Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Кафедра таможенной статистики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Математический анализ»

на тему «Понятие непрерывной функции. Непрерывность справа и слева. Практический прием доказательства непрерывности функции в точке. Непрерывность в экономике»

Выполнил: В.И. Пономарева, студент 1-го курса очной формы

обучения экономического факультета, группа Э123б

Научный руководитель: Г.О. Вафодорова,

доцент кафедры таможенной статистики

кандидат физико-математических наук

Г. Люберцы, 2012 г.



Содержание

Введение

1. Непрерывная функция

1.1 Свойства непрерывных функций

1.2 Непрерывность некоторых элементарных функций

2. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация

3. Непрерывность функции на интервале и отрезке

3.1 Свойства функций, непрерывных на отрезке

3.2 Равномерно непрерывные функции

4. Непрерывность в экономике

Заключение

Список использованных источников



Введение

Целью изучения курса математического анализа является изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения математического анализа помогает получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности в человеческой практики.

В данной работе рассмотрим основные определения, свойства, теоремы с доказательствами, примеры использования теории, а также применение непрерывности в экономике



1. Непрерывная функция

Наглядное геометрическое изображение функции в виде ее графика поможет нам в некоторой степени выяснить новое понятие-непрерывности функции. Если график функции непрерывный т.е. его можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, то и функция является непрерывной. Так, например,

функция графиком которой является парабола (рис. 1), непрерывная а функция на сегменте [0, р] не является непрерывной. График её (рис. 2) разрывается в точке

В последнем примере график функций подходят как угодно близко к месту разрыва на нем, иначе говоря для всех значений аргумента, как угодно близких к значению, при котором есть разрыв, существуют соответствующие значения функции.

Рассмотрим еще функцию: График ее (рис. 3), на пер вый взгляд, может показаться сплошной кривой линией. Однако с са ¬мой аналитического записи этой функции следует, что она неопределенна при х = 0, следовательно, и соответствующей точки на графике не может быть. В последнем случае, рассматривая лишь график функции, невозможно заметить точку разрыва. Уже этот последний пример свидетельствует о том, что в общем случае по графику далеко не всегда можно установить наличие или отсутствие точек разрыва функции на определенном интервале (а, b). Тем более это будем иметь тогда, когда функция задана так, что ее график можно нарисовать только очень приближенно. По такому графику никак нельзя определить точек разрыва функции, если они есть. Следовательно, нужно установить критерий не прерывности функции, не опираясь на ее графическое изображение (тем более, что и само понятие непрерывности кривой линии определяется с использованием понятия непрерывности функции).

рис. 3

Мы будем рассматривать непрерывную переменную аргумента, т.е. припустим, что аргумент х может принимать все значения в интервале который рассматривается, например от а до b, и изучать вопроcы, как располагаются соответствующие значения функции. Понятно, что для непрерывности функции в определенном интервале нужно, чтобы она была определена во всех точках этого интервала, т.е. чтобы каждому значению аргумента в этом интервале соответствовало определенное значение функции. Однако одной этой условия недостаточно. Функция может быть определена в каждой точке интервала и вместе с тем иметь разрыв.

Сформулируем определение непрерывной функции.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

(1)

Тот же факт можно записать иначе:

(2)

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ - точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

Пример разрывной функции:

Определение. (согласно определению функции). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

(3)

верно неравенство

(4)

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + (x) (5)

где (х) - бесконечно малая при хх₀.

Определение непрерывности функции f(x)в точке х₀, можно еще перефразировать так: функция f(x)непрерывна в точке х₀, если, какова бы ни была заданная степень точности для значений функции, существует такая степень точности для аргумента =(), что коль скоро мы возьмем значение аргумента х, равное х₀ с точностью , т.е. удовлетворяющее неравенству (3), и возьмем в нем значение функции f(х), то мы получим значение f(х₀), с заданной степенью точности, тоесть будет выполнено неравенство (4).

