Розв’язання системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих

Размещено на http://www.allbest.ru/

У першому рівнянні цієї системи коефіцієнт при невідомому , буде відмінний від нуля. Тому вважатимемо, що в системі (2) . Застосовуючи елементарні перетворення, зведемо систему (2) до ступінчастого вигляду.

(5)

За теоремою 1 ступінчаста система еквівалентна системі (2). Тому розв'язування системи (2) зводимо до розв'язування ступінчастої системи (5). При цьому можливі такі випадки:

1) В ступінчастій системі (5) міститься рівняння вигляду

(скорочено його записують ). Оскільки жодна система чисел не може задовольнити рівняння , то система рівнянь (5) несумісна.

2) В системі (5) міститься рівняння вигляду (скорочено ). Довільна сукупність чисел є розв'язком цього рівняння, тому його можна відкинути. Дістанемо систему еквівалентну системі (5).

3) (число рівнянь ступінчастій системі дорівнює числу невідомих ). В цьому випадку система (5) моє трикутній вигляд

 (6)

вона сумісна і визначена (моє єдиний розв'язок). З останнього рівняння системи (6) знаходимо невідоме . Підставивши його в передостаннє рівняння системи (6), знайдемо відповідно одне значення невідомого . Тоді таким же способом послідовно дістанемо єдині значення невідомих Добуті таким чином значення невідомих становлять єдиний розв'язок системи (6).

4) (число рівнянь у ступінчастій системі менше числа невідомих ).

Невідомі , з яких починаються перше, друге, ..., -те рівняння системи (5), назвемо головним, а всі інші - вільними. Надамо вільним невідомим довільних значень і знайдемо головні невідомі . Оскільки вільні невідомі можна вибрати довільні, тому множина розв'язків системи (5) у випадку сумісна, але невизначена.

Застосуємо отримані вище результати до однорідної лінійної системи

(7)

Ця система сумісна, оскільки вона має нульовий розв'язок Справді, оскільки всі вільні члени системи (7) дорівнюють нулю, то вона перетворюється на ступінчасту систему, в якій немає рівняння вигляду .

Якщо система (7) перетворюється на ступінчасту систему, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих , то вона має єдиний розв'язок - нульових. Якщо ж число рівнянь менше, ніж число невідомих , то множина її розв'язків нескінченна, і, отже, вона має ненульові розв'язки. Множина ненульових розв'язків буде нескінченною. Така система невизначена.

Викладений вище метод розв'язування систем лінійних рівнянь називається метод Гауса, або метод послідовного виключення невідомих. Цей метод досить зручний для розв'язування вручну систем лінійних рівнянь з невеликою кількістю невідомих. Він може бути використаний для розв'язування лінійних систем на ЕОМ, проте часто для цього ефективнішим виявляються інші методи, наприклад, ітераційні (послідовних наближень)

Приклади. 1. Розв'язати систему

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду

Звідси випливає, що задана система лінійних рівнянь перетвориться на ступінчасту систему

в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих. Ця система, а отже, і задана система мають єдиний розв'язок

2. Розв'язати систему

Зведемо розширену матриць до ступінчастого вигляду

Отже, задана система лінійних рівнянь перетворюється на ступінчасту систему, в якій міститься рівняння , тому вона несумісна.

3. Розв'язати систему

Розширену матрицю цієї системи зведемо до ступінчастого вигляду

Отже, задана система лінійних рівнянь перетвориться на ступінчасту в якій число рівнянь менше числа невідомих. Така система сумісна, але невизначена. Загальний розв'язок запишемо у вигляді - вільні невідомі. Надаючи і довільних значень, будемо мати нескінченну множину розв'язків.

Різні форми запису системи лінійних рівнянь. Нехай дано систему лінійних рівнянь

(8)

при невідомих , матриця розміру

Рядки і стовпці матриці розглядатимемо як вектори.

- вектори-рядки.

вектори-стовпців.

- вектор-стовпець вільних членів.

Загальна система лінійних рівнянь має досить громіздкий вигляд, тому застосовують деякі спрощені її записи. Розглядаючи ліву частину кожного рівняння системи (8), як скалярний добуток вектора-рядка на вектор-стовпця невідомих , дістанемо векторно-скалярний запис системи (8)

або (9)

Систему (8) можна також подати у вигляді

або скорочено матрично-векторна форма запису системи (8).

