Особые значения параметров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

на тему: "Особые значения параметров"

1. Критические значения параметров

Определение 14. В уравнении (неравенстве ) с параметрами из пространства ? и переменными из пространства значение параметров называется критическим, если для него выполняется одно из следующих условий:

1) соответствующее частное уравнение (неравенство) не определено;

2) частное уравнение (неравенство ) является особым типом Ш или типом ;

3) для типа неособых частных уравнений (частных неравенств) содержащего уравнение (неравенство ) все упорядоченные значения параметров из множества удовлетворяют некоторому уравнению .

Пример 14. Найти множество всех критических точек уравнения

.

Решение. В данном случае

Пример 15. Найти множество всех критических точек уравнения:

.

Решение. Коэффициент при равен нулю при , правая часть равна нулю при , поэтому , причём:

для частные уравнения имеют тип Ш;

для частные уравнения имеют тип .

Пример 16. Найти множество всех критических точек уравнения

.

Решение. Значениям параметра из удовлетворяющих уравнению соответствует тип частных уравнений с решением:

.

В случае , . Следовательно .

Пример 17. Найти множество всех критических точек уравнения:

.

Решение. Очевидно, что в этом случае:

.

Для этих пар соответствующие частные уравнения не определены.

Пример 18. Найти множество всех критических точек неравенства:

.

Решение. Если , то неравенство не определено.

Если , то неравенство является особым типа .

При , множество:

.

определяет решение частных неравенств. Следовательно

Множества критических значений параметров могут быть как конечными, так и бесконечными.

2. Граничные значения параметров

Определение 15. На числовой прямой для произвольной точки и открытый промежуток называется - окрестностью точки .

На плоскости для произвольной точки и открытый круг

,

называется - окрестностью точки . В произвольном пространстве точек - окрестностью точки будем называть множество

Определение 16. Точку называют изолированной точкой множества , если существует - окрестность точки , не имеющая точек множества , отличных от точки .

Точка называется граничной множества , если всякая - окрестность точки содержит точки, как принадлежащие , так и не принадлежащие ему.

Точка называется внутренней точкой множества , если существует - окрестность точки , состоящая только из точек .

Множество точек называется открытым множеством, если каждая точка этого множества является внутренней в нём.

В естественной топологии действительной прямой всякая изолированная точка является граничной.

Определение 17. В уравнении (неравенстве ) с параметрами из пространства ? и переменными из пространства значение параметров называется граничным, если для него выполняется одно из следующих условий:

1) точка является граничной множества всех значений параметров, для которых соответствующие частные уравнения (неравенства) не определены;

2) точка является граничной множества всех значений параметров, для которых соответствующие частные уравнения (неравенства) являются особыми типа Ш или ;

3) для типа неособых частных уравнений (частных неравенств) содержащего уравнение (неравенство ) множество значений параметров не имеет внутренних точек (состоит из изолированных точек).

Примечание. Если множество всех критических значений параметров принадлежит некоторой линии на плоскости или является конечным, то такие значения параметров являются граничными.

По определению граничные точки параметров являются критическими. В примере 14 для множества всех критических значений, не входящих в область допустимых значений параметра (изолированная точка) и (граничная точка) являются граничными значениями.

В примере 15 промежуток - множество критических значений параметра с особыми частными уравнениями типа Ш, и - граничные точки.

В общем случае не всякое критическое значение параметров является граничным. Однако в некоторых уравнениях и неравенствах они могут совпадать (пример 18).

Критические и граничные значения параметров выявляются в процессе решения уравнений и неравенств с параметрами.

Уравнение возникает в результате равносильных преобразований уравнений и неравенств.

Граничные значения помимо фиксирования значений параметров с неопределёнными или особыми частными уравнениями (неравенствами) разбивают область допустимых значений на открытые области, которым соответствуют частные уравнения (неравенства) одного типа.

Таким образом, критические и граничные значения параметров позволяют осуществить классификацию частных уравнений (неравенств) по типам и поиск общих решений в них.

3. Граничные точки равносильных уравнений и неравенств

Решение уравнений и неравенств с параметрами заключается в поиске граничных точек. Это осуществляется в процессе равносильных преобразований.

Лемма 1. Если уравнение с параметрами из пространства ? и переменными из пространства получено из уравнения при помощи равносильных преобразований, то их множества граничных точек совпадают.

