Теореми про диференційовні функції
Зростання і спадання функцій. Правила логарифмічного диференціювання. Схема дослідження функцій. Опуклість і угнутість кривої, точки перегину. Максимуми і мінімуми функції. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Асимптоти графіка функції.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 19.07.2017 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Теореми про диференційовні функції
1.1 Теорема Ролля
Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі і приймає рівні значення на його кінцях, тобто , то в інтервалі існує хоча б одна точка така, що . Геометрично: знайдеться точка С така, що дотична з цією абсцисою до графіка паралельна осі ОХ (див. рис.)
Y
f(a) f(b)
a с1 с2 b X
Рис.
Доведення. Оскільки функція неперервна на , то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого і найбільшого значень. Якщо б ці значення досягались на кінцях відрізка в точках і , то за умовою теореми неперервна і випливало б, що функція - стала і тоді в кожній точці відрізка . Тому припускаємо, що функція досягає свого, наприклад, найбільшого значення у деякій точці (див. рис.), .
Обчислимо ліву похідну
(1)
і праву похідну
(2)
Згідно диференційовності її ліва і права похідні збігаються, тому із співвідношень (1) і (2) випливає, що . З рис. видно, що можливі і інші точки, в яких похідна дорівнює нулю .
крива графік функція угнутість
1.2 Теорема Коші
Теорема. Якщо функції f(x) i (x) неперервні на [a, b] і мають похідні в інтервалі (a, b) і х для х є (a, b), то існує точка , така, що має місце співвідношення:
(1)
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
,
де число підберемо таким, щоб функція задовольняла теорему Ролля.
Із неперервності на функцій і випливає, що теж неперервна. Крім того, із диференційовності і в інтервалі випливає диференційовність . Залишилось знайти число таким, щоб , тобто
. (2)
Отже, згідно з теоремою Ролля існує точка , така що , тобто
. (3)
Із рівностей (2) і (3) отримуємо формулу Коші (1).
1.3 Теорема Лагранжа
Теорема. Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну на інтервалі (a, b). Тоді існує на інтервалі (a, b) точка c, для якої виконується рівність
Геометричний зміст теореми. Якщо останню рівність записати у вигляді
Y
c
B
A M
f(a) f(b)
a c b X
то із АВМ: кутовий коефіцієнт хорди АВ. Згідно теореми існує точка з абсцисою , дотична в якій до графіка буде паралельною хорді.
Якщо покласти у формулі Коші (1) (див.) (тоді ), то отримаємо
- формулу Лагранжа.
1.4. Правило Лопіталя
Теорема 1. Нехай функції f(x) i (x) визначенні і мають похідну в околі точки х0, а в точці х0 , тоді якщо існує границя , то існує границя , причому виконується рівність
Доведення. Функції і задовольняють умовам теореми Коші в околі точки , тому
,
де при , а при .
Отже, якщо , то і , тому
В останньому виразі замість змінної можна записати змінну , оскільки границя не залежить від позначення змінної.
За допомогою теореми 1 можна розкривати невизначеність вигляду , причому правило Лопіталя можно застосовувати повторно, якщо в процесі функції і їх похідні задовольняють умовам теореми.
У випадку невизначеності користуються такою теоремою.
Теорема 2. Нехай f i визначені і мають похідну в околі точки причому (х), (х)0 в цьому околі, тоді, якщо існує , то існує і
До викладеного додамо, що правило Лопіталя залишається справедливим при .
Зауваження. За допомогою теорем 1 і 2 розкриваються такі невизначеності:
1. і .
2. Невизначеності і за допомогою алгебраїчних перетворень зводяться до вигляду або
3. Невизначеності і за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності .
Далі ці випадки розглянемо на прикладах.
Приклади
Застосовуючи правило Лопіталя знайти границі:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
Розв'язання
1. .
2. .
3.
.
4.
.
5. .
Позначимо , а потім про логарифмуємо і знайдемо границю
.
Оскільки для неперервної функції
,
то в даному випадку . Отже, .
6..
Покладемо , тоді
,
тобто
.
Приклади для самостійного розв'язання
1. . 2. . 3.
4. . 5. . 6. .
7. . 8. .
