Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт - ЭНИН

Направление подготовки - Теплоэнергетика и теплотехника

Кафедра - Теоретической и промышленной теплотехники

«РАСЧЁТ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ»

Отчет по практической работе № 1

по дисциплине «Математическое моделирование объектов теплоэнергетики»

Вариант № 6

Выполнили студенты гр. 5БМ62

Абдраманов Е. Д., Емеленчук В.

Проверил ст. преподаватель Сыродой С. В.

Томск 2017



Оглавление

Задание

Теоретические сведения

1. Метод прямоугольников

1.1 Метод левых прямоугольников

1.2 Метод правых прямоугольников

1.3 Метод средних прямоугольников

2. Метод трапеций

3. Метод Симпсона (метод парабол)

4. Метод квадратур Гаусса-Лежандра

5. Метод Монте-Карло

Выполнение программ

Метод левых прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Метод средних прямоугольников

Метод трапеций

Метод Симпсона (парабол)

Метод квадратур Гаусса-Лежандра

Метод Монте-Карло

Результаты вычислений

Анализ результатов



Задание

Вычислить значения определенных интегралов численно методами прямоугольников, трапеций, Симпсона, квадратур Гаусса-Лежандра, Монте-Карло.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Где произвольные числа не нулевые числа

Проанализировать и а также чётное, нечётное и и целые числа.

Теоретические сведения

В общем случае задача вычисления определённых интегралов вида

сводится к аппроксимации функции более простой функцией , для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом полагают, что



и

где погрешность аппроксимации.

Строится сетка на интервале интегрирования и разбивается на малых интервалов т. е.

Значения в каждом из узлов сетки обозначается как

а значения функции

Рассмотрим следующие методы решения определённых интегралов: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона, метод квадратур Гаусса-Лежандра, метод Монте-Карло.



1. Метод прямоугольников

Заключается в замене подынтегральной функции на интервале интегрирования полиномом нулевой степени т.е. константой. Константу можно выбрать равной значению интегральной функции в любой точке интервала интегрирования

Значение интеграла определяется как площадь прямоугольника, одна сторона которого -- длина отрезка интегрирования, а другая -- аппроксимирующая константа.

Отсюда происходит разделение метода прямоугольников. Их графическое представление и формулы интегрирования приведены ниже.

При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

Рисунок 1

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка .

Точки деления будут:

x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2*h,..., x_n-1=a+(n-1)*h; x_n=b.

Числа y₀, y₁, y₂,..., y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂,..., x_n. Строим прямоугольники. Это можно делать несколькими способами(рис 2).

Рисунок 2 Способы строения прямоугольников

Рисунок 3 Разбиение на n прямоугольников

Из рисунка 3 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

1.1 Метод левых прямоугольников

Рисунок 1 Метод левых прямоугольников

Формула левых прямоугольников:

1.2 Метод правых прямоугольников

Рисунок 2 Метод правых прямоугольников

Формула правых прямоугольников:

1.3 Метод средних прямоугольников

Рисунок 3 Метод средних прямоугольников

Формула для средних прямоугольников:

S_средих= (S_правых + S_левых) /2



2. Метод трапеций

Заключается в замене подынтегральной функции на интервале интегрирования полиномом первой степени т. е. кусочно-линейной интерполяции подынтегральной функции.

Рисунок 4 Метод трапеций



3. Метод Симпсона (метод парабол)

Заключается в замене подынтегральной функции на интервале интегрирования полиномом второй степени При этом число разбиений обязательно должно быть чётным.

Рисунок 5 Метод Симпсона (метод парабол)



4. Метод квадратур Гаусса-Лежандра

Выше были рассмотрены методы, при которых погрешности аппроксимации функции суммировались для каждого интервала Причём при заданном значении погрешность аппроксимации не могла быть снижена, т. к. краевые точки интервала были фиксированы.

