Метод потенциалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Метод потенциалов

Стерлитамак - 2015



Содержание

Введение

§1. Трёхмерные потенциалы

1.1 Ньютонов потенциал

1.2 Объемный потенциал

1.3 Потенциалы простого и двойного слоя

§2. Свойства потенциалов

2.1 Простого и двойного слоя на поверхности S

2.2 Разрыв потенциала двойного слоя

2.3 Разрыв нормальной производной потенциала

простого слоя

§3. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона

в пространстве.

3.1 Постановка основных краевых задач

3.2 Теоремы единственности решения краевых задач

3.3 Сведение краевых задач к интегральным уравнениям

3.4 Исследование интегральных уравнений

§4. Задачи

Заключение

Список использованной литературы



Введение

потенциал краевой интегральный уравнение

В первоначальном понимании теория потенциала - это учение о свойствах сил, действующих по закону всемирного тяготения. В формулировке этого закона, данной Исааком Ньютоном в 1687, речь идет только о силах взаимного притяжения, действующих на две материальные частицы малых размеров, или материальные точки, прямо пропорциональные произведению масс этих частиц и обратно пропорциональные квадрату расстояния между частицами.

После первых частных достижений И. Ньютона и других ученых основное значение здесь имели работы Ж. Лагранжа, А. Лежандра и П. Лапласа. Еще К. Гаусс и его современники обнаружили, что метод потенциала применим не только для решения задач теории тяготения, но и вообще для решения широкого круга задач математической физики, в частности электростатики и магнетизма. В связи с этим стали рассматриваться потенциалы не только физически реальных в вопросах взаимного притяжения положительных масс, но и "масс" произвольного знака, или зарядов. Основную роль в создании строгих методов решения основных краевых задач сыграли работы А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова в конце 19 века, изучение свойств потенциалов различных видов приобрело в потенциальной теории и самостоятельное значение. Мощный стимул в направлении обобщения основных задач и законченности формулировок теории потенциала, получила начиная с первой половины 20 века на основе использования общих понятий меры в смысле Радона, емкости и обобщенных функций. Современная теория потенциала тесно связана в своем развитии с теорией аналитических функций, гармонических функций, субгармонических функций и теорией вероятностей.

Целью данной курсовой работы является ознакомление с такой темой как «метод потенциалов». Работа состоит из введения, четырёх параграфов, заключения и списка использованных источников и литературы. Первый параграф посвящён разновидности потенциалов, во втором параграфе речь идёт о свойствах потенциалов простого и двойного слоя, в третьем параграфе предоставлена теория о краевых задачах для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве, в последнем, четвёртом параграфе, предоставлено девять задач и их решение.



§1. Трёхмерные потенциалы

1.1 Ньютонов потенциал

Ньютонов потенциал в трехмерном пространстве определяется как свертка обобщенной функции (плотности) с функцией :

(1.1)

Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

(1.2)

Основы классической теории потенциала заложены А.М. Ляпуновым в конце прошлого века.

1.2 Объемный потенциал

Если - (абсолютно) интегрируемая функция на и , то ньютонов потенциал , называемый объемным потенциалом, выражается интегралом

(1.3)

и представляет собой локально интегрируемую функцию в .

Если и - ограниченная область, то объемный потенциал принадлежит классу , гармоничен в и



Если , то .

1.3 Потенциалы простого и двойного слоя

Пусть S - ограниченная кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, - выбранное направление нормали к ней и и - непрерывные функции на S. Ньютоновы потенциалы

и

называемые потенциалами простого и двойного слоя соответственно, выражаются интегралами

(1.4)

(1.5)

и представляют собой локально интегрируемые функции в . Эти потенциалы удовлетворяют уравнению Пуассона:

(1.6)

Фиксируем точку на S; и пусть - нормаль в ней к S. Дифференцируя формулу (1.4) при по направлению и пользуясь равенством



(1.7)

где - угол между вектором и нормалью

Рис. 1.