Відповіді:
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . Вказівка. Невизначеність розкрити шляхом по членного ділення чисельника і знаменника на . Правило Лопітааля не підходить оскільки не існує
. 8. .
2. Дослідження функцій
2.1 Зростання і спадання функцій
Означення. Якщо функція y=f(x) така, що більшому значеню аргумента відповідає більше значення функції, то функція y=f(x) називається зростаючою. Аналогічно означається спадна функція.
Зручно відповідно позначити: х) і х.
Теорема 1.
Якщо функція f(x), яка має похідну в інтервалі (a, b), зростає на [a, b], то її похідна в інтервалі (a, b) невід'ємна, тобто х.
Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну в (a, b), причому х> для a<x<b, то ця функція зростає на [a, b].
Y
X
Скорочено можна записати:
Доведення. 1. Нехай зростає і в околі точки існує скінчена похідна . Розглянемо ліву похідну в цій точці
та праву похідну
.
Оскільки ліва і права похідні збігаються в точці , то із останніх нерівностей випливає .
2. Нехай в околі точки . Застосуємо до різниці формулу Лагранжа
. (1)
Розглянемо два випадки. а) , тоді і права частина , тобто із (1) випливає - функція зростає
б) , тоді і , із (1) маємо - функція зростає.
Отже, в околі точки (як зліва так і справа) функція зростає, якщо .
Аналогічна теорема має місце, якщо функція f(x) спадає.
Теорема 2.
Якщо f(x) має похідну на інтервалі (a, b) i f(x), то х.
Якщо f(x) неперервна на [a, b] і має похідну, причому х<, то f(x) спадає на [a, b].
Y
a b X
Рис.
Скорочено:
Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.
Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.
Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:
1. . 2. .
3. . 4. . 5. .
Розв'язання
1. Функція визначена для . Знаходимо похідну . Похідна точок розриву немає і може змінювати знак при переході через корінь , .
Наносимо корінь на числову вісь, яка при цьому розіб'ється на два інтервали і ()
За допомогою пробних точок визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів. Якщо взяти , то - функція спадає.
Якщо , то
- функція зростає.
Отже, для ;
для .
2. - функція визначена для всіх . Її похідна має корені і , які розбивають числову вісь на три інтервали
, ,
Підставляючи пробні точки у розклад похідної на множники , визначаємо її знак у кожному із інтервалів (див. рис.). У відповідності до знаку похідної на даному інтервалі робимо висновок про поведінку функції:
, функція зростає;
, функція спадає;
, функція зростає.
3. - функція не існує у точках .
Знаходимо похідну
.
Корені похідної , та її точки розриву і розбивають числову вісь на 5 інтервалів, визначаємо знак похідної на кожному з них:
, функція спадає;
, функція зростає;
, функція зростає;
, функція спадає;
, функція спадає.
Тут числа - це пробні точки, з відповідних інтегралів, у яких визначався знак похідної.
4. Функція існує для всіх , її похідна
.
Оскільки похідна невід'ємна, то дана функція не спадна для всіх .
5. Знайдемо спочатку область існування (визначення) функції ,
Похідна функції має вигляд
;
- корінь похідної, яка до того має таку область існування.
Для , функція зростає;
Для , функція спадає.
Відмітимо ще, що за допомогою похідної можна доводити деякі нерівності.
Приклади. Довести нерівності.
6. .
7. .
8. .
9. .
Розв'язання
6. Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну
, якщо .
Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.
7. Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .
8. Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції
.
9. .
,
якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто
при .
Приклади для самостійного розв'язання.
Визначити проміжки монотонності функцій
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9.
Довести нерівності
10. , якщо .
11. .
12. .
13. .
Відповіді. 1. ; .
2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .
6. . 7. . 8. .
9. .
2.2 Максимуми і мінімуми функції
Означення 1. Функція y=f(x) має максимум в точці х0, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто
(х)(х0).
Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х1, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто
(х)(х1).
f(x2)=ymax
Y f(x0)=ymax
f(x3)=ymin
f(x1)=ymin
x0 x1 x2 x3 X
Рис.
Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.
Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.
Наприклад. На рисунку 42 точки x0,x1,x2,x3 - критичні точки.
Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х0, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто х0=.
Наприклад. На рис. (х0)=(х1)=(х2)=0.
Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис.
Y
(х0)=0 y=f(x)
0 x0 X
Рис.
Точки в яких (х0)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.
Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де (х0)=0, також серед точок, в яких похідна (х) не існує. Наприклад в точці х3 (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х3 - не існує.
Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=(х):
неперервна при х=х0;
має похідну (х0) в деякому околі точки х0, за винятком, можливо, самої цієї точки;
похідна зберігає знак окремо зліва і справа від х0.
Тоді, якщо при переході через точку х0 (зліва направо)
а) (х) змінює знак з “+” на “-”, то при х=х0 маємо максимум;
б) (х) змінює знак з “-” на “+”, то при х=х0 маємо мінімум;
в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х0 екстремуму не має.
Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=(х) в точці х=х0 має першу і другу похідну, причому (х0)=0, а (х0)0, і (х) неперервна в околі точки х=х0, то в точці х=х0 у=(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо (х0)<0, і мінімум, якщо (х0)>0.
Див., напр., рис.
Y
x0 x1 X
Рис.
Скорочено маємо:
Можуть зустрічатись випадки, коли (х0)=0 і (х0)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.
Теорема 4. Якщо функція у=(х) має в околі точки х=х0 неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо
в той час як f(n)(x0)0, то при n парному функція має максимум, якщо f(n)(x0)<0, i мінімум, якщо f(n)(x0)>0; якщо n - непарне, то функція екстремума в точці х=х0 не має.
Приклади.
Дослідити на екстремуми функції:
1. . 2. .
Розв'язання
1. 1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну, . Звідки знайдемо стаціонарні точки. Знаходимо також точки розриву похідної, якщо такі є.
.
В даному прикладі точки розриву похідної відсутні.
2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали
3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної.
В даному випадку:
Якщо , то із маємо , функція - зростає;
Якщо , то із функція - спадає;
Якщо ж , то , функція - зростає.
Тут - пробні точки з відповідних інтегралів.
4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі через точку похідна міняє знак
з “-“ на “+”, то в точці - ,
з “+” на “-“, то в точці - .
У даному прикладі при переході через міняє знак з “+” на “-“. Отже, у точці функція має максимум,
.
При переході через точку в напрямку осі знак похідної міняється з “-“ на “+”. Отже, в точці функція має мінімум
.
Відповідь: .
2. .
Область існування: .
Знаходимо похідну
.
Похідна не існує в точці і має нулі в точках , . Наносимо їх на числову вісь і отримуємо інтервали
на - ф. зростає;
на - ф. спадає;
на - ф. зростає.
У точках і похідна міняє знак, значить то є екстремум, причому в точці (знак з “+” на “-“) - максимум, а в точці (знак з “-“ на “+”) - мінімум.
;
.
Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об'єму? Знайти цей об'єм.
Позначимо через довжину сторони одного з чотирьох вирізуваних квадратиків, які відкидаються. На рисунку вони заштриховані. По пунктирних лініях робиться згин частин картону. Дно коробки - це квадрат зі стороною довжини . Площа дна
,
Висота коробки - , тоді об'єм
Рис.
Функцію дослідимо на екстремум, спростивши її
.
Знаходимо похідну
Прирівняємо похідну до нуля
.
.
Дослідимо знаки похідної.
Отже, при об'єм досягає максимуму.
Приклади для самостійного розв'язання
Дослідити на екстремум такі функції:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. . 7. .
8. . 9. . 10. .
Відповіді: 1. . 2. ; . 3. ; .
4. . 5. екстремума немає. 6. ; . 7..
8..
9. .
10, .
2.3 Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Нехай у=(х) неперервна на відрізку [a, b], тоді відомо, що f(x) досягає свого найменшого m і найбільшого M значень. Задача полягає в тому, щоб їх знайти.
Припустимо, що на відрізку [a, b] f(x) має скінченне число критичних точок. Якщо найбільшого значення функція досягає внутрі [a, b], то це буде найбільший із максимумів. Але може бути, що найбільшого значення y=f(x) досягає на одному з кінців відрізка, тому знаходимо додатково ще f(a) i f(b).
