Элементы высшей математики

Размещено на http://www.allbest.ru

Красноярский финансово-экономический колледж

Филиал федерального государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

Реферат

Дисциплина: Элементы высшей математики

Курс: 1 Группа: 1БД

Студент: Плотникова К.Е.

Преподаватель: Викторова Л.И.

Красноярск 2015

Матрицы. Виды матриц

Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов - количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

· сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

· умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую N столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую N строк);

· в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);

· умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно - каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы -- это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью.

Матрицы естественным образом возникают при решении систем линейных уравнений, а, также, при рассмотрении линейных преобразований.

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

.

Эта система состоит из линейных уравнений относительно неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения: ,

Где:

Матрица - это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец - вектор неизвестных, а вектор-столбец - некоторый заданный вектор.

Для того, чтобы система имела решение (хотя бы одно), необходимо и достаточно, чтобы вектор был линейной комбинацией столбцов , и тогда вектор - это вектор, содержащий коэффициенты разложения вектора по столбцам матрицы . матрица математика линейный уравнение

На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли: ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы , составленной из столбцов и столбца .

Важный частный случай: Если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных (, т.е. матрица - квадратная), то условие однозначной разрешимости является равносильным условию обратимости матрицы .

(Замечание. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Пример: .)

В частности, если матрица является обратимой, то решение системы может быть записано (а если вычислена , то и найдено) в виде

.

Этот приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера.

Линейные преобразования

Рассмотрим линейное преобразование , действующее из -мерного векторного пространства в -мерное векторное пространство , имеющее следующий вид:

.

В матричной форме это преобразование уравнения вида:

.

Матрица - это матрица коэффициентов линейного преобразования.

Если рассмотреть действие линейного преобразования на векторы вида

,

составляюще базис пространства , то - это есть j-ый столбец матрицы .

Таким образом, матрица полностью описывает линейное преобразование , и, поэтому, называется матрицей линейного преобразования.

Определения:

Пусть есть два конечных множества и , где и - натуральные числа.

Прямоугольная матрица

Назовём матрицей размера (читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида

.

называется элементом матрицы, находящимся на пересечении -й строки и -го столбца;

· -я строка матрицы состоит из элементов вида , где пробегает всё множество ;

· -й столбец матрицы состоит из элементов вида , где пробегает всё множество .

Если индекс пробегает множество , а пробегает множество , то совокупность элементов полностью определяет матрицу.

Таким образом, матрица размера состоит в точности из

· строк (по элементов в каждой)

· И столбцов (по элементов в каждом)

· Или элементов.

В соответствии с этим

· каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в -мерном координатном пространстве ;

· каждый столбец матрицы - как вектор в -мерном координатном пространстве .

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве , имеющем размерность . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Квадратная матрица

Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной, а число называется размером квадратной матрицы или её порядком.

Вектор-строка и вектор-столбец

Матрицы размера и являются элементами пространств и соответственно:

· матрица размера называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

· матрица размера называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число отличное от нуля,

2. Прибавление одной строки к другой строке,

3. Перестановка местами двух строк.

Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.

Ранг матрицы

Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:

· столбцы матрицы составляют элементы пространства размерности ;

· строки матрицы составляют элементы пространства размерности .

Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Обозначения

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

,

Тогда - матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида , где

· первый индекс означает индекс строки: ;

· второй индекс означает индекс столбца: ;

таким образом, - элемент матрицы , находящийся на пересечении -й строки и -го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера :

или просто:

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо , пишут , чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями "||…||").

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

- это -тая строка матрицы ,

- это -тый столбец матрицы .

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением - по столбцам:

и по строкам:

.

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Транспонированная матрица

С каждой матрицей размера связана матрица размера вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так .

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами.

Диагональная матрица

Диагональная матрица - квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных - нулевые , иногда записывается как:

Единичная матрица

Единичная матрица - матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

Для ее обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения ее элементов также используется символ Кронекера , определяемый как:

при

Нулевая матрица

Для обозначения нулевой матрицы - матрицы, все элементы которой нули (при сложении ее с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) - используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например .

Список используемой литературы:

1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Н.Ш. Кремера. М. 2002г.

2. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании. М. 2001г.

3. В. П. Малыхин. Математика в экономике. М. 1999г.

4. А. Н. Колесников. Краткий курс математики для экономистов. М. 1997г.

5. В.Н. Грицан, В. В. Рятина. Математика. Методические указания по выполнению контрольных работ. М. 2001

6. М.М. Ермилов, П.С. Казей, Б.И. Олейников, В.А. Сердюков Математика. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ. М. 2001

7. В.В. Смирнова. Математика. Типовые расчеты по Линейному и динамическому программированию. М. 1998г.

Размещено на Allbest.ru