Ліву частину рівнянь системи (8) розглядатимемо як суму добутків векторів-стовпців на невідомі . Дістанемо векторну форму запису системи (8)

.

У випадку однорідної системи лінійних рівнянь спрощені формули відповідно такі:

 або

Однорідна система лінійних рівнянь завжди має нульовий розв'язок який називається тривіальним. А чи має вона ненульові розв'язки? Певну відповідь на це питання дає така теорема.

Теорема 2. Однорідна система лінійних рівнянь з невідомими має ненульовий розв'язок, якщо .

Розглянемо систему

(12)

- векторна форма системи (12). Оскільки , то вектори-стовпці лінійно залежні (§3, Теорема 2). Тому існують такі числа які не всі дорівнюють нулю і задовольняють рівність

Тобто числа утворюють ненульовий розв'язок однорідної системи (12). Ранг матриці

Нехай маємо матрицю А розміру ()

.

З матрицею А пов'язані дві системи векторів: система - вимірних векторів-рядків і система - вимірних ректорів стовпців . Ранг першої системи називають рядковим рангом матриці А, ранг другої системи -- стовпцевим рангом. Рядковий ранг матриці А є максимальне число лінійно незалежних рядків, а стовпцевий ранг - максимальне число лінійно незалежних стовпців.

Теорема 3. Рядковий і стовпцевий ранги будь-якої матриці рівні.

Нехай система векторів-рядків матриці А має ранг , а система векторів-стовпців має ранг , причому нехай . Припустимо, що базисом векторів-рядків будуть вектори , а базисом векторів-стовпців - , тобто базисні вектори розміщені у лівому верхньому куту матриці А

. (13)

Якщо матриця А спочатку не має вигляду (13), то переставляючи рядки і стовпці, завжди можна привести її до такого вигляду. Ранг системи векторів-рядків і векторів-стовпців при цьому не змінюється.

Розглянемо систему „вкорочених” векторів :



і утворимо систему однорідних лінійних рівнянь, яку запишемо у векторно-скалярній формі

(14)

Оскільки в цій системі невідомих більше, ніж рівнянь - , то система (14) матиме ненульовий розв'язок

.

Вектори збігаються з базисом системи векторів-рядків. Тому “вкорочені” вектори можна лінійно виразити через :

(15)

Помножимо вектор скалярно на , отримаємо:



Звідси, враховуючи (14), дістаємо . Аналогічно з рівності (15) знаходимо систему лінійних однорідних рівнянь

(16)

Яка має ненульовий розв'язок . Оскільки розв'язок системи (14) і (16), то він буде розв'язком об'єднаної системи

(17)

Систему (17)запишемо у вигляді

або у векторній формі - Тому маємо рівність , тобто вектори лінійно залежні, всупереч припущенню. Отже, припущення, що неправильне. Аналогічно можна переконатись, що неправильним буде припущення . Тому залишається, правильним, що .

Означення. Рангом матриці називається ранг системи її векторів-рядків, або векторів-стовпців.

Ранг матриці належить до числа її важливих характеристик. Щоб обчислити ранг матриці досить обчислити ранг множини векторів-рядків, або векторів-стовпців.

Будь-яке елементарне перетворення матриці не змінює її рангу. Ранг ступінчастої матриці дорівнює числу її ненульових рядків. Ранг матриці А позначатимемо rank А або r(А).

Приклад. Знайти ранг матриці

За допомогою елементарних перетворень рядків перетворимо матрицю А в ступінчасту.

Ранг ступінчастої матриці дорівнює 3, а отже, і ранг матриці А дорівнює 3. ( r (A)=3).

Критерій сумісності та визначеності системи лінійних рівнянь

Нехай дано систему лінійних рівнянь з невідомими

 (18)

де . Розглянемо матрицю А і розширену матрицю цієї системи

,

Позначимо - множину векторів-стовпців матриці А і - множину векторів-стопців матриці . Запишемо систему (18) у векторній формі

. (19)

Теорема 4. Кронекера-Капеллі (критерій сумісності системи лінійних рівнянь). Система лінійних рівнянь (18) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці цієї системи дорівнює рангові її розширеної матриці.

Необхідність .

Нехай система (18) сумісна, тобто існує деякий її розв'язок , який перетворює систему (18) в тотожність

Це означає, що вектор є лінійною комбінацією векторів . За теоремою 4 § 3 “якщо з множиною векторів вилучити вектор, який лінійно виражається через решту векторів цієї множини, то ранг новоутвореної множини дорівнює рангу початкової множини”, ранги множин і збігаються, тобто .