Доказательство. По определению равносильных уравнений с параметрами, области допустимых значений параметров в них совпадают. Тогда будут равными множества критических значений параметров, для которых частные уравнения не определены.

Пусть для допустимых значений параметров частное уравнение является особым типа Ш или . Ввиду равносильности уравнений значения параметров являются критическими и в уравнении . Следовательно, граничные точки их критических областей будут одни и те же.

Предположим теперь, что неособое частное уравнение принадлежит типу , для которого все упорядоченные значения параметров множества удовлетворяют уравнению . Так как каждому значению параметров соответствует частное уравнение , равносильное уравнению , то частным уравнениям типа соответствуют равносильные им частные уравнения типа и . Т. е. и неособые частные уравнения имеют соответствующие равные множества значений параметров. Из равенства множеств вытекают совпадения их граничных точек. Лемма доказана.

Аналогичными рассуждениями можно доказать соответствующий результат и для неравенств.

Лемма 2. Пусть неравенство с параметрами из пространства ? и переменными из пространства получено из неравенства при помощи равносильных преобразований. Тогда множества граничных значений параметров в неравенствах совпадают.

4. Графическое решение уравнений и неравенств с параметрами

Пусть функция двух переменных и на множестве действительных чисел. Всякой упорядоченной паре значений переменных и из области определения функция ставит в соответствие действительное число . В области определения функции выделим множество всех упорядоченных пар с фиксированной второй координатой . Функция задаёт отображение множества в множество действительных чисел, т.е. некоторую частную функцию от переменной .

Понятие частной функции позволяет рассматривать функцию двух переменных как совокупность частных функций для всевозможных значений переменной . Аналогично можно рассматривать и функции большего числа переменных.

Определение 18. Функция

переменных называется функцией с переменными и параметрами , если для каждых значений переменных необходимо исследовать соответствующую частную функцию переменной .

Для функции множество всех точек образует некоторую поверхность - график функции в системе координат . Для частной функции множество точек есть линия пересечения этой поверхности и плоскости , параллельной плоскости . Проекция этой линии на плоскость в геометрии называется сечением поверхности плоскостью . Сечение поверхности, т. е. - множество точек плоскости , является графиком частной функции .

Таким образом, всякому допустимому значению параметра в плоскости соответствует график частной функции - сечение поверхности плоскостью . В плоскости функция определяется совокупностью графиков частных функций для всевозможных допустимых значений параметра .

Графический подход к решению уравнения (неравенства ) как совокупности частных уравнений (неравенств) заключается в том, что для всевозможных значений параметров определяются по осям переменных из точки пересечения графиков соответствующих частных функций и , являющиеся решением частных уравнений (границей решений неравенств). Поскольку графики частных функций - некоторые сечения поверхности, то метод называют также методом сечений.

Наиболее часто решение уравнения вида графическим методом осуществляется в случаях, когда или . критическая граничное множество параметр

В первом случае определяются точки пересечения фиксированного графика с графиками частных функций , во втором - точки пересечения графиков частных функций и семейства гиперплоскостей , параллельных осям .

Особенно эффективен графический метод решения для случая одного параметра. Уже с двумя параметрами исследование сечений выходит за рамки трёхмерной системы координат.

Пример 19. Исследовать следующую функцию с параметром:

.

Решение. Данная функция двух переменных и в системе координат определяет некоторую поверхность. Сечения поверхности для всевозможных значений переменной в плоскости определяет совокупность графиков частных функций. Так, для частная функция

,

определяет единственную точку , для графиком функции

,

является положительная полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1. Нетрудно заметить, что для всех значений параметра частная функция будет представлять собой график аналогичной полуокружности с радиусом .

Пример 20. Решить графическим способом уравнение с параметром:

.

Решение. Представим уравнение в виде

,

и рассмотрим в системе координат параболу:

,

и семейство прямых:

,

(рис. 4.). Положение параболы не зависит от значений , а данные прямые в зависимости от параметра могут принимать различные положения, оставаясь параллельными оси . В положении () прямая не пересекается с параболой и, следовательно, уравнение не имеет решений. В положении () графики пересекаются в единственной точке .

В положении графики пересекаются в двух точках:

.

Таким образом, можем записать все характеристики уравнения.

Ответ:

Тип

Тип

Тип .

Размещено на Allbest.ru