

Меняя порядок интегрирования во втором интеграле получаем:

Таким образом (3.16) верно, при , где:

(3.17)

Предположим теперь, что (3.16) верно при некотором . Тогда, подставляя (3.16) в (3.15), вычисляем:

Замена переменных:

и

соответственно приводят к равенству:

Меняя порядок интегрирования, получаем:

(3.18)

Подставляя (3.16) в (3.14), приходим к (3.10), где:

(3.19)

Из (3.17) и (3.18) вытекает:

.

Доказательство, аналогично, доказательству того, что:

из теоремы 3.1.

Таким образом, ряд (3.14) сходится абсолютно и равномерно при , и мы приходим к (3.10) и (3.13). Причем функция является непрерывной. Более того, из (3.17)-(3.19) следует, что гладкость функции совпадает с гладкостью функции .

Соотношение (3.11) может быть получено прямо из (3.1) и (3.10):

.

Полагая здесь , приходим к (3.12). Ў

4. МЕТОД ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА

В этой главе приведем алгоритм решения обратной задачи методом Гельфанда-Левитана. Метод, в котором используются операторы преобразования, позволяет обратную задачу свести к линейному интегральному уравнению относительно ядра оператора преобразования.

Для описания метода нам потребуется следующая лемма.

Лемма 4.1. Пусть даны числа вида:

(4.1)

Обозначим:

, (4.2)

Тогда .

Доказательство:

Обозначим:

.

,

то преобразуем к виду:

,

,

, (4.3)

,

то ряды в (4.3) сходятся абсолютно и равномерно на , причем . Следовательно, . Ў

Вспомним краевую задачу:

L=L(q(x), h, H),

то есть:

Пусть - спектральные данные ,

.

Будем решать обратную задачу восстановления по заданным спектральным данным . В части 1 было показано, что спектральные данные обладают свойствами:

,

(4.4)

. (4.5)

Более точно:

,

то есть главные части зависят линейно от потенциала.

Рассмотрим функцию:

, (4.6)

Так как:

,

то в силу леммы 4.1 функция является непрерывной, и

.

Теорема 4.1. При каждом фиксированном ядро из представления (3.11) удовлетворяет линейному интегральному уравнению:

(4.7)

Это уравнение называется уравнением Гельфанда-Левитана.

Таким образом, теорема 4.1 позволяет свести нашу обратную задачу к решению уравнения (4.7). Отметим, что (4.7) является интегральным уравнением Фредгольма с параметром .

Доказательство:

Разрешая соотношение (3.11) относительно , получаем:

, (4.8)

где - непрерывная функция. Используя (3.11) и (4.8), вычисляем:

,

Пусть , тогда согласно теореме 2.1

.

Кроме того, равномерно по :

Доопределим при . В силу произвольности приходим к соотношению:

При это дает (4.7) Ў

Приведем алгоритм решения обратной задачи.

Алгоритм 4.1.

(1) По заданным числам строим функцию по формуле (4.6)

(2) Находим функцию из уравнения (4.7)

(3) Вычисляем и по формулам:

, (4.9)

(4.10)



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Юрко В.А., Введение в теорию обратных спектральных задач. - Москва, ФМЛ, 2007.

2. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. - Известия АН СССР, сер. матем. 15, 1951, 309-306.

3. Левитан Б.М., Обратные задачи Штурма-Лиувилля. - Москва, Наука, 1984.

4. Марченко В.А., Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка. - Труды московского математического общества 1, 1952, 327-420.

5. Марченко В.А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. - Киев, Наукова Думка, 1977.

6. Levinson N., The inverse Sturm-Liouville problem. - Math. Tidsskr. 13, 1949, 25-30.

7. Привалов И.И., Введение в теорию функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1967.

8. Титчмарш Е., Теория функций. - М.: Наука, 1980.

9. Левин Б.Я., Целые функции (курс лекций). - Москва, 1971.

Размещено на Allbest.ru