Достатність. Припустимо, що ранг матриці дорівнює рангові матриці , і доведемо, що система (18) сумісна. Виділимо із системи всіх стовпців матриці А базис. Нехай він утворений першими всіх стовпцями. Оскільки ранг матриці також дорівнює , то ті ж самі стовпці і в матриці утворюють базис. А тому вектор можна розкласти за цим базисом. Отже, існують числа такі, що

Перепишемо цю рівність у вигляді

і, порівнюючи її з (19), переконується, що одним із розв'язків системи (18) є

.

Отже, система лінійних рівнянь (18) сумісна.

Для з'ясування питання про сумісність конкретної системи лінійних рівнянь обчислюють ранг матриці і ранг розширеної матриці цієї системи і потім застосовують теорему Кронекера-Капелі. Після того, як встановлено, що розглядувана система сумісна, постає питання, визначена ця система чи ні. Відповідь на нього дає така теорема.

Теорема 5. (критерій визначеності системи лінійних рівнянь). Для того, щоб сумісна система лінійних рівнянь була визначеною, необхідно й достатньо, щоб ранг матриці цієї системи дорівнював числу невідомих, що входять до системи.

Необхідність. Нехай система (18) має єдиний розв'язок , тобто є визначеною. Доведемо, що ранг матриці А цієї системи дорівнює . Припустимо, що , тоді система векторів - лінійно залежна, тобто є такі числа , які не всі рівні нулю, що

.

тобто система (18) має розв'язок

відмінний від розв'язку , що суперечить умові. Тому припущення, що , неправильне, і, отже, .

Достатність . Нехай система (18) сумісна і . Доведемо, що система (18) визначена, тобто має тільки один розв'язок. Припустимо, що система (18) має два різні розв'язки: і .

і .

Віднімемо від першої рівності другу, матимемо

. (20)

Оскільки то в рівності (20) не всі коефіцієнти дорівнюють нулю, і тому система векторів лінійно залежна. Це суперечить умові, що . Тому припущення, що система (18) має два різні розв'язки, неправильне. Отже, система (18) має лише один розв'язок, тобто є визначеною. Приклад. Розв'язати систему лінійних рівнянь

Запишемо розширену матрицю цієї системи

Обчислимо ранги матриці системи лінійних рівнянь і розширеної матриці шляхом зведення до ступінчастої

.

Отже, система сумісна і має єдиний розв'язок: .

Фундаментальна система розв'язків лінійної однорідної системи рівнянь

Нехай дано довільну систему лінійних однорідних рівнянь

(21)

Як уже зазначалося в п.2 §5, ця система сумісна: вона має нульовий розв'язок . Це узгоджується з теоремою Кронекера-Капеллі: ранг матриці і ранг розширеної матриці цієї системи рівні, оскільки приєднання до матриці системи стовпця вільних членів, що складається з нулів, не може збільшити її рангу.

Якщо ранг матриці системи (21) дорівнює , то, за критерієм визначеності, вона має єдиний розв'язок - нульовий.

Якщо ранг матриці системи (21) менший ніж , то система має нескінченну множину рядків і, отже, має розв'язки, відмінні від нульового.

Якщо в системі лінійних однорідних рівнянь (21) число рівнянь менше, ніж число невідомих, то система (21) неодмінно має ненульові розв'язки, оскільки ранг матриці такої системи не може дорівнювати числу невідомих.

Розв'язки системи (21) розглядатимемо як вектори з простору .

Теорема 6. Якщо вектори і є розв'язками системи лінійних однорідних рівнянь (21), то їхня сума

є розв'язком цієї системи. Запишемо систему (21) у векторній формі

. (22)

Оскільки вектори і є розв'язками системи (21), то

і .

Звідси випливає, що

,

і, отже, -

розв'язок системи (21). Теорема 7. Якщо вектор є розв'язком системи лінійних однорідних рівнянь (21), то вектор , де - будь-який елемент з поля , також є розв'язком цієї системи. Справді, оскільки вектор є розв'язком системи

.

Тоді ,

і, отже, вектор є розв'язком системи (21).

З теорем 6 і 7 безпосередньо випливає твердження. Наслідок. Якщо - розв'язки системи лінійних однорідних рівнянь (21), то і будь-яка лінійна комбінація



цих розв'язків є розв'язком системи (21).