Как в случае определения предела, определение непрерывности функции в точке можно дать на языке окресностей. Функция f(х) непрерывна в точке х₀, если для любого найдется такое , что

(6)

Наконец, перенося f(х₀) в равенстве (1) в левую часть равенства, внося f(х₀) под знак предела и замечая, что условие 0, получим

(7)

Разность называется проращиванием аргумента и обозначается x, а разность - проращиванием функции, соответствующим данному приращиванию аргумента x, и обозначается у; таким образом.

x= (8)

В этих обозначениях равенство (7) перепишися в виде

(9)

Т.е. непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращиванию аргумента соответствует бесконечно малое приращивание функции.

Пример 1. Покажем, что функция непрерывна в каждой точке .

В самом деле,

Откуда при имеем

Что и означает, согласно (9), непрерывность функции в точке .

1.1 Свойства непрерывных функций

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке , то функции с f(x) (с=const), f(x)+g(x), f(x)g(x), а если кроме того, , то и функция - также непрерывны в точке .

Доказательство. Эта теорема вытекает непосредственно из определения непрерывности и свойств пределов функций. Докажем, например, непрерывность функции f(x)g(x). Согласно свойству имеем

(10)

Ибо пределы существуют в силу непрерывности f(x) и g(x) в точке соответственно равны Выполнение равенства (10) и означает наличие непрерывности функции f(x)g(x) в точке .

Лемма. Если функция непрерывна в точке ,а функция f(y) непрерывна в точке , тогда существует -окрестность О(, такая, что при хє О(, имеет смысл сложная функция

Действительно, поскольку функция f непрерывна в точке , то она определена в некоторой - окрестности О ( этой точки; тогда, согласно (5), существует окрестность О(,такая, что ( имеет смысл суперпозиция

Теорема 2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция f(y) непрерывна в точке , тогда сложная функция

Короче, но менее точно: непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией.

Доказательство. Прежде всего доказанной лемме, сложная функция определена в некоторой окрестности точки , и поэтому можно ставить вопрос о непрерывности в этой точке.

Пусть фиксировано . Тогда в силу непрерывности функции в точке существует такое

(11)

то (12)

Далее, для полученного в силу непрерывности функции ц в точке существует такое , что если , то

Таким образом , если где

,

а значит и (12), которое для рассматриваемого случая имеет вид

Это и означает непрерывность сложной функции .Теорема доказана.

Утверждение теоремы можно записать в виде формулы

(13)

Из которой видно, что операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции.

В самом деле, левая часть (13) равна согласно утверждению теоремы, правая часть также равна в силу непрерывности функции в точке

1.2 Непрерывность некоторых элементарных функций

Многочлены и рациональные функции

Теорема 3. Любой многочлен непрерывен в каждой точке числовой оси.

В самом деле, функция у = с, где с -- постоянная, непрерывна на всей числовой оси R.

Функция вида у = хⁿ также непрерывна при каждом фиксированном пєN в любой точке хєR.

Всякий же многочлен получается из функций вида у = с и у = хⁿ с помощью их сложения и умножения, а поэтому является непрерывной функцией в каждой точке числовой оси R.

Теорема 4. Всякая рациональная функция

(Р(x) и Q(х)

-- многочлены) непрерывна во всех точках числовой оси R, в которых ее знаменатель Q(х) не обращается в нуль.

Это непосредственно следует из того, что многочлены Р(х) и Q(х) непрерывны в каждой точке х єR и частное непрерывных функций также непрерывно во всех точках числовой оси, в которых делитель не обращается в нуль.

Рациональная функция

непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

Эту теорему удобно использовать при нахождении пределов рациональных функций.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

Теорема 5. Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Докажем теорему 5 для функции y = sinx.

Доказательство. Запишем приращение функции y = sin(x + x) - sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций

и .

При этом функция косинус - ограниченная функция при х0

, а т.к.

предел функции синус , то она является бесконечно малой при х0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у - бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx - непрерывная функция для любого значения х = х₀ из области определения, т.к. ее приращение в этой точке - бесконечно малая величина.

