Свойства интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. Найти неопределенный интеграл

интеграл экстремум дифференциальный уравнение

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим фигуру, ограниченную указанными линиями:

Вычисляем площадь фигуры:

.

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

.

Значит, интеграл расходится.

Задание 4. Найти направление, в котором функция возрастает в точке быстрее всего

Необходимо найти градиент, т.е. его направление является направлением наискорейшего подъема (возрастания).

Имеем:

,

;

,

;

,

.

Тогда, или .

Задание 5. Найти экстремум функции при условии, что её аргументы удовлетворяют уравнению

Составляем функцию Лагранжа:

.

Составляем систему уравнений и решаем её:

,

,

.

.

Обратимся к достаточным условиям экстремума:

;

;

.

Тогда, .

В точке , значит функция z имеет условный минимум;

В точке , значит в этой точке функция z имеет условный максимум.

;

.

Задание 6. Вычислить , где область D ограничена линиями

Построим область D:

.

Задание 7. Вычислить , где область D ограничена поверхностями

Построим область D.

- эллиптический параболоид; - круговой цилиндр; - плоскость x0y.

Вычисляем интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам:

.

Здесь .

Уравнение эллиптического параболоида примет вид:

.

Уравнение кругового цилиндра запишется так:

.

Новые переменные изменяются в следующих пределах:

(прямая параллельная оси 0z, пересекающая область D, входит при z=0 и выходит из параболоида ).

Таким образом, получаем:

.

Задание 8. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии L от точки A до точки B

, где .

,

где y(x) - уравнение прямой от А до В.

Составим уравнение прямой АВ: .

, т.е. .

Тогда вычисляем искомый интеграл :

.

Задание 9. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию

.

Преобразуем уравнение:

,

,

,

.

Пусть , тогда .

Подставим в уравнение:

.

Решаем уравнение:

.

или .

Теперь решаем уравнение ,

.

Таким образом, - общее решение уравнения.

Найдем частное решение, вычислим С при условии :

, т.е. .

Таким образом, частное решение удовлетворяющее условию имеет вид:

.

Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение будем искать в виде: , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение исходного уравнения.

Найдем : .

Решаем характеристическое уравнение: .

Корни уравнения действительные и равные, тогда решение будет иметь вид: .

Находим частное решение . Правая часть есть формула вида .

В этом случае ищем в виде:

,

т.к. степень в экспоненте не является корнем характеристического уравнения. Рассчитаем А, В и С.

;

.

Подставим в уравнение:

,

.

Таким образом .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

Список литературы

1 Высшая математика: Общий курс: учебник / Под ред. С.А. Самаля. - Минск: Выш. шк., 2000. - 351 с.

2 Гусак, А.А. Высшая математика: учебник / А.А. Гусак. - 4-е изд. - Минск: ТетраСистемс, 2003. - Т. 1. - 544 с.

3 Гусак, А.А. Высшая математика: учебник / А.А. Гусак. - 4-е изд. - Минск: ТетраСистемс, 2004. - Т. 2. - 448 с.

4 Гусак, А.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. - 5-е изд. - Минск: ТетраСистемс, 2004. - 640 с.

5 Жевняк, Р.М. Высшая математика: Функции многих переменных. Интегральное исчисление функций одной и многих переменных. Векторный анализ: учебник / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. - Минск: Выш. шк., 1993. - 411 с.

6 Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В.А. Болтов [и др.]; под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - 2-е изд. - М.: Наука, 1986. - Т. 1. -464 с.

7 Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / В.А. Болтов [и др.]; под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - 2-е изд. - М.: Наука, 1986. - Т. 2. -368 с.

8 Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник / В.С. Шипачев. - 7-е изд. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с.

Размещено на Allbest.ru