Справді, в силу теореми 7, кожний з векторів є розв'язком системи (21); в силу теореми 6, сума цих розв'язків знову є розв'язком.

Означення 5. Лінійно залежна система розв'язків однорідної системи (21) називається фундаментальною системою розв'язків цієї системи.

Якщо відома деяка фундаментальна система розв'язків однорідної системи то будь-який її розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації

(23)

і, навпаки, будь-яка така комбінація є розв'язком однорідної системи. Інакше кажуть, вираз (23) охоплює (при все можливих значеннях параметрів ) всі без виключення розв'язки системи (21). Природно тому назвати його загальним розв'язком системи (21).

Теорема 8. Якщо ранг матриці однорідної системи лінійних рівнянь (21) дорівнює , то фундаментальна система розв'язків системи (21) складається з розв'язків.

Нехай . Розв'язуючи систему (21) методом Гауса, прийдемо до системи ступінчастої форми

(24)

Система (24) має рівнянь. Основних невідомих в системі (24) і вільних невідомих. Припустимо, що вільними є невідомі . Надамо вільним невідомим в системі (24) значень:

Після чого знайдемо із системи значень останніх невідомих . Дістанемо деяких розв'язок вихідної системи (21), позначимо його . Аналогічною, покладаючи і знаходячи відповідні значення його . І так далі. Всього ми дістанемо, таким чином, розв'язків системи (21): .

(25)

Якби вектори були лінійно залежні, то лінійно залежними були б і укорочені вектори

відносно них. Система ж одиничних векторів, як відомо, лінійно залежна. Отже, вектори лінійно не залежні і вони складають фундаментальну систему розв'язків однорідної системи (21). Будь-який розв'язок системи (21) дорівнює лінійній комбінації цієї фундаментальної системи

. (26)

Формула 26 задає множину всіх розв'язків системи (21).

Приклад. Знайти фундаментальну систему розв'язків для системи рівнянь і формулу, що задає множину всіх розв'язків цієї системи

(27)

Складемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих і зведемо її до ступінчастого вигляду

Отже, фундаментальна система розв'язків складається з двох розв'язків.

Запишемо ступінчасту систему

Звідси маємо:

Загальних розв'язок подамо у вигляді

.

Надаючи вільним невідомим і значень відповідно та , дістанемо фундаментальну систему розв'язків:

Формула , де

- будь-які скаляри задає множину всіх розв'язків системи (27).

Зв'язок між розв'язками неоднорідної й зведеної однорідної системи лінійних рівнянь

Нехай дано довільну систему лінійних неоднорідних рівнянь

(28)

Замінимо в цій системі все вільні члени на нулі, дістанемо систему лінійних однорідних рівнянь

 (29)

яку називають зведеною однорідною системою для системи (28). Запишемо системи (28) і (29) у векторній формі

Припустимо, що система (28) сумісна. Тоді справедливі такі твердження.

Теорема 9. Сума будь-якого розв'язку неоднорідної системи (28) і будь-якого розв'язку однорідної системи (29) є розв'язком неоднорідної системи (28).

Нехай і - довільні розв'язки відповідно систем (28) і (29). Тоді

і, отже, вектор є розв'язком системи (28).

Теорема 10. Різниця будь-яких двох розв'язків неоднорідної системи (28) є розв'язком зведеної однорідної системи (29).

Нехай і - довільні розв'язки неоднорідної системи (28). Тоді



і, отже, вектор є розв'язком однорідної системи (29).

Наслідок. Загальний розв'язок неоднорідної системи (28) дорівнює сумі будь-якого розв'язку цієї системи і загального розв'язку зведеної однорідної системи (29).

Нехай - деякий частинний розв'язок системи (28) і

- формула, що задає множину всіх розв'язків системи (29).

Тоді

є формула, що задає множину всіх розв'язків системи (28).

Вправи для самостійного розв'язування

1. Розв'язати системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих

1) 2)

лінійний ранг матриця сумісність

2. Дослідити на сумісність і визначеність систему лінійних рівнянь:

1) 2)

3. Дослідити систему лінійних рівнянь і знайти загальний розв'язок залежно від :

1) 2)

4. Знайти загальний розв'язок і фундаментальну систему розв'язків системи рівнянь:

1) 2)

5. Знайти загальний розв'язок системи лінійних рівнянь, якщо є одним із частинних розв'язків, а вектори і утворюють фундаментальну систему розв'язків для відповідної однорідної системи.

