Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ
Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ìåòîäà òðàïåöèé è ìåòîäà ïàðàáîë äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Ðàñ÷åò è ñðàâíåíèå àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé îøèáîê ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ. Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé è àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòåé.
| Ðóáðèêà | Ìàòåìàòèêà |
| Âèä | ìåòîäè÷êà |
| ßçûê | ðóññêèé |
| Äàòà äîáàâëåíèÿ | 27.08.2017 |
| Ðàçìåð ôàéëà | 255,1 K |
Îòïðàâèòü ñâîþ õîðîøóþ ðàáîòó â áàçó çíàíèé ïðîñòî. Èñïîëüçóéòå ôîðìó, ðàñïîëîæåííóþ íèæå
Ñòóäåíòû, àñïèðàíòû, ìîëîäûå ó÷åíûå, èñïîëüçóþùèå áàçó çíàíèé â ñâîåé ó÷åáå è ðàáîòå, áóäóò âàì î÷åíü áëàãîäàðíû.
Ðàçìåùåíî íà http://www.allbest.ru/
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Áðÿíñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ èíæåíåðíî-òåõíîëîãè÷åñêàÿ àêàäåìèÿ
Êàôåäðà ìàòåìàòèêè
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ
ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêîé ðàáîòû ïî òåìå:
"Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ"
Áðÿíñê 2003
Ââåäåíèå
Ïðè ðåøåíèè ðÿäà ôèçè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ çàäà÷ âñòðå÷àþòñÿ îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Êðîìå òîãî, â íåêîòîðûõ âàæíûõ çàäà÷àõ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè êîòîðûõ íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè.
Íàèáîëåå óïîòðåáëÿåìûìè ïðèáëèæåííûìè ìåòîäàìè âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ ÿâëÿþòñÿ: ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ìåòîä òðàïåöèé è ìåòîä ïàðàáîë (Ñèìïñîíà).
Îñíîâíàÿ èäåÿ ýòèõ ìåòîäîâ çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ôóíêöèåé áîëåå ïðîñòîé ïðèðîäû - ìíîãî÷ëåíîì ìàëîé ñòåïåíè (0, 2, 3, …).
Ðàçìåùåíî íà http://www.allbest.ru/
Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ
1. Ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ
Ðàçîáüåì îòðåçîê íà ðàâíûõ ÷àñòåé ïðè ïîìîùè òî÷åê:
, , , .
Ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå èíòåãðàëà ñóììîé:
ãäå - îñòàòî÷íûé ÷ëåí, êîòîðûé â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ó âòîðîé íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé ðàâåí:
.
Äëÿ ïðèáëèæåííûõ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðèìåíÿåòñÿ ôîðìóëû:
(1)
, (2)
Èç ðèñóíêà ÿñíî, ÷òî åñëè - ïîëîæèòåëüíàÿ è âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî ôîðìóëà (1) âûðàæàåò ïëîùàäü ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, ñîñòàâëåííîé èç «âõîäÿùèõ» ïðÿìîóãîëüíèêîâ, à ôîðìóëà (2) - ïëîùàäü ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, ñîñòîÿùåé èç «âûõîäÿùèõ» ïðÿìîóãîëüíèêîâ.
2. Ìåòîä òðàïåöèé
Ðàçîáüåì îòðåçîê íà ðàâíûõ ÷àñòåé ïðè ïîìîùè òî÷åê:
, , , .
Ìåòîä òðàïåöèé çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå èíòåãðàëà ñóììîé:
,
ãäå - îñòàòî÷íûé ÷ëåí, êîòîðûé ðàâåí:
.
Äëÿ ïðèáëèæåííûõ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðèìåíÿåòñÿ ôîðìóëà:
3. Ìåòîä ïàðàáîë (ìåòîä Ñèìïñîíà)
Ðàçìåùåíî íà http://www.allbest.ru/
à) ×åðåç ëþáûå òðè òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè ïðîõîäèò òîëüêî îäíà ïàðàáîëà .
á) Âûðàçèì ïëîùàäü ïîä ïàðàáîëîé íà îòðåçêå ÷åðåç :
Ó÷èòûâàÿ çíà÷åíèÿ è èç ïóíêòà à) ñëåäóåò:
.
â) Ðàçîáüåì îòðåçîê íà ðàâíûõ ÷àñòåé ïðè ïîìîùè òî÷åê:
, , , .
Ìåòîä ïàðàáîë çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå èíòåãðàëà ñóììîé:
,
ãäå - îñòàòî÷íûé ÷ëåí, êîòîðûé â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ó ôóíêöèè ÷åòâåðòîé íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé ðàâåí: .