(рис.1), получаем выражение для нормальной производной потенциала простого слоя:

(1.8)

аналогично, в силу равенства

(1.9)

где - угол между вектором и нормалью (рис.2), формула



для потенциала двойного слоя принимает вид

(1.10)

Потенциалы и - гармонические функции вне поверхности S, и

Теперь покажем, что потенциал двойного слоя с плотностью равен

(1.11)

если S - граница области .

Пусть . Тогда найдется шар . Граница области состоит из поверхностей S и



Рис.2.

(рис. 2). Поскольку функция - гармоническая при , то, применяя к области формулу

(*)

получим

(1.12)

Принимая во внимание (1.9) и учитывая, что на сфере из (1.12) выводим первое из равенств (1.11):

Пусть теперь . Так как функция - гармоническая в , то, применяя формулу (*) имеем



(1.13)

что, в силу (1.9), и доказывает вторую из формул (1.11).



§2. Свойства потенциалов

2.1 Простого и двойного слоя на поверхности S

Дальнейшие свойства потенциалов простого и двойного слоя устанавливаются в предположении, что S - поверхность Ляпунова. Замкнутая ограниченная поверхность S называется поверхностью Ляпунова, если в каждой точке существует нормаль , непрерывная по Гёльдеру на S, т.е. существуют числа и такие, что

(2.1)

Из этого определения вытекает, что поверхности Ляпунова содержатся в классе поверхностей ; с другой стороны, всякая ограниченная замкнутая поверхность класса есть поверхность Ляпунова (при ).

Предполагая границу S области поверхностью Ляпунова, установим некоторые свойства потенциалов и на S. Имеют место равенства

(2.2)

Потенциал двойного слоя - непрерывная функция на S.

Обозначим через интеграл



(2.3)

функция называется прямым значением нормальной производной потенциала простого слоя на поверхности S; по доказанному она непрерывна на S.

Отметим еще, что потенциал простого слоя - непрерывная функция на S, поскольку .

2.2 Разрыв потенциала двойного слоя

Теорема 2.1. Если S - поверхность Ляпунова и , то потенциал двойного слоя принадлежит и и его предельные значения и на S извне и изнутри S выражаются формулами

(2.4)

(2.4')

Из формул (2.4) и (2.4') следует соотношение

2.3 Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя

Теорема 2.2. Если S - поверхность Ляпунова и , то потенциал простого слоя имеет правильные нормальные производные

и на S извне и изнутри S, причем

(2.5)

(2.5')

Из формул (2.5) и (2.5') следует соотношение

(2.6)

§3. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве

3.1 Постановка основных краевых задач

Будем, изучать следующие четыре краевые задачи I и II родов для трехмерного уравнения Лапласа. Считаем область такой, что есть область.

Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на S заданные (непрерывные) значения .

Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на S заданные (непрерывные) значения и обращающуюся в 0 на бесконечности.

Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию имеющую на S заданную (непрерывную) правильную нормальную производную .

Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию , имеющую на S заданную (непрерывную) правильную нормальную производную (нормаль внутренняя) и обращающуюся в 0 на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравнения Пуассона

(3.1)

причем требуется, чтобы для внутренних задач и , для внешних задач.

Подстановка



(3.2)

сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона к соответствующим внутренним краевым задачам для уравнения Лапласа, если .

Действительно, в этом случае объемный потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона (3.1) (1.1). А тогда, в силу (3.2) функция должна удовлетворять уравнению Лапласа и соответствующему граничному условию.

Для внешних краевых задач поступаем аналогично (если объемный потенциал с плотностью существует и обращается в 0 на бесконечности).?

Отметим, что преобразование Кельвина позволяет сводить внешние краевые задачи для уравнения Лапласа к внутренним, и наоборот.

Наконец, обратим внимание, что для задач Неймана (внутренних и внешних) необходимо предположить, что ; далее, существование у решения правильной нормальной производной на S влечет ее непрерывность на или соответственно.

3.2 Теоремы единственности решения краевых задач

Докажем теоремы единственности решения краевых задач, поставленных в разделе 3.1.

Теорема 3.1. Решение уравнения Пуассона единственно в классе обобщенных функций, обращающихся в 0 на бесконечности.