6. Знайти загальний та один частинний розв'язки системи рівнянь:

1) 2)

7. Розв'язати систему лінійних рівнянь матричним методом:

1) 2)

Розв'язування систем лінійних рівнянь матричним методом

Розглянемо систему лінійних рівнянь

(30)

яку, як відомо, можна записати у вигляді одного матричного рівняння (§5, п.3)

(31)

де А - матриця системи (30) розміру , і і - вимірні вектори-стовпці. Нехай число рівнянь у системі (30) дорівнює числу невідомих , при чому визначник цієї системи відмінних від нуля. В такому разі у матричному рівнянні (31) - невироджена матриця -го порядку. Припустимо, що матричне рівняння (31) має розв'язок

,

тобто справджується рівність . Помножимо зліва обидві частини цієї рівність на матрицю . Дістанемо

. (32)

Проте

,

тому з рівності (32) випливає, що

. (33)

Отже, якщо матричне рівняння (31) з невиродженою матрицею А має розв'язок, то цей розв'язок задається формулою (33) і тому він єдиний. Доведемо, що є розв'язком рівняння (21). Справді , тобто , і є розв'язком рівняння (31). Таким чином, якщо матриця А матричного рівняння (31) невироджена, то рівняння (31) має єдиний розв'язок .

Приклад. Розв'язати систему лінійних рівнянь



Матриця цієї системи

- невироджена, причому

.

Отже, система має єдиний розв'язок

.

Виконуючи множення, знаходимо

, тобто .

1. Визначники другого і третього порядку. Правило Крамера

Нехай дано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими

 (1)

Нехай . Розв'яжемо систему (1) методом Гауса. Від другого рівняння системи (1) віднімемо перше її рівняння, помножене на . Дістанемо ступінчасту систему

(2)

еквівалентну системі (1). Якщо , а то друге рівняння системи (2) є рівняння вигляду , і отже, система (1) несумісна. Якщо і , то друге рівняння системи (2) є рівнянням вигляду і тому система (1) визначена. Якщо ж , то система (1) визначена. Тоді з другого рівняння системи (2) дістанемо

, (3)

а з першого -

.

(3) - єдиний розв'язок системи (1).

Розглянемо матрицю системи (1)

. (4)

Вираз, що є знаменникам в формулах (3) утворюється з елементів матриці (4) за правилом: береться добуток елементів головної діагоналі і віднімається від нього добуток елементів другої діагоналі матриці.

Означення 1. Визначником матриці другого порядку називається число

.

Визначник матриці (4) позначають

або (5)

Наприклад,

Треба відрізняти матрицю (4) від її визначника (5): матриця - це таблиця, а її визначник є число.

Зауважимо, що у формулах (3) чисельники також є визначниками другого порядку.

, .

Їх знаходимо з визначника (5) заміною відповідно першого і другого його стовпця вільних членів системи (1). Враховуючи це, формули (3) можна записати так:

, .

Отже, довели таку теорему.

Теорема 1. Якщо визначник матриці системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими відмінний від нуля, то система (1) має розв'язок і притому тільки один. Цей єдиний розв'язок задається формулами

, , (6)

де і є визначники, добуті з визначника заміною відповідно першого і другого його стовпців з вільних членів системи (1).

Теорему 1 називають правилом Крамера, а формули (6) - формулами Крамера.

Розглянемо систему лінійних рівнянь

(7)

Складемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих

. (8)

Якщо ми помножимо обидві частини першого із рівнянь системи (7) на число , обидві частини другого рівняння на , третього - на і потім складемо все три рівняння то, як легко перевірити, коефіцієнти при і будуть рівними нулю, тобто ці невідомі виключаються, і ми отримаємо рівність

(9)

Коефіцієнт при в цій рівності називається визначником або детермінантом матриці (8).

Означення 2. Визначником матриці третього порядку називається число

Вираз, визначника матриці третього порядку досить громіздкий. Правило складання його таке: Перший член визначника є добутком елементів головної діагоналі, два інші із знаком плюс - добутком елементів розміщених на паралелі до цієї діагоналі з приєднанням третього множника з протилежного кута матриці. Члени із знаком мінус утворюються аналогічно з елементів, розміщених на другій діагоналі і на паралелях до неї. Правило обчислення додатних і від'ємних членів визначника третього порядку можна подати схематично (рис 7).

Приклад.

