10

Размещено на http://www.allbest.ru/

Случайные события

Задача 1.1

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится герб:

Решение:

Определим количество событий:

1. На 4 монетах выпадает герб

2. На 3 монетах выпадает герб, на 1 - решка

3. На 2 монетах выпадает герб, на 2 - решка

4. На 1 монете выпадает герб, на 3 - решка

5. На 4 монетах выпадает решка

Р (A) =

Задача 1.2

Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова: "ПРОЦЕДУРА"

Решение:

Из всех возможных последовательностей вынимания карточек нас устраивает только одна.

Всего последовательностей из 9 различных букв - 9!, следовательно, вероятность - 1/9*2/8*1/7*1/6*1/5*1/4*1/3*1/2*1/1=2/9!

Задача 1.3

Найти вероятность случая когда заданным словом является:

"Михайлов Николай" (Событие А)

Р (А) = 1/15*2 /14*1 /13*2 /12*2 /11*2 /10*2/ 9*1/8*1 /7*1/6*1 /5*1/4*1/3*1/2*1/1= 10/15!

Задача 1.4

В урне содержится К = 5 черных и Н = 6 белых шаров. Случайным образом вынимают М = 5 шара. Найти вероятность того что среди них имеется а) Р = 4 белых шара

б) меньше, чем Р = 4 белых шара

в) хотя бы один белый шар

Решение

Испытанием будет случайное вынимание M = 5 шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по M = 5 из

Q = K+H = 5+6 = 11 шаров. Их число равно

n =

а) А₁ - среди вынутых шаров 4 белых. Значит, среди вынутых шаров 4 белых и 1 черный. Используя правило умножения, получаем

Р (А₁) = 300/462 = 0,649

б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 4 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В₁ - среди вынутых 4 шаров только 3 белых и 2черный шар,

В₂ - среди вынутых 4 шаров только один 2 белых и 3 черных шара

В₃ - среди вынутых 4 шаров только один 1 белый и 4 черных шара

В₄ - среди вынутых 4 шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А₂ = В₁ В₂ В_3.

Так как события В₁, В₂ В₃ В₄ несовместимы, можно использовать формулу:

Р (А₂) = Р (В₁) + Р (В₂) + Р (В₃) +P (В₄);

Р (А₂) = 200/462 + 150/462 + 30/462 +1/462 = 0,432 + 0,324 + 0,0649 + 0,0021 = =0,823

в) - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

Р (А₃) = 1 - = 0,997

Задача 1.5

Устройство состоит из трёх независимых элементов, работающих в течении времени "Т" безотказно соответственно с вероятностями p1, p2, p3 Найти вероятность того, что за время "Т" выйдет из строя

а) только один элемент

б) хотя бы один элемент

Решение

Значения параметров:

к = 15/100 = 0,15

р1 = 1 - к = 0,85

р2 = 0,9 - к = 0,75

р3 = 0,95 - к = 0,8

найдем вероятности, что приборы не выйдут из строя

q1 = 1 - p1 = 1 - 0,85= 0,15

q2 = 1 - p2 = 1 - 0,75= 0.25

q3 = 1 - p3 = 1 - 0,8= 0.2

а) событие А = "только один элемент выйдет из строя " сложное и может быть представлено в виде логической суммы таких трех несовместных событий

А1 = выйдет из строя только 1-й элемент а 2й и 3й будут работать безотказно

А2 = выйдет из строя только 2-й элемент а 1й и 3й будут работать безотказно

А3 = выйдет из строя только 3-й элемент а 1й и 2й будут работать безотказно

А = А1 + А2 + А3,

где "+" логическое ИЛИ

вероятность каждого из событий Аі найдем по теореме о произведении вероятностей для независимых событий

Р (А1) = p1 * q2 * q3 = 0,85*0.25*0.2 = 0.0425

Р (А2) = q1 * p2 * q3 = 0,15*0.75*0.2= 0.0225

Р (А3) = q1 * q2 * p3 = 0,15*0.25*0.8 = 0.03

по теореме о сложении вероятностей несовместных событий получим

Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0.0425+0.0225+0.03= 0.095

б) событие В = "хотя бы 1 элемент выйдет из строя" противоположно событию С = "ни один элемент не выйдет из строя", то есть суммы вер-тей этих событий = 1

