Основы математики
Определение и характеристика производной функции в направлении вектора. Ознакомление с результатами исследования функции на экстремум. Расчет и анализ дискриминанта уравнения и интеграла. Вычисление площади фигуры, ограниченной прямой и параболой.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.01.2017 |
| Размер файла | 372,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Записать уравнение семейства линий уровня функции Z = Z (x, y). Выделить линию уровня, проходящую через точку M0 (x0, y0), и изобразить ее графически.
|
№ вар. |
Функция Z (x, y) |
M0 (x0, y0) |
|
|
13 |
Решение:
Уравнение семейства линий имеет вид
,
При С<0 D - пусто
при С=0 уравнение определяет точку (0,0)
при С>0 - определяет эллипс, т.е.
,
Подставим в заданное уравнение М(0,-1)
0+2(-1)2=2
Тогда в каноническом виде заданное уравнение будет иметь вид
,
Т.е a2=2, b2=1
a=v2, b=1
Центр эллипса в начале координат (0,0), полуось по х a=v2=1,414… по у b=1
Задание 2
Найти частные производные первого порядка от функции по каждому аргументу.
|
№ вар. |
||||
|
13 |
в) |
Решение:
а) Преобразуем функцию
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Задание 3
Дана функция скалярного поля u = u (x, y, z). Найти:
а) градиент функции u точке М0 (x0, y0, z0), модуль градиента и объяснить физический смысл полученного результата;
б) производную функции u в точке М0 (x0, y0, z0) в направлении вектора .
|
№ вар. |
u (x, y, z) |
М0 (x0, y0, z0) |
||
|
13 |
(2; -1; -2) |
Решение:
Для удобства запишем функцию так
,
,
,
,
В точке М(1,0,2) производные будут иметь значения
,
,
,
Вектор градиента
+,
(,
Заданная функция в точке возрастает с максимальной скоростью 10,8е в направлении вектора (10е,0,4е).
Модуль и направляющие косинусы вектора
S,
Cosб=2/; Cosв=1/; Cosг=2/
Производная по направлению
21)24,3 - 9,73=14,57
Функция в точке возрастает со скоростью 14,57 ед.
Задание 4
Найти все частные производные второго порядка от функции z = Z(x, y).
|
№ вар. |
||
|
13 |
Решение:
Частные производные первого порядка
,
,
Частные производные второго порядка
,
,
,
,
Задание 5
Исследовать на экстремум функцию Z = Z (x, y).
|
№ вар. |
Z (x, y) |
|
|
13 |
Решение:
1. Область определения функции вся плоскость OXY
2. Частные производные функции
,
,
Точки вероятные на экстремум из условия
=0
=0
=0 (1)
=0 (2)
Вычитаем из (1) (2)
,
,
или ,
подставим в (1), получим квадратное уравнение
,
Дискриминант уравнения D=4ac - b2=4-1=3>0, значит уравнение не имеет действительных корней, следовательно у заданной функции нет экстремума.
Задание 6
Пользуясь таблицей основных интегралов и правилами интегрирования, найти интегралы.
Интеграл
Решение:
Преобразуем подынтегральное выражение
,
Интегрируем по частям
,
Задание 7
Проинтегрировать подходящей заменой переменного или подведением под знак дифференциала.
|
№ вар. |
Интегралы |
|||
|
13 |
Решение:
,
произведем замену t=9x тогда dt=(9x)'=9dx, откуда dx= dt/9
dt/9=,
,
произведем замену t=tgx тогда dt=dx/cos2x, откуда dx= dtcos2x
,
,
Выделим в знаменателе полный квадрат, для чего произведем замену переменной x=t-b/2a, dx=dt, t=x+b/2a где а=1, b=4 x=t+2
,
По формуле (4) и (14) таблицы основных интегралов получим
,
Обратная замена t=x - 2
,
Задание 8
Проинтегрировать по частям.
Решение:
Пусть U=6x+1, тогда dU=6dx
dV=sinxdx
V=
UV=(6x+1)(
=(6x+1)( ,
Задание 9
Найти интегралы от тригонометрических функций
|
№ вар. |
Интегралы |
|||
|
13 |
Решение:
,
Пусть t=sinx, тогда dt=cosxdx
=,
,
,
Задание 10
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Уравнения линий
Определим точки пересечения кривой и прямой. Для этого решаем систему уравнений: парабола вектор экстремум интеграл
y=x2 - 1
y=1 - x или x2 - 1=1 - x
x2+x - 2=0
Корни уравнения x1=2, x2=- 1
Определим y1=1 - 2= - 1,
y2=1 +1= 2
Таким образом, М1(2,-1),
М2(-1,2)
Для построения параболы и прямой составим таблицу
|
x |
y |
|
|
-1 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
|
|
0,5 |
-0,75 |
|
|
1 |
0 |
|
|
1,5 |
1,25 |
|
|
2 |
3 |
|
|
2,5 |
5,25 |
|
|
3 |
8 |
|
|
3,5 |
11,25 |
|
|
4 |
15 |
Площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой, вычислим интегрированием
S=,
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.
контрольная работа [696,1 K], добавлен 05.01.2013Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Нахождение матрицы. Исследование функции и построение ее графика. Определение площади фигуры, ограниченной прямой и параболой.
контрольная работа [209,0 K], добавлен 14.03.2017Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Изменение порядка интегрирования функции. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск предела интегрирования. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [249,8 K], добавлен 28.03.2014Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Изменение порядка интегрирования функции. Поиск предела интегрирования. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора.
контрольная работа [233,2 K], добавлен 28.03.2014