Отже, щоб знайти найбільше значення функції y=f(x) на відрізку
[a, b] потрібно:
знайти всі максимуми і мінімуми f(x) внутрі відрізка;
обчислити її значення на кінцях відрізка, тобто f(a) i f(b).
із всіх знайдених значень вибрати найбільше.
Аналогічним чином знаходять найменше значення функції на відрізку.
На прикладі слідуючого рисунка маємо
Размещено на http://www.allbest.ru/
Y
M
M=max{f(a), f(x2),f(b)}=f(b) - найбільше значення f(x);
m= min{f(a), f(x1), f(x3), f(b)}=f(x1) - найменше значення f(x) на відрізку [a, b].
Приклади для самостійного розв'язання.
Знайти найменше та найбільші значення функцій на заданих проміжках.
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. .
8. . 9. .
Відповіді: 1. . 2. .
3. . 4. не існує; . 5. . 6. . 7. не існує. 8. не існує. 9. .
2.4 Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину
Означення 1. Крива, що описується функцією y=f(x), називається опуклою в інтервалі (a, b) , якщо всі точки кривої лежать нижче довільної її дотичної проведеної в цьому інтервалі.
Аналогічно, якщо всі точки кривої лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі, то крива називається угнутою.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Y
Рис.
На рисунку крива y=f(x) - опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c,d).
Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину.
На рис.46 т. М - точка перегину з абсцисою х=b.
Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми.
Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f(x) i f(x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f(x)<0, i угнута, якщо f(x)>0, для всіх х з цього інтервала.
Так, напр., відповідно на рис.1 f(x)<0, якщо х(a, b), f(x)>0, якщо х(c, d).
Точки перегину знаходяться за наступною теоремою
Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо , або не існує і , змінює знак при переході через х0, то х0 є точкою перегину f(x).
Приклад. Знайти проміжки проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції.
.
Розв'язання. Задана функція визначена для всіх . Знайдемо її похідні
,
.
Щоб знайти інтервали опуклості і угнутості необхідно знайти корені другої похідної, які разом з точками розриву (якщо такі є) розбивають область існування на проміжки.
Якщо на проміжку, то графік угнутий;
Якщо на проміжку, то графік опуклий.
У тих точках, де друга похідна міняє знак, буде точка перегину, за умови, що функція в цій точці неперервна.
Отже, розв'язуємо рівняння
;
на , графік опуклий;
на , графік угнутий.
В точках і друга похідна міняє знак. Це є точки перегину.
.
Приклади для самостійного розв'язання
Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину кривих.
.
...
Відповіді: 1. Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 2. Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину , і . 3. Опуклість на і на , угнутість на і на ; точки перегину ; , . 4. Угнутість на і , опуклість на ; точка перегину . 5. Опуклість на і на , угнутість на ; точки перегину і . 6. Опуклість на , угнутість на ; точка перегину . 7. Опуклість на , угнутість на і на ; точка перегину .
2.5 Асимптоти графіка функції
Означення. Пряма (l) називається асимптотою графіка функції (кривої (L)), якщо відстань MN від змінної точки кривої (ML) до прямої прямує до нуля, якщо точка М віддаляється в нескінченність, тобто
Асимптоти розрізняють:
вертикальні;
похилі (окремий їх випадок - горизонтальні).
1. Вертикальні асимптоти. Будемо говорити, що пряма х=а є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції дорівнює нескінченості при ха0, тобто
, або .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Y
M N
2. Похилі асимптоти. Знаходяться у вигляді
y=kx+b
де
зокрема, якщо k=0, то отримуємо горизонтальну асимптоту y=b, де
Приклади. Знайти асимптоти кривих:
1. . 2. .
Розв'язання
1. Із рівняння . Функція існує для .
Вертикальних асимптот функція немає оскільки при і .
Горизонтальних асимптот теж немає, бо .
Знайдемо похилі асимптоти за формулою
,
де .
Знайдемо
;
Знайдемо вільний член
.
Отже, отримали відомі рівняння асимптот гіперболи
.
2. . Дана функція визначена для , де
Оскільки
,
то пряма є вертикальною асимптотою кривої.