Напротив, в рассматриваемом методе квадратур искомую функцию аппроксимирует полином, который в зависимости от своих параметров пересекает искомую функцию в нескольких точках, которые могут быть подобраны таким образом, чтобы снизить погрешность аппроксимации с разными знаками.

Далее, интеграл вычисляется как сумма функции в данных точках с соответствующими весами.

Рисунок 6 Аппроксимация методом трапеций (а), методом квадратур (б)

Видно, что в методе квадратур погрешности могут быть скомпенсированы за счёт выбора оптимальных узлов. Изначально в квадратурах Гаусса-Лежандра рассматривается задача вычисления интеграла на отрезке



где веса, с которыми берутся значения в точках

Для произвольного интервала интегрирования квадратура Гаусса-Лежандра будет выглядеть так

где

Значения весовых коэффициентов и аргументов, а также погрешность аппроксимации при различном числе точек в квадратуре приведены в таблице 1.



5. Метод Монте-Карло

Можно интерпретировать как статистический метод прямоугольников, когда в качестве узла берётся случайное число, равномерно распределённое на интервале интегрирования Поскольку случайная величина, то и погрешность интеграла носит случайный характер.

Рисунок 6 Аппроксимация методом Монте-Карло

Проведя вычислений, со случайными узлами результат усредняется, и в итоге получаем усреднённое значение интеграла



Выполнение программ

Рассмотрим требуемые к выполнению методы на первом примере. Численное нахождение интегралов будет проводиться в среде программирования PascalABC.

Метод левых прямоугольников

program levii; { metod levyh pryamogulnikov}

uses crt;

var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s,p,m:real;

function f(x,p,m:real):real;

begin f:=exp(ln(sin(x))*p)*cos(m*x); end;

begin

clrscr;

write(' Vvedite nizhnii predel integrirovanie'); readln(a);

write(' Vvedite verhnii predel integrirovanie'); readln(b);

b:= Pi/2;

write('Vvedite kolichestvo otrezkov'); readln(n);

write('Vvedite m'); readln(m);

write('Vvedite p'); readln(p);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=0 to n-1 do

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x,p,m)*h; end;

writeln('Integral raven',s:12:10);readln;

end.



Метод правых прямоугольников

program pravii; { metod pravyh pryamogulnikov}

uses crt;

var i,n: integer; a,b,h,x,xb,s,p,m:real;

function f(x,p,m:real):real;

begin f:=exp(ln(sin(x))*p)*cos(m*x); end;

begin

clrscr;

write(' Vvedite nizhnii predel integrirovanie'); readln(a);

write(' Vvedite verhnii predel integrirovanie'); readln(b);

b:= Pi/2;

write('Vvedite kolichestvo otrezkov'); readln(n);

write('Vvedite m'); readln(m);

write('Vvedite p'); readln(p);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=1 to n do

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x,p,m)*h; end;

writeln('Integral raven',s:12:10);readln;

end.

Метод средних прямоугольников

program srednih; { metod srednyh pryamogulnikov}

uses crt;

var i,n: integer; a,b,dx,x,xb,s,p,m:real;

function f(x,p,m:real):real;

begin f:=exp(ln(sin(x))*p)*cos(m*x); end;

begin

clrscr;

write(' Vvedite nizhnii predel integrirovanie'); readln(a);

write(' Vvedite verhnii predel integrirovanie'); readln(b);

b:= Pi/2;

write('Vvedite kolichestvo otrezkov'); readln(n);

write('Vvedite m'); readln(m);

write('Vvedite p'); readln(p);

dx:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a+dx/2;

for i:=0 to n-1 do

begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x,p,m)*dx; end;

writeln('Integral raven',s:12:10);readln;

end.