Доказательство. Достаточно установить, что уравнение Лапласа имеет только нулевое решение в классе обобщенных функций, обращающихся в 0 при . Но это вытекает из аналога теоремы Лиувилля, которая звучит так: если удовлетворяет уравнению Лапласа во всем пространстве , то - полином.

Следствие. Если функция - гармоническая в и удовлетворяет неравенству

то - (гармонический) полином степени .

Теорема 3.2. Решение внутренней или внешней задачи Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничного значения или соответственно в следующем смысле: если на S, то соответствующие решения и удовлетворяют оценке

(3.3)

Доказательство. Применяя неравенства и к гармонической функции ,

получим все утверждения теоремы.

Будем говорить, что поверхность Ляпунова S - достаточно гладкая поверхность, если для нее справедлива формула Грина

для функций класса , имеющих правильную нормальную производную на S и , и для функций класса .

В силу сказанного в разделе 1 ограниченные замкнутые поверхности класса - достаточно гладкие поверхности.?

Теорема 3.3. Если S - достаточно гладкая поверхность, то решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи является равенство

(3.4)

Доказательство. Если и - два решения внутренней задачи Неймана, то их разность - гармоническая функция в и имеет нулевую правильную нормальную производную на S. Применяя формулу Грина (3.*) при , получим

откуда следует, что , так что .

Необходимость условия (3.4) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из формулы

при , согласно которой



если - решение, этой задачи. Теорема доказана.

Теорема 3.4. Если S - достаточно гладкая поверхность, то решение внешней задачи Неймана единственно.

Доказательство. Пусть и - два решения внешней задачи Неймана. Тогда их разность - гармоническая функция в имеет нулевую правильную нормальную производную на S и .

По теореме «Пусть функция - гармоническая вне шара и при

Тогда

если . Если же , то

»

удовлетворяет неравенствам

(3.5)

Применяя формулу Грина (*) при к области (рис. 3)



Рис.3.

получим

(3.6)

Но из оценок (3.5) вытекает, что при

Поэтому, устремляя в равенстве (3.6) R к , получаем

откуда следует , т. е. . Так как , то , Теорема доказана.



3.3 Сведение краевых задач к интегральным уравнениям

Выпишем формулу Грина

при :

(3.7)

Формула (3.7) справедлива для функций , гармонических в и имеющих правильную нормальную производную на S, если S - достаточно гладкая поверхность.

Из теорем единственности для задач Дирихле и Неймана (см. §3.2) следует, что, вообще говоря, не существует гармонической функции с произвольно заданными значениями и на S. Поэтому формулу Грина (3.7) нельзя непосредственно использовать для решения поставленных краевых задач. В этом состоит существенное различие между краевой задачей для эллиптических уравнений и задачей Коши.

Пользуясь теорией ньютонова потенциала, сведем задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям Фредгольма с полярным ядром.?

Далее, используя теорию интегральных уравнений, докажем разрешимость этих краевых задач.

Пусть S - достаточно гладкая поверхность. Ищем решение задач Дирихле (внутренней и внешней) в виде потенциала двойного слоя



где - неизвестная непрерывная плотность на S. Функция - гармоническая в и принадлежит классам и . Поэтому, чтобы потенциал давал решение внутренней или внешней задачи Дирихле, необходимо и достаточно, чтобы соответственно были выполнены равенства

(3.8)

где - предельные значения изнутри и извне S.

По теореме о разрыве потенциала двойного слоя равенства (3.8) принимают вид

(3.9)

Равенства (3.9) представляют собой интегральные уравнения Фредгольма относительно неизвестной плотности .

Вводя вещественный параметр и ядро

(3.10)

перепишем интегральные уравнения (3.9) в единой форме:

(3.11)

При этом для внутренней задачи Дирихле и , а для внешней задачи Дирихле и .