Горизонтальних асимптот крива немає, оскільки
Знаходимо похилі асимптоти при і при .
.
.
Отже, існує права похила асимптота .
Знайдемо похилу асимптоту при .
оскільки , то - введемо під корінь
.
.
Отже, - ліва похила асимптота.
На рисунку зображені асимптоти та графік кривої.
Приклади для самостійного розв'язання.
Знайти асимптоти кривих
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
Відповіді: 1. - ліва похила асимптота.
2. - горизонтальна асимптота.
3. - вертикальна асимптота.
4. . 5. . 6.
7.. 8..
9..
2.6 Загальна схема дослідження функцій
Нехай задана функція y=f(x). Необхідно її дослідити і на основі отриманих результатів побудувати її графік.
Схема дослідження функцій.
1. Знаходимо область визначення функції. Якщо f(x) не існує в окремих точках, напр. х=х0, то рекомендується знайти Якщо якась із цих границь нескінченість, то х=х0 - вертикальна асимптота. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат.
2. Знаходимо похилі асимптоти.
3. Перевіряємо функцію на парність, непарність, періодичність.
Якщо f(-x)=f(x) - парна функція, то графік її симетричний відносно вісі ОY. Якщо ж функція непарна f(-x)= - f(x), то графік має центральну симетрію відносно точки О(0,0).
За допомогою першої похідної f(x) знаходимо інтервали, на яких f(x) зростає або спадає. Знаходимо екстремуми.
За допомогою другої похідної (х) знаходимо інтервали опуклості, угнутості, точки перегину графіка.
Будуємо на площині отримані характерні точки: точки перетину з осями, точки екстремумів, точки перегину. Будуємо асимптоти. І, накінець, будуємо графік функції.
Приклади дослідження функцій див. “Вказівки до розв'язування задач типового варіанту”, варіант “0”, задача 9.
Приклади для самостійного розв'язання
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6..
7. . 8. . 9. .
10. . 11. . 12..
Відповіді: 1. Область визначення ; ; для - опуклість; для - угність; - точка перегину; асимптот - немає.
2. - обл. визнач.; ; `- точки перегину; для - угнутість; для - опуклість; асимптот - немає.
3.- обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; - асимптота.
4. - обл. визнач.; ; -т. перегину; для - угнутість; для - опуклість; - асимптота.
5. - обл. визнач.;
; для - угнутість; для - опуклість; - асимптота; - асимптоти.
6. - обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; асимптот - немає.
7. - обл. визнач.; ; ; - т. перегину; для - опуклість; для - угнутість; - вертик асимптота; - похила асимптота.
8. - обл. визнач.; ; - т. перегину; - асимптоти.
9. - обл. визнач.; ; - т. перегину; - асимптота.
10. - обл. визнач.; ; для - опуклість; для - угнутість; ,- асимптоти.
11. - обл. визнач.; ; - т. перегину.
12. - обл. визнач.; екстремумів - немає; - т. перегину.
Контрольні завдання
Задача 1.
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
Вариант 11.
Вариант 12.
Вариант 13.
Вариант 14.
Вариант 15.
Вариант 16.
Вариант 17.
Вариант 18.
Вариант 19.
Вариант 20.
Вариант 21.
Вариант 22.
Вариант 23.
Вариант 24.
Вариант 25.
Вариант 26.
Вариант 27.
Вариант 28.
Вариант 29.
Вариант 30.
Задача 2. Функція визначена на множині дійсних чисел за винятком деякої точки х0 (основа і показник подані за варіантами 1-30). Необхідно:
а) знайти точку х0;
б) обчислити границі функції при ;
в) використовуючи ці границі, побудувати ескіз графіка функції .