Метод трапеций

Program trapec1;

uses crt;

var a,b,S,h,p,m,integ: real;

i,n: integer;

function f(x,p,m: real): real;

begin

f:=exp(ln(sin(x))*p)*cos(m*x);

end;

begin

clrscr;

write('Введите нижний предел '); readln(a); a:=0;

write('Введите верхний предел'); readln(b); b:=Pi/2;

write('Введите m'); readln(m);

write('Введите p'); readln(p);

write('Введите количество отрезков'); readln(n);

h:=(b-a)/n;

for i:=1 to n-1 do

S:=s+f(h*i,p,m);

integ:=h*((f(a,p,m)+f(b,p,m))/2+S);

writeln('S=',integ);

readln;

end.

Метод Симпсона (парабол)

program Simp1;

const

c=0;

d=pi/2;

var

i,n: integer;

s,p,m,h,x,x1,x2,s1,s2: real;

function f(x:real):real;

begin

f:=exp(ln(sin(x))*p)*cos(m*x);

end;

begin

writeln ('введите число узлов');

readln(n);

if (n mod 2)>0 then

begin

n:=n+1;

writeln ('было введено нечётное число узлов, производим замену на чётное число n=',n)

end;

writeln('введите число p');

readln(p);

writeln('введите число m');

readln(m);

h:=(d-c)/n;

x:=c;

s:=f(c)+f(d)+4*f(c+h);

for i:=1 to (n div 2)-1 do //для чётного числа i//

begin

x:=x+2*h;

s:=s+4*f(x+h)+2*f(x);

end;

s:=(h*s)/3;

writeln('Интеграл = ',s:4:12);

readln;

End.

Метод квадратур Гаусса-Лежандра

program Gauss1;

const c=0; d=pi/2; N=6;

p0=0.171324492; x0=-0.932469514;

p1=0.360761573; x1=-0.661209386;

p2=0.467913935; x2=-0.238619186;

p3=0.467913935; x3=0.238619186;

p4=0.360761573; x4=0.661209386;

p5=0.171324492; x5=0.932469514;

var x,k,m,s0,s1,s2,s3,s4,s5,s: real;

function f(x:real):real;

begin

f:=exp(ln(sin(x))*k)*cos(m*x);

end;

begin

writeln('введите число k');

readln(k);

writeln('введите число m');

readln(m);

s0:=p0*f((c+d)/2+(d-c)/2*x0);

s1:=p1*f((c+d)/2+(d-c)/2*x1);

s2:=p2*f((c+d)/2+(d-c)/2*x2);

s3:=p3*f((c+d)/2+(d-c)/2*x3);

s4:=p4*f((c+d)/2+(d-c)/2*x4);

s5:=p5*f((c+d)/2+(d-c)/2*x5);

s:=((d-c)/2)*(s0+s1+s2+s3+s4+s5);

writeln('Интеграл=',s:3:12);

End.

Метод Монте-Карло

Program mk1;

Var

k,p,s,g,x,m,a,b,Integral: real;

n,i: integer;

BEGIN

writeln('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);

writeln('Введите верхний предел'); readln(b);

writeln('Введите p'); readln(p);

writeln('Введите m'); readln(m);

writeln('Введите количество случайных значений(число испытаний):');

readln(n);

k:=b-a; {Переменной"k"присвоим значение длины промежутка интегрирования}

writeln('k=',k);

for i:= 1 to n do

begin {проведем n испытаний}

g:=random; {g - переменная вещественного типа, случайная величина из промежутка [-1;1]}

x:= a + g*(b-a); {По этой формуле получается произвольная величина из [a; b] }

s:=s + exp(ln(sin(x))*p)*cos(m*x); {s:=s +(x*x)} {Вообще можно подставить любую функцию}

end; {конец испытаний}

writeln('s=',s); {Сумма функции для n произвольных значений}

Integral:=(1/n)*k*s ;

writeln('Интеграл=',Integral);

readln;

END.

