Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Нахождение и исследование состояний равновесия

1.1 Исследование простого состояния равновесия

1.2 Исследование сложного состояния равновесия

2. Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.1 Исследование бесконечно-удаленной части вне концов оси Oy

2.2 Исследование бесконечно-удаленных концов оси Oy

Заключение

Литература



Введение

Одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений является качественная теория. Качественная теория - математическая дисциплина, которая изучает свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.

Развитие такой теории было вызвано тем, что в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. Вместе с тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: число и характер (устойчивость или неустойчивость) состояний равновесия, наличие замкнутых траекторий, число предельных циклов и их взаимное расположение и т.д.

Качественная структура отражает весьма существенные черты динамической системы, представляющие как математический интерес, так и большой интерес для приложений (в различных областях физики и техники).

В данной работе рассматривается система:

и проводится ее полное качественное исследование. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование как простых состояний равновесия, так и сложных, их фазовые портреты и исследование бесконечно-удалённой части плоскости.



1. Нахождение и исследование состояний равновесия

1.1 Исследование простого состояния равновесия

Рассмотрим систему

(1)

Определитель системы равен:

Пусть

Найдём состояния равновесия системы (1). Приравняв правые части системы к нулю и, решив полученную систему, найдём точки покоя системы.

Система имеет единственное состояние равновесие - O(0;0). Определим его тип в зависимости от коэффициентов.

Введем следующие обозначения:

Найдем производные:

Найдем значения производных в точке O(0;0).

Запишем характеристическое уравнение состояния равновесия О(0;0):

Преобразуем:

=0

т.е. получили следующие характеристическое уравнение состояния равновесия О(0;0):

=0

Найдем его корни:

Таким образом, если:

,

корни -действительные и различных знаков. Следовательно, точка О(0;0) - седло;

корни -действительные и различных знаков, а значит, (0;0) - седло;

Рис. 1. Седло

,

корни -действительные и одного знака, то О(0;0) неустойчивый узел (т.к );

Рис. 2. Неустойчивый узел

, ,

корни -действительные и одного знака, то О(0;0) устойчивый узел (т.к );



Рис. 3. Устойчивый узел

корни -мнимые, то О(0;0) - неустойчивый фокус (т.к );

Рис. 4. Неустойчивый фокус



корни -мнимые, значит, О(0;0) - устойчивый фокус (т.к );

Рис. 5. Устойчивый фокус

- чисто мнимые корни, следовательно, О(0;0) - центр;



Рис. 6. Центр

,

- двукратный корень, значит, О(0;0) - неустойчивый вырожденный узел (т.к )

Рис. 7. Неустойчивый вырожденный узел

,



- двукратный корень. то О(0;0) -устойчивый вырожденный узел (т.к );

Рис. 8. Устойчивый вырожденный узел

получаем следующие корни: . Получили сложное состояние равновесия. Если , то О(0;0) - неустойчивые параллельные полупрямые (рис. 9), а если , то О(0;0) - устойчивые параллельные полупрямые (рис. 10);

динамический математический равновесие удаленный



Рис. 9. Неустойчивые параллельные полупрямые

Рис. 10. Устойчивые параллельные полупрямые

, то О(0;0) - сложное состояние равновесия.



1.2 Исследование сложного состояния равновесия

Проведем дополнительные исследования для определения типа сложного состояния равновесия (в случае, когда , ). Т.к. , то система (1) примет вид:

(2)

Будем считать, что

, т.е. .

Приведем систему (2) к виду:

Это возможно сделать, воспользовавшись преобразованием:

Отсюда:

Следовательно, можно найти:

Тогда:

Найдём решение уравнения:

в виде ряда по степеням :

(3)

Подставим в уравнение (3), получим:

:

:

Следовательно

, , ….

Тогда

Находим :

Получили - нечётное,.

Найдем :

Найдем и . Преобразовав, получим:

.

Получили - нечётное.

Т.к. , то особая точка O(0;0) имеет одну замкнутую узловую (эллиптическую) область, две сопровождающие ее узловые области и одну седловую область (рис. 11).

Рис. 11. Седло-узел



2. Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.1 Исследование бесконечно-удаленной части вне концов оси

Исследуем поведение траекторий системы на бесконечности, используя преобразования Пуанкаре:

Подставив и преобразовав, получим:

Обозначим:

Найдем состояния равновесия этой системы на оси . Для этого решим систему:

Получили следующие состояния равновесия:



Найдем производные:

Найдем значения производных в точке :

Запишем характеристическое уравнение состояния равновесия:

Решив, получаем следующие характеристические корни:



Таким образом, если:

, корни -действительные и одного знака (отрицательные), то A - устойчивый узел;

, корни -действительные и одного знака (отрицательные), значит, точка А - устойчивый узел;

, корни -действительные и разных знаков, следовательно, A - седло;

, получаем , а значит, А - устойчивый вырожденный узел;

, получаем , значит, А - устойчивый вырожденный узел;

, то в точке А на бесконечности состояния равновесия нет;

, то , т.е. А - сложное состояние равновесия;

, то , т.е. А - сложное состояние равновесия.

Найдем значения производных в точке :

Запишем характеристическое уравнение состояния равновесия:

Решив, получаем следующие характеристические корни:

Таким образом, если:

, корни -действительные и одного знака (положительные), следовательно, B - неустойчивый узел;

, корни -действительные и разных знаков, а значит, B - седло;

, корни -действительные и одного знака (положительные), значит, B - неустойчивый узел;

, то , значит, А - неустойчивый вырожденный узел (т.к. корни положительные);

, то , т.е. B - сложное состояние равновесия.

, то в точке B на бесконечности состояния равновесия нет;

, то , т.е. B - сложное состояние равновесия;

, то , т.е. А - сложное состояние равновесия.

2.2 Исследование бесконечно-удаленных концов оси

Воспользуемся вторым преобразованием Пуанкаре:

Подставив и преобразовав, получим:

Исследуем поведение траекторий этой системы в окрестности точки D(0;0).

Обозначим:

Найдем производные:

Найдем значения производных в точке :

Запишем характеристическое уравнение состояния равновесия:

Решив, получаем следующие характеристические корни:

Таким образом, если:

, корни -действительные и одного знака (положительные), следовательно, D - неустойчивый узел;

, корни -действительные разных знаков, значит, D - седло;

, корни -действительные и одного знака (отрицательные), значит, D - устойчивый узел;

, корни -действительные и разных знаков, следовательно, D - седло;

, корни -действительные и разных знаков, значит, D - седло;

, то , т.е. D - неустойчивое сложное состояние равновесия;

, то , т.е. D - устойчивое сложное состояние равновесия.



Заключение

В данной курсовой работе рассматривалась система:

Было проведено ее полное качественное исследование.

Оно включает в себя:

· нахождение и исследование простых состояний равновесия;

· нахождение и исследование сложных состояний равновесия;

· построение фазовых портретов состояний равновесия;

· исследование бесконечно-удалённой части плоскости как на концах оси , так и вне концов этой оси.



Литература

1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем на плоскости. - М.: изд-во «Наука», 1966. -568 стр.

2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: изд-во «Наука», 1989. -486 стр.

3. Немыцкий В.В., Степанов В.В. качественная теория дифференциальных уравнений. - М.-Л.:ОГИЗ, 1947. - 448 стр.

4. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. - 839 стр.

5. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями: пер. с англ. - М.: Мир, 1986. -243 стр.

Размещено на Allbest.ru