Äëÿ ïðèáëèæåííûõ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðèìåíÿåòñÿ ôîðìóëà:
.
Ñîäåðæàíèå ÐÃÐ «Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ»
Ñòóäåíòó ïðåäëàãàåòñÿ ðàáîòà, ñîñòîÿùàÿ èç ÷åòûðåõ ýòàïîâ:
1 ýòàï - òî÷íîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
2 ýòàï - ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îäíèì èç ìåòîäîâ: ïðÿìîóãîëüíèêîâ èëè òðàïåöèé.
3 ýòàï - ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ìåòîäîì ïàðàáîë.
4 ýòàï - ðàñ÷åò è ñðàâíåíèå àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé îøèáîê ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ: , ãäå - òî÷íîå ðåøåíèå èíòåãðàëà, - çíà÷åíèå èíòåãðàëà, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ.
Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè.
Âàðèàíòû è îáðàçåö âûïîëíåíèÿ ÐÃÐ ïðèâåäåíû íèæå.
Âàðèàíòû
|
¹ âàðèàíòà |
f(x) |
a |
b |
Øàã h |
|
|
1 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
2 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
3 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
4 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
5 |
0 |
ð |
0.1ð |
||
|
6 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
7 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
8 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
9 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
10 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
11 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
12 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
13 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
14 |
1 |
2 |
0.1 |
||
|
15 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
16 |
1 |
2 |
0.1 |
||
|
17 |
|
0 |
1 |
0.1 |
|
|
18 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
19 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
20 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
21 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
22 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
23 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
24 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
25 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
26 |
0 |
ð |
0.1ð |
||
|
27 |
1 |
2 |
0.1 |
||
|
28 |
0 |
1 |
0.1 |
||
|
29 |
0 |
ð/2 |
0.05ð |
||
|
30 |
0 |
1 |
0.1 |
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ ÐÃÐ
Çàäàíèå. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
1. Òî÷íîå âû÷èñëåíèå:
2. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ïðÿìîóãîëüíèêîâ:
,
,
Ñîñòàâèì òàáëèöó:
|
¹ |
xi |
yi = f (xi) |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0,1 |
0,010005 |
|
|
2 |
0,2 |
0,04016 |
|
|
3 |
0,3 |
0,091207 |
|
|
4 |
0,4 |
0,165041 |
|
|
5 |
0,5 |
0,265165 |
|
|
6 |
0,6 |
0,396981 |
|
|
7 |
0,7 |
0,567851 |
|
|
8 |
0,8 |
0,786966 |
|
|
9 |
0,9 |
1,065081 |
|
|
10 |
1 |
1,414214 |
Ïî ïåðâîé ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïîëó÷àåì:
˜ 0,1 = 0,1·3,062514 = 0,306251.
Ïî âòîðîé ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïîëó÷àåì:
˜ 0,1 = 0,1· 4,802669 = 0,480267.
 äàííîì ñëó÷àå ïåðâàÿ ôîðìóëà äàåò çíà÷åíèå èíòåãðàëà ñ íåäîñòàòêîì, âòîðàÿ - ñ èçáûòêîì.
Âû÷èñëèì îòíîñèòåëüíóþ è àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòè.
I = ,
, .
, .
3. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå òðàïåöèé
 íàøåì ñëó÷àå ïîëó÷àåì:
˜ 0,1 = =0,1 = 0,1·4,095562 = =0,409556.
Âû÷èñëèì îòíîñèòåëüíóþ è àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòè.
I =
, .
4. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå Ñèìïñîíà
 íàøåì ñëó÷àå ïîëó÷àåì:
˜ =
= = 0,406325.
Âû÷èñëèì îòíîñèòåëüíóþ è àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòè.
I =
, .
ïîãðåøíîñòü èíòåãðàë òðàïåöèÿ ïðèáëèæåííûé
 äåéñòâèòåëüíîñòè,
= (ñ òî÷íîñòüþ äî 20 çíàêà)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàçáèåíèè îòðåçêà íà 10 ÷àñòåé ïî ôîðìóëå Ñèìïñîíà ìû ïîëó÷èëè 5 âåðíûõ çíàêîâ; ïî ôîðìóëå òðàïåöèé - òðè âåðíûõ çíàêà; ïî ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâ ìû ìîæåì ðó÷àòüñÿ òîëüêî çà ïåðâûé çíàê.
Ëèòåðàòóðà
1. Áàâðèí È.È., Ìàòðîñîâ Â.Ë. Îáùèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1995. 464 ñ.