Аналогично решение задач Неймана (внутренней и внешней) ищем в виде потенциала простого слоя

где - неизвестная непрерывная плотность на S. Функция - гармоническая в и , непрерывная в , имеет правильные нормальные производные на S изнутри и извне S и (см. §1). Поэтому, чтобы потенциал давал решение внутренней или внешней задачи Дирихле, необходимо и достаточно, чтобы соответственно были выполнены равенства

(3.12)

По теореме о разрыве нормальной производной потенциала простого слоя (см. §2.3.) равенства (3.12) превращаются в интегральные уравнения Фредгольм

(3.13)

относительно неизвестном плотности .

Из равенства и из (3.10) следует, что ядро интегральных уравнений (3.13) равно , так что уравнения (3.9) и (3.13) - союзные друг другу. Вводя параметр , перепишем интегральные уравнения (3.13) в единой форме:

(3.11*)



При этом для внутренней задачи Неймана и , а для внешней задачи Неймана и .

Для поверхности Ляпунова S функция непрерывна на и удовлетворяет оценке

Поэтому, в силу (3.10), ядро , непрерывно при и удовлетворяет оценке

и, следовательно, является полярным ядром. Таким образом, для интегрального уравнения (3.11) и союзного к нему уравнения (3.11*) применимы все положения теории Фредгольма.

3.4 Исследование интегральных уравнений

Докажем сначала, что не есть характеристическое число ядра . Пусть, напротив, - характеристическое число этого ядра и - соответствующая ему собственная функция,

(3.14)

Собственная функция . Построим потенциал простого слоя с плотностью . Функция гармонична вне S, непрерывна в и (см. §1 и §2). Далее, в силу формулы (2.5) и уравнения (3.14), ее правильная нормальная производная на S извне равна нулю. Отсюда, по теореме 3.4 о единственности решения внешней задачи Неймана, заключаем, что и, в частности, . Но тогда, по теореме 3.2 о единственности решения внутренней задачи Дирихле, . Итак, . Отсюда, пользуясь формулой (2.18), заключаем, что .

Таким образом, не есть характеристическое число ядра . Отсюда, по второй теореме Фредгольма, также не есть характеристическое число ядра . А тогда, по третьей и первой теоремам Фредгольма, интегральные уравнения (3.11) и (3.11*) при однозначно разрешимы при любых непрерывных и . Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.5. Внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Неймана разрешимы при любых непрерывных данных и , и их решения представляются потенциалами двойного и простого слоя соответственно.

Теперь из формулы (2.2)

следует, что есть характеристическое число ядра и - соответствующая ему собственная функция. Докажем, что это - простое характеристическое число. Для этого, в силу второй теоремы Фредгольма, достаточно показать, что простое характеристическое число ядра . Пусть - соответствующая собственная функция,

(3.15)

собственная функция .

Составим потенциал простого слоя с плотностью ,

(3.16)

функция гармонична вне S, непрерывна в и (см. раздел 2). Далее, в силу формулы (2.5') и уравнения (3.15), ее правильная нормальная производная на S изнутри равна нулю. Отсюда, по теореме 3.3 о единственности решения внутренней задачи Неймана, заключаем, что

Докажем, что . Пусть, напротив, и, в частности, . Но тогда, по теореме 3.2 о единственности решения внешней задачи Дирихле, . Итак, . Отсюда, пользуясь формулой (2.6), заключаем, что , что невозможно. Пусть - другая собственная функция ядра , соответствующая характеристическому числу . По доказанному потенциал простого слоя с плотностью равен постоянной на . Но тогда потенциал простого слоя с плотностью равен нулю на , откуда следует, что эта плотность тождественно равна нулю на S, т. е.

Поэтому - простое характеристическое число ядра и, стало быть, ядра .

Нормируем собственную функцию так, чтобы



(3.17)

Потенциал простого слоя с плотностью называется потенциалом Робена.

Вернемся к уравнениям (3.11) и (3.11*) при . По третьей теореме Фредгольма интегральное уравнение (3.11*) при разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член ортогонален к 1. Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.6. Внутренняя задача Неймана разрешима при любой непрерывной функции , удовлетворяющей условию ортогональности

(3.18)

и ее решение представляется потенциалом простого слоя.