Р (В) + Р (С) = 1

Р (С) = р1 * р2 * р3 = 0,85*0.75*0.8 = 0.51

Задача 1.6

В первой урне К = 3 белых и L=5 черных шаров, а во второй урне M=6 белых и N =6 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом P = 4 шара, а из второй - Q =1 шара. Найти вероятность что среди шаров:

а) все шары одного цвета

б) Только три белых шара

в) Хотя бы один белый шар

Решение

Определим для каждой урны всевозможные события и их количество:

В₁ - из первой урны вынуты 3 белых шара;

В₂ - из первой урны вынуты 2 белых и 1 черный шар;

В₃ - из первой урны вынуты 1 белый и 2 черных шара;

В₄ - из первой урны вынуты 3 черных шара;

С₁ - из второй урны вынуты 1 белый шар;

С₂ - из второй урны вынуты 1 черный шар;

вероятность событий независимое несовместимое

Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем:

Значит, А₁ = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р (А₁) = Р (В₁) * Р (С₁) + Р (В₄) * Р (С₄) = (1/56) * (3/12) + (10/56) * (5/12) = 0.078

б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А₂ = (В₁ С₂ (В₂ С₁);

Р (А₂) = Р (В₁) * Р (С₁) + Р (В₂) * Р (С₁) + Р (В₃) * Р (С₁) = (1/56) * (3/12) + (15/56) * (3/12) + (7.5/56) * (3/12) = 0.104

в) А₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

Р () = Р (В₄) * Р (С₂) = 10/56 * 5/12 = 0.0744;

Р (А₃) = 1 - Р () = 1 - 0.0744=0.9255

Задача 1.7

В первой урне K=6 белых и L=4 черных шаров, а во второй урне M=3 белых и N=6 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом P=4 шара и опускают во вторую. После из второй урны, также, случайно вынимают R=2 шара. Найти вероятность что все шары вынутые из второй урны белые

Р (А) = * + * + * + * = 0.220

Задача 1.9

В пирамиде стоят R винтовок, из них L с оптическим прицелом. Стрелок стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью р1, а стреляя из винтовки без оптического прицела, с вероятностью р2. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Решение: Значения параметров к = 14-15 = 1

р1 = 0.95 - (1/100) = 0.94

р2 = 0.6 - (1/100) = 0.59

R = 5+ 1 =6 L = 4

Р (В1) = 4/ 6, Р (В2) = 2/6

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р (А/В1) = 0.9 Р (А/В2) = 0.55.

Следовательно, Р (А) = 0.94 4/ 6+ 0,59 2/6= 0,82.

Задача 1.10

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель.

Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются двигатели этих заводов в количестве соответственно М1, М2, М3 штук, которые могут работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно р1; р2; р3. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Решение: Значения параметров: к = 14-15 = 1

р1 = 0.99 - (1/100) = 0.98 М1 = 5+1 =6

р2 = 0.9 - (1/100) = 0.89 М2 = 20 - 1 = 19

р3 = 0.85 - (1/100) = 0.84 М3 = 25 - 1 = 24

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р (А/В₁) = 0.98, Р (А/В₂) = 0.89, Р (А/В₃) = 0.84

Р (В₁) = 6/ (6+19+24) = 0,122;

Р (В₂) = 19/ (6+19+24) = 0,387;

Р (В₃) = 24/ (6+19+24) = 0,489;

Р (А) = 0,98 0,122+ 0,89 0,387+ 0,84 0,489= 0.1195 + 0.3444 + 0.410 = 0.87

Р (В₁/А) = Р (В₁) *Р (А/В₁) / (Р (А) = 0,122*0.98/0.87= 0.137;

Р (В₂/А) = 0,387*0.89/0.87=0.395;

Р (В₃/А) = 0,489*0.84/0.87=0.472;

Размещено на Allbest.ru