Права частина рівності (9) також є визначник третього порядку - визначник матриці, яку дістанемо з матриці (8) замінимо її першого стовпця стовпцем із вільних членів системи (7).

.

Аналогічно, помноживши (7) відповідно на числа , , , знайдемо .

Нарешті, помноживши (7) відповідно на , , дістанемо .

Теорема 2. (правило Крамера). Якщо визначник матриці системи (7) трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими відмінними від нуля, то система (7) має єдиний розв'язок. Цей розв'язок задається формулами

, , . (10)

де - визначник, яких дістанемо з визначника заміню його -го стовпця стовпцем з вільних членів системи (7).

Приклад. Розв'язати систему

Обчислюємо визначник з коефіцієнтів системи

Оскільки , то система має єдиний розв'язок, який можна знайти за формулами Крамера (10).

Обчислюємо визначник :

Отже, ,

Перестановки, підстановки та інверсії

Розглянемо множину , яка складається з перших натуральних чисел

.

Ці числа можна записати й в іншому порядку:

або

Означення 3. Множину перших натуральних чисел, записаних у деякому певному порядку, називають перестановкою з чисел або з елементів.

Перестановку з чисел в загальному вигляді записують так: . У цьому записі кожен із символів означає одне з чисел , причому жодне з цих чисел не зустрічається двічі.

Дві перестановки і з чисел вважають різними, якщо, принаймні, одне з чисел не дорівнює числу .

Теорема 3. Число різних перестановок з елементів дорівнює .

За можна взяти будь-яке з чисел . Тому для вибору маємо можливостей. Якщо вибрано, то за можемо взяти будь-яке одне з чисел, що залишилися після вибору . Звідси випливає, що число можливостей для вибору й дорівнює добутку . Якщо й зафіксовані, то за можна взяти й і число можливостей для вибору , й дорівнює добутку і т.д. Отже, число можливостей для вибору дорівнює добутку .

Якщо зафіксовані, то за можна взяти лише одне число, що залишилися після вибору .

Тому число всіх можливостей для вибору дорівнює добутку і число всіх перестановок з елементів дорівнює .

Якщо в деякій перестановці поміняємо місцями будь-які два її елементи, а всі інші елементи залишимо на місці, то дістанемо нову перестановку.

Означення 4 . Перетворення перестановки, при якому деякі два її елементи міняються місцями, а решта елементів залишаються нерухомими, називається транспозицією.

Так, внаслідок транспозиції елементів 6 і 7 у перестановці дістанемо перестановку .

Від кожної перестановки з елементів можна перейти до будь-якої іншої перестановки з цих самих елементів за допомогою кількох транспозиції.

Говорять, що в перестановці елементи і утворюють інверсію, якщо , але стоїть в цій перестановці лівіше від . Так, в перестановці елементи 5 і 4 утворюють інверсію, ф 1 і 3 інверсії не утворюють.

Означення 5. Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій і непарною - в протилежному випадку.

Так, перестановка - парно при будь-якому , оскільки число інверсій в ній дорівнює нулю.

- перестановка парна, число інверсій в ній 8,

- непарна, число інверсій 15.

Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

При число парних перестановок з елементів дорівнює числу непарних, тобто .

Множина А взаємно однозначно відображена сама на себе, якщо вказано правило, за яким кожному елементу відповідає один і тільки один елемент і кожен елемент є відповідним для одного і тільки одного елемента .

Приклад. Нехай -- множина всіх цілих чисел. Кожному цілому числу т поставимо у відповідність ціле число . Цим буде задано взаємне однозначне відображення множини самої на себе.

Нехай є множина перших натуральних чисел:

.

Означення 6. Будь яку взаємне однозначне відображення множини самої на себе називають підстановкою цієї множини або підстановкою -го степеня.

Підстановка позначатимемо: та ін. Якщо при підстановці число відображаються в число , то записують

(11)

тобто під кожним з чисел підписують те число, в яке воно відображується. Запис (11) слід читати так: при підстановці один переходить в , два переходить в переходить в . Оскільки підстановка є взаємно однозначним відображенням, то всі числа різні і, отже, другий рядок запису (11) є деякою перестановкою з елементів .

Стовпці в записі (11) можна поміняти місцями. В результаті дістанемо запис тієї самої підстановки, але все іншого вигляду. Наприклад,

,

є різні записи тієї самої підстановки .

Отже, будь-яку підстановку -го степеня можна записати

Размещено на Allbest.ru