2. Ãóñàê À.À. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ìèíñê: Âûøåéøàÿ øêîëà, 1988. ×.1. 246 ñ.
3. Êóäðÿâöåâ Â.À., Äåìèäîâè÷ Á.Ï. Êðàòêèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ì.: Íàóêà, 1986. 576 ñ.
4. Ïèñêóíîâ Í.Ñ. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèÿ äëÿ âòóçîâ. Ì.: Íàóêà, Ò.1. 1985. 432 ñ.
Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru
Ïîäîáíûå äîêóìåíòû
Âû÷èñëåíèå îòíîñèòåëüíîé è àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè òàáëè÷íûõ îïðåäåë¸ííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåë¸ííûõ èíòåãðàëîâ: ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, ïàðàáîë (ìåòîä Ñèìïñîíà). Îöåíêà òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ "íå áåðóùèõñÿ" èíòåãðàëîâ.
êóðñîâàÿ ðàáîòà [187,8 K], äîáàâëåí 18.05.2019Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. ×èñëåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé. Ïðèìåíåíèå ïàêåòà Mathcad äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, ïðîâåðêà ðåçóëüòàòîâ âû÷èñëåíèé ñ ïîìîùüþ Mathcad.
êóðñîâàÿ ðàáîòà [1,0 M], äîáàâëåí 11.03.2013Èññëåäîâàíèå ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Îáùàÿ ñõåìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî, âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííûõ è êðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Ðàçðàáîòêà ïðîãðàììû, âûïîëíÿþùåé çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé íåêîòîðûõ ïðèìåðîâ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ.
êóðñîâàÿ ðàáîòà [349,3 K], äîáàâëåí 12.10.2009Ïîñòàíîâêà çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ îïðåäåë¸ííûõ èíòåãðàëîâ îò çàäàííûõ ôóíêöèé. Êëàññèôèêàöèÿ ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ è èçó÷åíèå íåêîòîðûõ èç íèõ: ìåòîäû Íüþòîíà-Êîòåñà (ôîðìóëà òðàïåöèé, ôîðìóëà Ñèìïñîíà), êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû Ãàóññà.
ðåôåðàò [99,0 K], äîáàâëåí 05.09.2010Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü: îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà è åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Ïðèáëèæ¸ííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ. Ôîðìóëà ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, ïàðàáîë. Ïðîãðàììà äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà ìåòîäîì òðàïåöèé â ñðåäå ïàêåòà Matlab. Öèêë if è for.
êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà [262,8 K], äîáàâëåí 05.01.2015Ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ðàáîòà ñ ïðèáëèæ¸ííûìè âåëè÷èíàìè. Ïîíÿòèå àáñîëþòíîé, ïðåäåëüíîé àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæ¸ííîãî ÷èñëà. Âûâåäåíèå ôîðìóëû ïðåäåëüíîé àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòåé äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè.
êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà [85,3 K], äîáàâëåí 05.09.2010Ïîñòðîåíèå êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíè òî÷íîñòè. Îïðåäåëåíèå àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè óêàçàííîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû. Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé íà ïðèìåðå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà.
ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà [195,9 K], äîáàâëåí 21.12.2015Ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà. Ïðèíöèï ðàáîòû ìåòîäà Ìîíòå–Êàðëî. Ïðèìåíåíèå äàííîãî ìåòîäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ n–ìåðíîãî èíòåãðàëà. Àëãîðèòì ðàñ÷åòà èíòåãðàëà. Ãåíåðàòîð ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë ïðèìåíèòåëüíî ê ìåòîäó Ìîíòå–Êàðëî.
êóðñîâàÿ ðàáîòà [100,4 K], äîáàâëåí 12.05.2009Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ â äðåâíîñòè. Ïîíÿòèå ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè. Îñíîâíàÿ òåîðåìà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííûõ è îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ è ìåòîäû èõ âû÷èñëåíèÿ, ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Òàáëèöà èíòåãðàëîâ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
ïðåçåíòàöèÿ [525,7 K], äîáàâëåí 11.09.2011Îêðóãëåíèå çàäàííîãî ÷èñëà äî øåñòè, ïÿòè, ÷åòûðåõ è òðåõ çíàêîâ. Ðàñ÷åò ïîãðåøíîñòåé ïîñëå êàæäîãî îêðóãëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè u ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî âñå çíàêè îïåðàíäîâ a, b, c è d âåðíû.
êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà [131,5 K], äîáàâëåí 02.05.2012