Теорему доказано.

Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.

Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Теорема 6.Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках своего множества определения.

Доказательство. Согласно определению, всякая элементарная функция получается из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций, поэтому ее непрерывность на множестве определения сразу следует из непрерывности основных элементарных функций на множествах их определения, из свойств пределов функций, связанных с арифметическими действиями над функциями и непрерывности композиции непрерывных функций.



2. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

х₀

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

х₀

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке х₀ или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Образно говоря, точка х₀ является точкой разрыва функции, если х₀ является значением аргумента, при котором происходит «разрыв графика функции».

Определение. Если х₀ -- точка разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы то точка х₀ называется точкой разрыва первого рода.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Величина называется скачком функции f в точке х₀. Если скачок функции f в точке разрыва х₀ равен нулю, т. е. f(х₀ + 0) = f(х₀ - 0), то х₀ называется точкой устранимого разрыва.

Последний термин оправдан тем, что если в этом случае переопределить или доопределить (если функция f была не определена в точке х₀) функцию f, положив

(14)

то получим непрерывную в точке х₀ функцию.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 - го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов не существует. Здесь под пределом, как обычно, понимается лишь конечный предел.

Пример. Функция Дирихле

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 - го рода, т.к.

.

Пример.

f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 - го рода. Это - устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Пример.

f(x) = =

y

1

0 x

-1

Эта функция также обозначается sign(x) - знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва - 1 - го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или -1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 - го рода. В этом примере точка разрыва 1 - го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 - го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.



3. Непрерывновсть функции на интервале и отрезке

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

Важным классом непрерывных функций является класс функций, непрерывных на промежутках числовой оси. Начнем его изучение с функций, непрерывных на отрезках. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то ее непрерывность в точке х = а означает непрерывность справа, а ее непрерывность в точке х=b -- непрерывность слева в этих точках.

Наибольшим (наименьшим значением функции f: X >R называется наибольшее (наименьшее) значение множества всех ее значений. Очевидно, что если у функции f существует наибольшее (наименьшее) значение, то оно является ее верхней (нижней) гранью (cooтветственно

3.1 Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция ограничена и принимает на нем наибольшее и наименьшее значение.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и пусть (как и всякая верхняя грань непустого множества чисел, М может быть либо конечной, либо бесконечной, равной +?. Покажем, что М < +? и что существует такая точка х₀ є[a, b] что f(х₀) = М.

Выберем какую-либо последовательность таких чисел а_п, п = 1, 2, ... , что

=М, а_п<М, п = 1, 2, ... . (3.1)

Согласно определению верхней грани функции, для каждого а_п, п = 1, 2, ... , существует такая точка х_n є[a, b] что

n =1,2,.... (3.2)

С другой стороны, поскольку М -- верхняя грань функции f, для всех точек х є[a, b] справедливо неравенство

f(х)?М. (3.3)

Последовательность {х_n} ограничена: а < х_n <b, п = 1,2,..., поэтому по теореме Больцано--Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {х_nk }

(3.4)

Так как а < х_nk <b k = 1, 2, ... , то и а < х₀ < b, т. е. х₀ -- точка отрезка [а,b]. Из неравенств (3.2) и (3.3) следует, что для всех к =1, 2, ... справедливы неравенства

<f()?М. (3.5)

Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности; поэтому из (3.1) имеем . Переходя в (3.5) к пределу при , получаем

(3.6)

С другой стороны, в силу непрерывности функции f на отрезке [а,b] она непрерывна в точке х₀ этого отрезка и, следовательно, из (3.4) следует, что

f(х₀). (3.7)

Из формул (3.6) и (3.7) имеем М = f(х₀).

Таким образом, доказано, что верхняя грань М функции f совпадает со значением функции в точке х₀ и, следовательно, конечна. Тем самым функция f ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке х₀є [а,b].

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нем своей нижней грани.

