Конформное отображение внешности дуги на внешность круга

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Кафедра математических методов современного естествознания

Курсовая работа

по дисциплине “Теория функций комплексного переменного”

на тему: “ Конформное отображение внешности дуги на внешность круга”

Выполнил: студент 3-го курса

Самойленко О.В.

Научный руководитель:

Доцент кафедры математических

методов современного естествознания

Воронцова Елена Геннадьевна

кандидат физико-математических наук

Тверь 2015

Понятие конформное отображения

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным, если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

конформный отображение теорема дуга круг

Свойства конформного отображения

1) Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;

2) Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.

3) Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости допускает конформную биекцию на единичный диск.

4) Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.

5) Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и -- конформноэквивалентные метрические тензоры, то

где и обозначают тензоры Вейля для и соответственно.

6) Для конформно-эквивалентых метрик

Связности связаны следующей формулой:

Кривизны связаны следующей формулой:

если а обозначает Гессиан функции .

7) Для ортонормированной пары векторов и Секционная кривизна в направленнии можно записать в следующем виде:

где .

8) При вычислении скалярной кривизны -мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае:

Примеры:

· Простейший пример -- преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;

· Инверсия -- конформное отображение второго рода;

· Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;

· Стереографическая проекция.

Рис. 1

Из Рис. 1 видно, что перпендикулярность сохраняется.

Применение Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей, механике сплошных сред (гидро-иаэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Конформное отображение внешности дуги на внешность круга

Одним из примером отображения круговых луночек является отображение внешности дуги на внешность круга. (Это -- вырожденный случай, когда две дуги, ограничивающие луночку, совпадают).

Предположим, что концы дуги АВ на плоскости z лежат в точках ±а и что круг в плоскости w проходит через те же точки. Кроме того, предположим, что середина дуги лежит в точке z = hi, а центр круга - в точке w=hi, так что касательная к дуге в точке z=a составляет с отрицательной осью x угла б=2arctg, а касательная к окружности в точке w=a-угол в=- с положительной осью и c помощью дробно-линейной функции мы отображаем внешность дуги AB на внешность луча (рис.2).

(1)

Рис.2

Так как [ >0,то угол наклона этого луча к отрицательной оси также равен б. Далее будем икать отображение на внешность луча внешности круга в плоскости w. Для этого снова воспользуемся дробно-линейной функцией

Которая переводит круг в полуплоскость, а его окружность в некоторую прямую. Так как[ >0, то в угол наклона этой прямой к положительной оси равен в. Отображение

=( (2)

переводит, следовательно, наш круг во внешность луча, образующего с положительной осью угол 2в=р-б. Таким образом, этот луч совпадает с полученным при отображение (1); исключая из соотношений (1) и (2), мы получаем искомое отображение

=.

Из последнего уравнения находим:

. (3)

При рассматриваемом отображение любая окружность C`, касающаяся окружности С в точке w=a, переходит в замкнутую кривую, охватывающую дугу AB и имеющую в точке B(z=a) точку возврата: эта кривая напоминает профиль крыла самолета (рис.3).

Рис.3

Функция (3) осуществляет конформное отображение внешности этой кривой на внешность круга, ограниченного окружностью C`.

На этом основывается метод Жуковского (получения классов профилей крыльев самолета, особенно просты для расчета.

Форма профилей Жуковского зависит от трех параметров: а, характеризующий ширину крыла, h, характеризующий его искривление, и d -расстояние между центами окружности C и С`, характеризующего толщину крыла (рис.3).

Метод Жуковского

Для применения этого метода необходимо повернуть план скоростей на 90є (рекомендуется поворачивать в сторону противоположную ). Переносим все заданные силы, действующие в рассматриваемый момент времени на звенья механизма, в том числе и силы инерции, в одноименные точки повернутого плана скоростей, не изменяя при этом величины и направления этих сил (cилы реакции в Рычаге Жуковского не участвуют). Составляем уравнение моментов всех перенесенных сил относительно полюса плана скоростей, т. е. рассматриваем план скоростей как некоторый рычаг с опорой в полюсе плана скоростей, находящийся под действием всех рассматриваемых сил в равновесии. Плечи всех сил берутся непосредственно с чертежа в мм.

Подобная геометрическая интерпретация принципа возможных перемещений представляет значительные удобства для решения многих задач динамики механизмов. Метод этот получил название метода Жуковского по имени ученого, которым он был предложен, а рычаг, которым пользуются в этом методе, назван рычагом Жуковского.

Метод Жуковского может быть применен для нахождения величины какой-либо одной неизвестной силы из числа сил, входящих в уравнение моментов, если точка приложения и направление этой силы заданы, а также заданы величины, направления и точки приложения всех остальных сил. В самом деле, в этом случае в записанном уравнении будет только одна неизвестная величина искомой силы, которая из него и определится.

Список используемой литературы

1) Лаврентьев М.А, Шабат Б.В. - Методы теории функций комплексного переменного (стр.148-152)

2)https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5\

3)http://gruzdoff.ru/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

4) http://www.studfiles.ru/preview/1672728/

Размещено на Allbest.ru