Плоскость и прямая в пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

В произвольной аффинной системе координат плоскость задается уравнением

- общее уравнение плоскости.

Вектор, параллельный плоскости, называется направляющим вектором плоскости. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором (вектором нормали) плоскости.

Пусть в правой декартовой системе координат заданы точка и векторы Уравнение плоскости, проходящей через точку М и имеющей направляющие векторы и , имеет вид

Уравнение плоскости проходящей через точку М и имеющей вектор нормали , имеет вид

Если плоскость П имеет уравнение

,

то вектор является ее нормальным вектором, а расстояние от точки М до этой плоскости вычисляется по формуле

Если и - векторы нормали плоскостей и , то косинус угла между плоскостями находится по формуле

Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой. Параметрическое представление прямой, проходящей через точку М и имеющей направляющий вектор :

Каноническое уравнение прямой по точке М и направляющему вектору

Пусть - вектор нормали плоскости, - направляющий вектор прямой, тогда синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:

Задачи с решениями

Во всех задачах система координат - правая декартова.

1. Вершины тетраэдра имеют координаты .

a) Составить уравнение плоскости ;

б) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой ;

в) Найти расстояние от точки до плоскости ;

г) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение.

а) Зададим плоскость по точке и направляющим векторам и .

Так как , , то

Таким образом,

или .

б) Составим уравнение искомой плоскости по точке и вектору нормали

в) Расстояние от до найдём по формуле

г) Способ 1: по уравнению плоскости находим её вектор нормали . Вектор будет являться вектором нормали и для искомой плоскости, поскольку она параллельна . Составим уравнение плоскости по точке C и вектору нормали :

Способ 2: Плоскости параллельны, поэтому их уравнения отличаются лишь свободным членом. Поэтому уравнение искомой плоскости имеет вид

.

Чтобы найти коэффициент , используем тот факт, что точка лежит в плоскости, значит, её координаты удовлетворяют уравнению

.

Следовательно, искомая плоскость имеет уравнение

.

2. Составить уравнение плоскости, которая параллельна плокости

и касается сферы

.

Решение. Так как данная и искомая плоскости параллельны, то их уравнения отличаются лишь свободным членом, т.е. уравнение искомой плоскости имеет вид

.

Плоскость касается сферы, поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, . Так как , то

Отсюда

Действительно, искомых плоскостей две, и их уравнения

3. Найти угол между плоскостями и .

Решение. Найдем векторы нормали плоскостей: . В качестве вектора нормали первой плоскости также можно взять вектор , т.к. он коллинеарен вектору . Таким образом

4. Найти параметрическое представление прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой

Решение. Найдем направляющий вектор прямой L . Для этого возьмем 2 произвольные точки на L. Пусть , тогда

получили точку . Пусть теперь , тогда

получили точку . Очевидно, вектор - направляющий вектор прямой L, значит, и для искомой прямой он также является направляющим, т.к. прямые параллельны. Находим параметрическое представление прямой по точке M и направляющему вектору

Также можно записать еще одно представление искомой прямой, если учесть, что вектор также является направляющим

5. Найти точку симметричную точке относительно плоскости .

Решение. Точка лежит на прямой L, проходящей через т. M перпендикулярно плоскости . Очевидно, вектор нормали плоскости будет направляющим вектором прямой L . Зададим L по точке и вектору

Найдем координаты точки пересечения прямой L и плоскости .

Подставляем значение параметра в представление прямой и получаем точку . Вектор равен вектору , поэтому . Отложив вектор от точки О, получим точку .

6. Доказать, что прямые скрещиваются и найти расстояние между ними.

Решение. Найдем направляющие векторы этих прямых: . Векторы неколлинеарны, значит, прямые либо пересекаются, либо скрещиваются. Чтобы выяснить это, проверим, имеет ли решения система уравнений

(Параметр t в представлении прямой мы заменили на s, т.к. параметры в представлениях и независимы друг от друга, поэтому при одновременной работе с ними их нельзя обозначать одной буквой). Легко проверить, что эта система не имеет решений, поэтому общих точек у прямых нет, значит, они скрещиваются.

Известно, что через любые скрещивающиеся прямые можно провести пару параллельных плоскостей и расстояние между плоскостями равно расстоянию между прямыми.

Векторы и являются направляющими векторами плоскости , поэтому можно составить ее уравнение по этим векторам и какой-нибудь точке прямой . Возьмем, например, значение параметра t = 0 и получим точку с координатами . Таким образом,

Возьмем произвольную точку на прямой (например, при t = 0 получим точку ) и найдем расстояние от этой точки до плоскости - это и есть расстояние между и , а, следовательно, и между и .

7. Определить взаимное расположение прямых

Решение. Найдем направляющие векторы прямых: . Векторы коллинеарны, поэтому прямые либо параллельны, либо совпадают.

Возьмем какую-либо точку на прямой , например . Если М принадлежит , то прямые совпадают, в противном случае они параллельны. плоскость вектор уравнение параллельный

Точка М лежит на прямой , если ее координаты удовлетворяют системе уравнений

Находим, что значение является решением системы, поэтому , и, следовательно, прямые совпадают.

Размещено на Allbest.ru