Теорема, аналогичная теореме 7, несправедлива для промежутков, не являющихся отрезками; в этом легко убедиться, построив соответствующие примеры. Например, функция у = 1/х непрерывна в каждой точке интервала (0, 1) и вместе с тем не ограничена на нем; функция у = х непрерывна на всей числовой оси и не ограничена на ней.

Отметим еще, что если функция f непрерывна не на отрезке, а на промежутке другого типа и даже, кроме того, ограничена на нем, она, вообще говоря, не имеет наибольшего и наименьшего значения.

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Теорема 8 (теорема Больцано--Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [а, b] и f(а) = А, f(b) = В, то для любого С, заключенного между А и В, существует такая точка, оє[а, b] что f(о) = С.

Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.

Доказательство. Пусть для определенности f(а) = А < В = f(b) и А < С < В. Разделим отрезок [а, b] точкой х₀ на два равных по длине отрезка; тогда либо f(х₀) = С и, значит, искомая точка о= х₀ найдена, либо f(х₀) ? С и тогда на концах одного из полученных

Рис. 4

отрезков функция f принимает значения, лежащие по разные стороны от числа С, точнее -- на левом конце значение, меньшее С, на правом -- большее.

Обозначим этот отрезок [а₁, b₁] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т. д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке о в которой f(о)=С, либо получим последовательность вложенных отрезков [а_n, b_n] по длине стремящихся к нулю и таких, что

f(а_n) < С < f(b_n) (3.8)

Пусть о-- общая точка всех отрезков [а_n, b_n], п = 1, 2, ... Как известно

Поэтому, в силу непрерывности функции f,

(3.9)

Из (3.8) же получим

(3.10)

Из (3.9) и (3.10) следует, что f(о)=С/

Теорему доказано.

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Это следствие -- частный случай теоремы (рис. 4).

Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, b] и М = т=. Тогда функция f принимает все значения из отрезка [m, M] и только эти значения.

Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.

Отметим, что свойство непрерывных функций принимать все промежуточные значения справедливо для любого промежутка (конечного или бесконечного). Именно: если непрерывная на некотором промежутке функция принимает в двух его точках а и b, причем а<b, два каких-то значения, то она принимает и любое промежуточное. В самом деле, согласно теореме 8, рассматриваемая функция заведомо принимает указанное значение в некоторой точке отрезка [а, b], который является частью исходного промежутка.

Замечание. Как в теореме 7, так и в теореме 8 было доказано существование точки на данном отрезке, в которой значение рассматриваемой непрерывной функции обладает определенным свойством (в первой теореме в этой точке достигается экстремальное значение, во второй -- принимается заданное промежуточное значение). Однако между методами, примененными для доказательства этих утверждений, имеется принципиальное различие. Метод доказательства теоремы 8 дает возможность не только доказать в общем случае существование указанной точки, но и фактически найти ее с любой заданной степенью точности для каждой конкретной функции: нужно разделить отрезок, на котором ищется точка, достаточное число раз пополам, выбирая каждый раз половину согласно правилу, указанному при доказательстве; концы получившегося отрезка и будут приближенными значениями указанной точки.

Метод же доказательства теоремы 7 не позволяет указать способ, с помощью которого для каждой непрерывной на отрезке функции можно было бы найти точки, в которых она принимает экстремальные значения. Это обусловлено тем, что доказательство этой теоремы основано на теореме Больцано--Вейерштрасса, утверждающей лишь возможность выделения из каждой ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательности. Конкретного метода, или, как это принято говорить, алгоритма, для выделения из любой ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательности, не существует.

3.2 Равномерно непрерывные функции

Если функция непрерывна на каком-то интервале (запретном или открытом), то это, как мы уже знаем, означает, что для любой точки этого интервала при заранее заданном е> 0 существует такое д> 0, что из неравенства

х₀ - х< д

вытекает неравенство

f(x₀) - f(x) <

чтобы только точки х также находились в данном интервале.