Далее, для разрешимости уравнений (3.11) при необходимо и достаточно, чтобы свободный член был ортогонален к . Таким образом, внешняя задана Дирихле имеет решение, представимое потенциалом двойного слоя, при любой непрерывной функции ортогональной к плотности потенциала Робена

(3.19)

Условие разрешимости (3.19) возникло за счет того, что решение внешней задачи Дирихле искалось в виде потенциала двойного слоя и, следовательно, от решения заранее требовалось убывание при . Однако в постановке этой задачи требуется лишь, чтобы решение обращалось в 0 на бесконечности.

Чтобы учесть и такие решения и тем самым избавиться от условия (3.19), поступаем следующим образом.

Считаем . Ищем решение внешней задачи Дирихле в виде суммы потенциала двойного слоя неизвестной плотностью на S и ньютонова потенциала от заряда в точке неизвестной величины ,

(3.20)

Соответствующее интегральное уравнение (3.4) принимает вид

(3.21)

По доказанному для разрешимости интегрального уравнения (3.21) необходимо и достаточно, чтобы

(3.22)

Так как , то, в силу (3.17)

а потому условие разрешимости (3.22) принимает вид

(3.23)

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.7. Внешняя задача Дирихле разрешима при любой непрерывной функции и ее решение представляется в виде суммы потенциала двойного слоя и потенциала



4. Задачи

Задача №1. Найти объемный потенциал V шара при постоянной плотности р=р₀, поставив краевую задачу для V и решая прямым вычислением объемного интеграла.

Ответ. Объёмный потенциал однородного шара

где a - радиус шара, - его масса.

Указание. Объёмный потенциал

где T- объём шара, является функцией, гармонической вне сферы (при r >a), удовлетворяющей уравнению

внутри шара и непрерывной вместе с нормальной производной на его границе. Так как с₀=const, то потенциал обладает сферической симметрией.

Данная задача сводится к вычислению объёмного интеграла

где



Вводя новую переменную интегрирования R вместо и и учитывая, что

получаем:

Если r > a, то r > о всегда и

Если r < a, то

Задача №2. Найти объемный потенциал:

а) масс, распределенных с постоянной плотностью в сферическом слое а ? r < b; б) масс, распределенных внутри шара радиуса а с постоянной плотностью р₁ и в сферическом слое a< b < r < с с постоянной плотностью р₂; в) масс, распределенных внутри сферы радиуса r = c с переменной плотностью р = р(r).

Получить отсюда решение задач 2 а) и 2 б).

Ответ.

а)

б)

Указание. В силу принципа суперпозиции решений линейного уравнения искомый потенциал представится в виде суммы

где - решения задач 1 и 2. а);

в) потенциал

где



- масса, распределённая с объёмной плотностью с(r) внутри сферы радиуса с (или радиуса r).

Если то отсюда мы сразу получаем решение задачи 1 а):

где

При с = внутри сферы радиуса a (c = a) из общей формулы получим:



Заключение

Подводя итоги можно сделать заключение к проделанной работе. Данная тема актуальна тем, что её необходимо рассматривать и изучать для решения ряда физико-математических задач.

В ходе исследования были рассмотрены различные источники литературы, предоставленные ниже в разделе «список использованной литературы», а также были грамотно и планомерно использованы знания из курса «методы математической физики». В ходе чего были рассмотрены задачи по данной теме и приведены ответы с указаниями.



Список литературы

Сретенский, Л.Н. Теория Ньютоновского потенциала / Л.Н. Сретенский. - М. ; Л.: ОГИЗ. Гос. изд-во техн. -теорет. лит., 1946. - 318 с.

Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов -3е.изд.,- М. Наука, 1979. - 685 с.

С.И. Похожаев, В.П.Пикулин Практический курс по уравнениям математической физики / С.И. Похожаев, В.П.Пикулин. - 2-е изд., стереотип. --М.: МЦНМО, 2004. -- 208с.

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики/ Владимиров В.С., Жаринов В.В. - М., Наука, 1971, - 512 с.

Уравнения математической физики и механики / Владимиров В. С., Жаринов В. В. -- М.: Физтех, 2005.- 400 стр.

Размещено на Allbest.ru