Для контролю обчислити значення в декількох точках зліва і справа від х0 (наприклад в точках , , , , , або інших) і перевірити відповідність цих значень графіку . На графіку додатково побудувати прямі
|
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. |
5 4 3 2 6 5 4 3 6 2 5 4 4 6 2 |
x / (4x-1) -x / (1+2x) (1 + x) / (3x - 1) (1 + x) / (2 - 2x) x / (1 + 3x) (1 + x) / (2x + 1) x / (4x + 1) (x - 1) / (2x + 2) x / (6 + 4x) (2 - x) / (1 + 2x) x / (4x - 2) x / (2x - 1) x / (2 + 6x) x / (1 - 2x) (x - 1) / (2x + 4) |
16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. |
3 5 3 6 2 4 2 3 6 5 4 5 3 6 2 |
(x - 1) / (1 + 2x) x / (3x + 6) (x + 3) / (3 + 2x) x / (3x - 1) (1 - x) / (2x + 2) x / (3x - 6) (1 + x) / (1 - 2x) (x - 2) / (4x + 4) x / (3 - 2x) x / (6x - 2) (x - 1) / (2x - 1) x / (4x - 8) (x + 2) / (2x - 2) x / (4x - 3) 2x / (3 + 4x) |
Задача 3. Знайти похідні функцій.
Задача 4.Знайти диференціал dy функції:
Задача 5. Обчислити наближено за допомогою диференціала.
Задача 6. Знайти похідну другого порядку функції.
Задача 7. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, яка відповідає значенню параметра .
19.
Задача 8. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично.
Задача 9. Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графіки
|
1. |
2. |
|||
|
3. |
4. |
|||
|
5. |
6. |
|||
|
7. |
8. |
|||
|
9. |
10. |
|||
|
11. |
12. |
|||
|
13. |
14. |
|||
|
15. |
16. |
|||
|
17. |
18. |
|||
|
19. |
20. |
|||
|
21. |
22. |
|||
|
23. |
24. |
|||
|
25. |
26. |
|||
|
27. |
28. |
|||
|
29. |
30. |
Задача 10. Знайти найбільше та найменше значення функції на заданих відрізках.
Задача 11
Полотняне шатро об'єму має форму прямого кругового конуса. Яким повино бути відношення висоти конуса до діаметра, щоб на виготовлення шатра пішла найменша кількість полотна?
Із полоси жерсті шириною 11 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 7 см. Якою повинна бути ширина жолоба зверху, щоб він вміщував найбільшу кількість води?
Із полоси жерсті шириною 20 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 10 см. Яким повинен бути кут між стінками жолоба і дном, щоб він вміщував найбільшу кількість води?
Поперечний переріз відкритого канала має форму рівнобдренної трапеції . При якому нахилі боків “мокрий периметр” перетину буде найменшим, якщо площа “живого перетину” води в каналі дорівнює S, а рівень води дорівнює h?
Знайти відношення радіуса циліндра до його висоти, при якому циліндр заданого об'єму V має найменшу площу повної поверхні.
Відкрита посудина, що має форму циліндра, який закінчується знизу півсферою, вміщує 18 л води. Знайти розміри посудини при яких на її виготовлення піде найменша кількість матеріалу.
Добовий розхід при плаванні судна складається з двох частин: сталої, що дорівнює а грошових одиниць і змінної, що зростає пропорціонально кубові швидкості. При якій швидкості V плавання судна, буде найбільш економним?
Із листового заліза виготовлено відкритий бак циліндричної форми об'єму з найменшими затратами матеріалу. Які розміри бака?
Енергія, яка витрачається за одиницю часу на рух парохода, пропорціональна кубові його швидкості, яку розвиває двигун в стоячій воді. Знайти найбільш економну швидкість руху парохода, якщо необхідно пройти задану відстань S проти течії, швидкість якої дорівнює 6 км/год.
В трикутнику одна сторона а, а протилежний їй кут . Визначити два інші кути так, щоб площа його була найбільшою.
Одна із сторін трикутника дорівнює а , а його периметр 2р . Визначити дві інші сторони за умови, щоб площа його була найбільшою.
На сторінці книги друкований текст (разом з проміжками між рядками) повинен займати 216 см2. Верхні і нижні поля повинні бути по 3 см, праве і ліве поля по 2 см. Якими повинні бути розміри сторінки для того, щоб її площа була найменшою?
Визначити максимальну площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює l.
Всі вершини правильної трикутної призми належать сфері радіуса R. Якою повинна бути висота призми, щоб її об'єм був найбільшим? Знайти цей об'єм.