Итак, понятно, что д зависит от е. Кроме того, для различных точек интервала при том же является число д может оказаться также разным, т.е. д зависит не только от е, но и от х₀. Тогда принципиальное значение имеет тот факт, среди значений ддля разных точек интервала и при том же является наименьшее значение д, такого нет. В первом случае для данного е> 0 можно найти общее для всех точек интервала значения д и тогда говорят, что функция на интервале, что рассматривается е равномерно непрерывна.

Определениe. Функция называется равномерно непрерывной на данном промежутке, если, во-первых, она определена во всех точках этого промежутка, во-вторых, если справедливо такое условие: каждому произвольно малому е> 0 можно поставить в соответствие такое д> 0, из неравенства х₂ - х₁< д следует неравенство f(x₂) - f(x₁) < , причем х₁ и х₂ - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.

С определение равномерной непрерывности функции следует, что функция равномерно непрерывна на каком-то промежутке, непрерывна и в каждой точке этого промежутка. Обратное утверждение, как показывает пример функции на пивинтервали (0, 1], не всегда справедливо.

Теорема Кантора (о равномерной непрерывности функции). Если функция непрерывна на сегменте [а, b], то она равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство. Пусть имеем сколь угодно малое число е > 0. Разделим сегмент [а, b] на конечное число m частей так, чтобы колебания заданной непрерывной на (а, b] функции на каждом из так добытых частей сегментов

[а, с₁], [с₁, с₂], [с₂, с₃],…….., [с_i, с_i+1], ……., [а, b],

было меньше чем . Поскольку частных сегментов является конечное число, то и длины их есть конечные числа, а потому среди них есть наименьшая, которую обозначим через д. Возьмем теперь на сегменте [а, b] любые две точки х₁ и х₂ так, чтобы расстояние между ними было меньше бы:

х₂ - х₁< д (95)

Такие две точки могут находиться или на том же частном сегменте, или на смежных частных сегментах. В первом случае

f(x₂) - f(x₁) < , (96)

Во втором же случае, если обозначить общий конец смежных частных сегментов через с_i, получим:

f(x₂) - f(x₁) =|f(x₂) - f(с_i)+ f(с_i) - f(x₁)|?,

тоесть

f(x₂) - f(x₁) < (97)

Итак, в первом случае из неравенства (95) вытекает неравенство (96), а во втором - из неравенства (95) вытекает неравенство (97). Теорему доказано.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Пример.

Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число >0 такое, что существуют значения х₁ и х₂ такие, чтоf(x₁) - f(x₂)>, - любое число при условии, что х₁ и х₂ близки к нулю.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 - го рода

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 - го рода



4. Непрерывность в экономике

Экономический смысл непрерывной функции заключается в том, что при малом изменении значений факторов зависящий от них показатель изменяется незначительно. В качестве примера непрерывных функций в условиях стабильной экономики можно привести спрос и предложение на рынке товаров (как функций от цен товаров), прибыль предприятия (как функции от объемов выпуска и затрат), рентабельность производственных фондов (как функция от прибыли, стоимости основных фондов и оборотных средств) и так далее. Напротив, зависимость курса валют или ценных бумаг от политических или социальных факторов нельзя назвать непрерывной.

Большую роль в социально-экономической сфере играет второй замечательный предел

Пусть сбербанк выплачивает в год 2% от суммы вклада. Если 1 января положить в банк 100 у.е. (условных денежных едениц), то в конце года на них будет начислено дополнительно 2 у.е. Но если 1 июля взять весь вклад обратно, то процентов будет начислено не 2 у.е., а только половина этой суммы, т.е. 1 у.е. Если изъять вклад 1 апреля, то процентов будет получено только 0,5 у.е. непрерывный функция разрыв интервал

Сбербанки начисляют проценты только в конце года или при полном изьятии вклада. Поэтому вместо того, чтобы вложить 1 января 100 у.е. и истребовать их в конце года, оказывается выгоднее (считаем, что плата за оформление нового вклада существенно меньше величины вклада), например, 1 июля изъять весь вклад и вложить его снова. В самом деле, в первом случае в конце года будет получено 102 у.е. Во втором же случае 1 июля будет получено 101 у.е., но на вторую половину года будет вложен вклад не в 100 у.е., а в 101 у.е., на которые и будут начислены проценты. Именно 1% от 101 составит 1,01, т.е. всего будет в конце года получено 102,01 у.е.