Результаты вычислений

Таблица 1

Результаты вычислений интеграла 1 несколькими методами: p = 4, m=2, n = 1000

Методы	Значения интеграла
левых прямоугольников	- 0.3919136835
правых прямоугольников	-0.3934844799
средних прямоугольников	-0.3926980817
трапеций	-0.392699081692
Симпсона (парабол)	-0.392699081699
квадратур Гаусса-Лежандра	-0.392699315656
Монте-Карло	-0.384649654850945

Значение аналитического решения

Таблица 2

Результаты вычислений 2 интеграла несколькими методами: m=5, n=1000

Методы	Значения интеграла
левых прямоугольников	0.0981747704
правых прямоугольников	0.0981747704
средних прямоугольников	0.0981747704
трапеций	0.0981747704
Симпсона (парабол)	0.098174770425
квадратур Гаусса-Лежандра	-0.288763126089
Монте-Карло	0.108465609775171

Значение аналитического решения

.

Таблица 3

Результаты вычислений 3 интеграла несколькими методами: p = 4, m = 3, n = 1000

Методы	Значения интеграла
левых прямоугольников	-0.4571428571
правых прямоугольников	-0.4571428571
средних прямоугольников	-0.4571428571
трапеций	-0.457142857142856
Симпсона (парабол)	-0.457142857143
квадратур Гаусса-Лежандра	-0.400713191645
Монте-Карло	-0.457526954617218

Значение аналитического решения .

Таблица 4

Результаты вычислений 4 интеграла несколькими методами

Методы	Значения интеграла
левых прямоугольников	0.1963495408
правых прямоугольников	0.1963495408
средних прямоугольников	0.1963495408
трапеций	0.196349540849362
Симпсона (парабол)	0.196349540849
квадратур Гаусса-Лежандра	0.039049269267
Монте-Карло	0.217111974946007

Значение аналитического решения .

Таблица 5

Результаты вычислений 5 интеграла несколькими методами: p=5, m = 2, n = 1000

Методы	Значения интеграла
левых прямоугольников	-0.7619047619
правых прямоугольников	-0.7619047619
средних прямоугольников	-0.7619047619
трапеций	-0.761904761904762
Симпсона (парабол)	-0.761904761905
квадратур Гаусса-Лежандра	-0.732325533679
Монте-Карло	-0.803843177888475

Значение аналитического решения

Таблица 6

Результаты вычислений 6 интеграла несколькими методами

Методы	Значения интеграла
левых прямоугольников	0.008333333318	0.016666666652
правых прямоугольников	0.008333333333	0.016666666667
средних прямоугольников	0.008333333333	0.016666666666
трапеций	0.008333333318	0.016666666652
Симпсона (парабол)	0.008333333333	0.016666666667
квадратур Гаусса-Лежандра	0.008312014654	0.016624029308
Монте-Карло	0.008333333333	0.016666666667

*

**

Анализ результатов

интеграл определенный интегрирование квадратура

В ходе проделанной работы были произведены вычисления нескольких определённых интегралов разными методами. Изучены методы интегрирования (левых, правых, средних прямоугольников; трапеций; Гаусса; Монте-Карла; Симпсона). Написаны программы на языке Pascal для нахождения значения интеграла перечисленными методами.

Среди методов прямоугольников наиболее точным является метод средних прямоугольников. Как и метод трапеций, он точен для функций первой степени, т. е. линейных функций.

Метод Симпсона даёт более точные значения для функций высшей степени.

В данной работе результаты вычислений методом Гаууса-Лежандра и Монте-Карло оказались неоднозначны и в некоторых моментах значительно отличается от достоверных значении определенного интеграла. Потому что в метод Монте-Карло погрешность интервала носит случайный характер, а в методе квадратуры Гаусса-Лежандера вся значение ответа зависит от 6 точек.

В случае, когда как и в случае, когда в выведенных ответах значения метод квадратур Гаусса-Лежандра отличался от других методов.

В итоге говоря анализируя все ответы каждого определенного интеграла можно считать наиболее точным метода средних прямоугольников и метода симпсона.

Размещено на Allbest.ru