Прямокутна площадка, яка стикується однією із сторін з довгою кам'яною стіною, з трьох сторін огорожена залізною решіткою. Якою повинна бути довжина сторін площадки, щоб вона мала найбільшу площу, якщо є 200 м решітки?
Консервна коробка об'єму V повинна мати циліндричну форму з дном і покришкою. Яким повинно бути відношення діаметра циліндра до висоти, щоб на виготовлення коробки пішла найменша кількість матеріалів.
Прямокутник вписано в прямокутний трикутник так, що один із кутів прямокутника співпадає з прямим кутом трикутника. Катети трикутника дорівнюють 4 і 8 см. Якими повинні бути розміри прямокутника, щоб площа його була найбільшою?
Знайти радіус основи і висоту конуса найменшого об'єму , описаного навколо кулі радіуса R.
Вікно має форму прямокутника, який завершується півкругом. Периметр вікна дорівнює а. При яких розмірах сторін прямокутника вікно буде пропускати найбільшу кількість світла?
Необхідно виготовити відкритий циліндричний бак заданого об'єму V. Вартість квадратного метра матеріалу, що йде на виготовлення дна бака, дорівнює р грошових одиниць, а стінок- q грошових одиниць. Якими повинні бути радіус дна і висота бака, щоб вартість затрат на матеріали для його виготовлення була найменшою?
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює . Якими повинні бути катети, щоб периметр трикутника був найбільшим?
Прямокутний трикутник, обертаючись навколо одного з його катетів, утворює прямий конус. Знайти об'єм найбільшого з них, якщо гіпотенуза дорівнює 9 см.
Вертикальна цистерна об'єма V має форму циліндра, який завершується півкулею. При яких лінійних розмірах на виготовлення такої цистерни піде найменша кількість матеріалу.
Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса з найменшою бічною поверхнею, описаного навколо кулі радіуса R.
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 2р. Якими повинні бути його сторони, щоб об'єм тіла, утвореного обертанням цього трикутника навколо основи, був найбільшим?
Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об'єм піраміди буде максимальним. Знайти цей об'єм.
Дані точки А(0,3) і В(4,5). На вісі ОХ знайти таку точку М , щоб відстань S=AM+MB була найбільшою.
В кулю радіуса R виписати циліндр, який має найбільшу бічну поверхню.
Знайти висоту циліндра максимального об'єму , вписаного в даний прямий круговий конус.
Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об'єм піраміди максимальний? Знайти цей об'єм.
Вказівки до розв'язування задач типового варіанту
До задачі 1
Варіант 0.
Число x = -1 - корінь чисельника і знаменника. Щоб усунути невизначеність необхідно чисельник і знаменник розкласти на множники. Для квадратного тричлена відомо, що
Многочлен ділиться на різницю
Тому маємо
Визначити старші члени в чисельнику та знаменнику. Відп.:
Маємо невизначеність
Перетворивши за допомогою тотожності
Далі необхідно користати- ся еквівалентними
Відп.:
До задачі 2
Розв'язання. Функція не існує в точці x0 = -1.Легко з'ясувати, що (x - 2)/(x + 1) -- додатня н. в. при а при -- від'ємна н. в. Тому
Оскільки f (x) неперервна (при x < -1 і при x > -1) і ,то Ескіз графіка див. на рис.
До задачі 3.
Варіант 0.
Розв'язання.Похідною алгебраїчної суми функцій є алгебраїчна сума похідних, тобто:
Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій та формули знаходимо:
Після скорочення і розкриття дужок остаточно отримуємо:
2.
Розв'язання. За правилом диференціювання маємо:
3.
Розв'язання. Для знаходження похідної скористуємось правилом логарифмічного диференціювання.
Спочатку прологарифмуємо функцію за натуральним логарифмом:
Тому що ln y - складна функція, то
До задачі 4.
Варіант 0:
Розв'язання.Використовуючи формулу диференціала функції:
За формулою диференціала
Тоді
До задачі 5.
Варіант 0: Обчислити наближено.
Розв'язання.Покладемо
Тоді за формулою
Запишемо
.
До задачі 6.
Варіант 0: Знайти
.
Розв'язання.Спочатку знаходимо першу похідну
а тоді другу похідну
До задачі 7.
