Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Означення неперервності функцій

Нехай функція визначена в точці і деякому околі, що містить точку . Знайдемо значення функції в точці , яке позначимо Далі, надамо значенню приріст , тобто знайдемо нове значення

,

де приріст може бути як додатним (тоді

лежить правіше ), так і від'ємним (тоді

знаходиться лівіше ). Тепер обчислимо нове значення функції

і знайдемо різницю між і яку позначимо через , тобто (див. рис. 28),

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 28

Означення 1. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в точці , а також в деякому околі цієї точки, і якщо н.м. приросту аргумента відповідає н.м. приріст функції , тобто

, (1)

або рівносильне цьому

(2)

Перетворимо рівність (2)

,

то , і крім того,

(стала!), то далі маємо

(3)

Отже, якщо функція неперервна в точці , то границя функції дорівнює значенню цієї функції в точці . Якщо ж врахувати, що

,

то рівність (3) запишеться

(4)

Рівність (4) означає, що для неперервної функції можна переходити до границі під знаком функції.

Довести, що функції

є неперервними в довільній точці .

1. Нехай

.

Тоді для знаходимо

.

Звідки знаходимо

Із

неперервна функція для

Аналогічно можна довести, що неперервними є функції

натуральне).

2. Нехай

.

Подібно попередньому для знаходимо

,

при .

3. Нехай

.

Для маємо

,

,

див. формулу 8 таблиці еквівалентних із 3.12 при .

4. Нехай

Для

.

Див. формулу 7 із 3.12. таблиці еквівалентних н.м.

Отже,

неперервна функція для . Враховуючи (4), можна сказати, що

це і було використано в 3.12 при доведенні формули (1).

Подібним чином можна довести неперервність решти основних елементарних функцій в довільній точці , де ці функціїї визначені.

Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу , де , то кажуть, що функція неперервна на цьому інтервалі.

Якщо функція визначена в точці і при цьому

,

то говорять, що неперервна справа в точці . Якщо

,

то говорять, що неперервна зліва в точці .

Якщо функція неперервна на інтервалі і неперервна на кінцях цього інтервалу, відповідно справа і зліва, то говорять, що функція неперервна на всьому відрізку .

Наведемо без доведення наступну теорему.

Теорема. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.

2. Розривні функції. Види розривів

Якщо в якійсь точці для функції не виконується хоча б одна із умов неперервності, тобто якщо в точці функція невизначена, або не існує границя , або

при довільному прямуванні , хоча вирази і існують, то при функція розривна. Точка називається точкою розриву функції.

Розрізняють такі три види розривів:

1) усувний розрив;

2) розрив І-го роду або скінченний розрив;

3) розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.

Якщо функція в деякому околі точки визначена і її односторонні границі збігаються, тобто

=,

а в самій точці функція невизначена, то в цій точці має усувний розрив. Цей розрив можна усунути, приписавши функції значення, що збігається з односторонніми границями і взявши

=.

Наприклад, функція

неперервна на всьому інтервалі від - до +, крім точки . В точці функція розривна.

Розглянемо нову функцію , таку, що

Якщо , а при покладемо

Побудована таким чином функція

є неперервною для (див. рис. 29), тобто розрив усунули.

Рис. 29

Якщо односторонні границі функції скінченні при і , то функція в точці має розрив І-го роду або скінченний розрив. неперервність функція розрив теорема

Наприклад, функція

при дорівнює

при

а при

функція невизначена, тоді

,

отже має розрив І-го роду (див. рис. 30).

Рис. 30

Стрибком функції називається величина

У точках неперервності стрибок , для розривів І-го роду він скінченний. Для розглянутого на рис. 30 графіка стрибок .

Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції в точці є нескінченною або не існує, тоді функція в точці має розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив. Наприклад,

в точці невизначена,

, а ,

тобто односторонні границі нескінченні, тому тут розрив ІІ-го роду (див. рис. 31).

Так само точка є точкою розриву ІІ-го роду для розглянутої раніше функції

, бо

не існує.

Приклади для самостійного розв'язання.

Для кожної з даних функцій знайти точки розриву і дослідити їх характер.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8.

Відповіді. 1. - точка розриву ІІ роду. 2. - точка розриву ІI роду. 3. - точки розриву ІІ роду. 4. -- точка розриву ІІ роду. 5. - усувний розрив. 6. - усувний розрив. 7. Розрив першого роду при . 8. Неперервна скрізь.

3. Деякі властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо і неперервні в точці функції, то їх сума +, різниця - , добуток і частка також є неперервними функціями в точці , причому у випадку частки припускається, що знаменник не перетворюється в нуль при .

Справедливість цієї теореми безпосередньо випливає із відповідної теореми про границю алгебраїчної суми, добутку і частки.

Сформулюємо без доведення наступні теореми.

Теорема 2. Неперервна на відрізку функція досягає на цьому відрізку по крайній мірі один раз свого найбільшого і свого найменшого m значень. (див. рис. 32).

Рис. 32

На рис. 32

Звернемо увагу, що, наприклад, функція

,

графік якої на рис. 29 в 4.2, на відрізку досягає свого найменшого значення в точках і . Найбільшим значенням цієї функції є , але його вона не досягає в жодній точці. Зате функція

яку ми довизначили, досягає найбільшого значення 1 в точці .

Теорема 3 (про нулі неперервної функції). Якщо функція неперервна на відрізку і на кінцях відрізка набуває значень з протилежними знаками, тобто то існує принаймні одне число між точками і , таке що (існує корінь рівняння ) (Рис. 33).

Геометрично це означає, що дві точки і , які лежать по різні сторони осі , можна з'єднати неперервною лінією тільки перетнувши вісь хоча б один раз.

Рис. 33

Теорема 4 (про проміжні значення функції). Нехай функція неперервна на відрізку , числа і її відповідно найменше і найбільше значення на цьому відрізку, а число таке, що , тоді існує хоча б одне число між точками і таке, що . (див. рис. 34).

Рис. 34

Число називають проміжним значенням між і (). З рисунка видно, що .

Якщо функція розривна, див., напр., рис. 35, то вона може не досягти значення в жодній точці, тобто пряма не перетинає графіка за умови, .

Рис. 35

Размещено на Allbest.ru