Еще выгоднее изымать и снова вносить вклад каждый месяц, каждую неделю, каждый день, каждый час и т.д. В действительности за дробную часть дня сбербанки процентов не начисляют. Но в математической схеме можно себе представить процесс участие изъятий и внесений вклада беспредельным.

Согласно формуле

При ежегодном приросте p%, процент начисления за -ю часть года составит , а размер вклада за n лет при mn начислениях составит

Таким образом, общая сумма вклада в конце года, если проценты начислялись по истечении полугода, составит

Если проценты будут начисляться поквартально , то сумма вклада в конце года составит

Если ежемесячно, то

На практике часто бывает, что какая-либо величина испытывает приращивание не скачкообразно, а меняется непрерывно, и ее изменение за этап составляет р%.

Закон изменения этой величины можно найти из представления для , неограниченно увеличивая число m (число подэтапов).

Вычислим предельное значение величины при в конце n-этапа:

Таким образом, задача о непрерывном начислении процентов приводит к необходимости использования второго замечательного предела:

С помощью этого предела получаем, что

Поскольку количество лет n в этой формуле может быть и дробным числом. Обозначим его через t. Тогда получим

Полученная формула непрерывного начисления процентов выражает показательный (экспотенциальный) закон роста (при р>0) или убывания (при р<0).

Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению c формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (m=1), при процентной ставки р=5% составляет около 2,5%.

Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению c формулой сложных процентов, начисляемых ежедневно (m=365), при процентной ставке р=5% является более меньшей и составляет сотые доли процента.

Конечно, нельзя себе представить, чтобы кто-либо изымал и обратно вносил свой вклад в сбербанк не только бесконечно часто, но даже делал это один раз в год для увеличения процентной суммы. В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко. Однако оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений и при анализе инфляционных процессов.

Пример. Пусть темп инфляции составляет 20% в год. Тогда реальная стоимость хранящихся денежных сбережений уменьшается. Насколько она уменьшиться за месяц?

Решение. Применение формулы начисления непрерывных процентов дает

где А₀ -хранящаяся дома денежная сумма.

Таким образом, инфляция за месяц уменьшит реальную стоимость заначки приблизительно на 2%.



Заключение

Важнейшим понятием математики является понятие функции, в большинстве случаев речь шла об однозначной функции, у которой одному значению аргумента соответствует только одно значение функции и функциональная связь между ними четко определенная.

В данной работе были рассмотрены понятия непрерывность функции, непрерывность функции в точке, непрерывность на отрезке, точки разрыва, и их свойства, в виде теорем с доказательствами. Некоторые теоретические вопросы раскрыты на примерах.

Рассматривая примеры использования непрерывности в экономике, можно заметить хоть непрерывность экономических величин и является желательным свойством (с точки зрения предсказуемости, описуемости, управляемости), но в экономике имеют место и "сугубо" разрывные функции. Такова, например, величина денежного потока, как функция от времени: на одном отрезке времени - это положительная величина (приток денег), на следующем отрезке времени - отрицательная (отток денег).

Раскрытие вопроса курсовой работы показало важность данной тематики не только в математическом анализе, а и в социально-экономической сфере человеческого бытия.



Список использованных источников

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов; Учеб.пособие.- М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004.- 464 с.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Учеб. пособие для вузов: 1 том. - Дрофа, 2003.

3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, Учеб. пособие для вузов: 1 том. - М.: Высш. шк., 1970.

4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, том 1, М., 1968 г., 440 стр.

Размещено на Allbest.ru