Варіант 0: Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, яка відповідає значенню параметра .
Розв'язання.Рівняння дотичної має вигляд:
Похідну функції, заданої параметрично знаходимо за формулою
Тепер рівняння дотичної матиме вигляд:
До задачі 8.
Варіант 0. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично.
Розв'язання. За правилом диференціювання функції, заданої параметрично маємо:
До задачі 9.
Варіант 0. 1. Дослідити функцію і побудовати графік
Розв'язання. Знайдемо проміжки зростання та спадання функції.
Дана функція має похідну
.
Тепер знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю,
Ці точки розбивають числову вісь на три інтервали
.
Досліджуємо знак похідної на кожному з інтервалів:
Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (-1,-2) функція спадає. Це означає, що точка - точка мінімума, ; - точка максимума, . Зау Знаходимо важимо, що
.
Знаходимо
Точка є точкою перегину.
2. Побудувати графік функції
Розв'язання.
Функція визначена та неперервна в інтервалах
Функція невизначена в точці х = 1.
Знайдемо границі:
Точки перетину графіка з віссю Х:
Знайдемо асимптоти графіка функції:
а) х=1 - вертикальна асимптота
б)
Горизонтальних асимптот немає.
в)
Перевіримо функцію на парність:
Умови не виконуються.
Функція є ні парною, ні непарною.
Знайдемо першу похідну.
Знаходимо точки, в яких похідна дорівнює нулю, . Ці точки розбивають вісь Х на інтервали .
Дослідимо знак похідної на кажному з них :
Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (0,2) функція спадає; точка - точка мінімума, ; - точка максимума, .
Знайдемо другу похідну
Похідна
Таким чином графік функції опуклий для при і угнутий для .
Будуємо на площині X0Y отримані характерні точки: точки перетину з осями , вертикальну асимптоту х=0, похилу асимптоту , точки екстремума . Будуємо графік функції.
До задачі 10
Варіант 0.
Знайти найбільше і найменше значення функції
на проміжку [2,6].
Розв'язання.
Знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля, отримаємо абсциси стаціонарних точок
Значення х=1 не входить в даний проміжок, а значення функції в точці х=3 буде
Знаходимо значення функції на кінцях проміжка:
.
Серед отриманих значень функції
Найменшим будеа найбільшим
До задачі 11
Варіант 0.
З бляшаного круга радіуса R вирізають сектор з центральним кутом і з нього скручують конічну лійку. При якому значені кута об'єм лійки буде найбільшим? Знайти його.
Розв'язання.
Довжина кола основи співпадає з довжиною тобто
Об'єм конуса .
Знайдемо
Тоді
Знаходимо похідну по
Розв'язуємо рівняння
Крім того, похідна V' визначена для , де
Размещено на http://www.allbest.ru/
Значення не підходить, бо вибираємо значення
0 (V')
В точці маємо максимум
Размещено на Allbest.ur
Подобные документы
Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлен 02.05.2011Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлен 26.01.2011Поняття диференційованості функції в даній точці, основні формули. Диференціал функції однієї змінної, його застосування. Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій.
реферат [101,8 K], добавлен 02.11.2015Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Беселеві функції з будь-яким індексом, з напівцілим індексом. Формули приведення для Беселевих функцій. Інтегральне подання функцій із цілим індексом. Ряди Фур'є-Беселя. Асимптотичне подання функцій із цілим індексом для більших значень аргументу.
курсовая работа [211,7 K], добавлен 28.12.2010Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015Скорочені, тупикові диз'юнктивні нормальні форми. Алгоритм Квайна й Мак-Класки мінімізації булевої функції. Геометричний метод мінімізації булевої функції. Мінімізація булевої функції за допомогою карти Карно. Побудова оптимальних контактно-релейних схем.
курсовая работа [287,0 K], добавлен 28.12.2010Дзета-функція Римана та її застосування в математичному аналізі. Оцінка поводження дзета-функції в околиці одиниці. Теорія рядів Фур'є. Абсолютна збіжність інтеграла. Функціональне рівняння дзета-функції. Властивості функції в речовинній області.
курсовая работа [329,1 K], добавлен 28.12.2010
