Определённый интеграл
Вычисление значения функции в точке. Характеристика интегральной суммы функции на отрезке. Определение нижнего и верхнего предела интегрирования. Рассмотрение методов применения формулы Ньютона-Лейбница. Установление основных способов замены переменной.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.02.2016 |
| Размер файла | 44,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определённый интеграл
Пусть на отрезке [a; b], (всюду ) определена непрерывная ограниченная функция f(x). Произвольным образом разобьем отрезок [a; b] на n отрезков точками . . Полученные отрезки , ,…, будем называть частичными. Длину k-го частичного отрезка , , обозначим . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку , (рис. 1) и вычислим значение функции в этой точке, т. е. .
Рис.1
Для каждого k, , найдём произведение и составим сумму:
(1)
Сумма (1) называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a; b].
Определённым интегралом от функции f(x) в промежутке [a; b] называется предел её интегральной суммы, когда число частичных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:
.
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования, отрезок [a; b] - отрезком интегрирования.
Функция f(x), для которой существует предел интегральной суммы, называется интегрируемой на отрезке.
Классы интегрируемых функций:
1) непрерывная на отрезке [a; b] функция интегрируема;
2) ограниченная на отрезке [a; b] функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема;
3) монотонная ограниченная функция интегрируема.
Определённый интеграл. Стр. 1
Свойства определенного интеграла.
1. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .
2. Определённый интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю: .
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак: .
4. свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула: .
5. свойство линейности: .
Вычисление определённого интеграла.
1. Формула Ньютона - Лейбница: , где F(x) - первообразная для f(x).
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. .
2. Замена переменной: пусть f(x) - непрерывная на отрезке [a;b] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке , где , . Тогда справедлива формула:.
Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Используем метод замены переменной. Положим . Тогда .
Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если , то ; если , то .
Определённый интеграл. Стр. 2
Получим: =
.
3. Интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) - непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям: .
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение.
. интегральный переменный предел лейбниц
Задачи для самостоятельного решения.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. .
Домашнее задание.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.
презентация [64,2 K], добавлен 18.09.2013Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.
презентация [487,1 K], добавлен 11.04.2013Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 22.08.2009Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, его компоненты, свойства. Вычисление определённого интеграла; формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения: площадь, длина дуги, объем тела вращения.
презентация [308,0 K], добавлен 30.05.2013Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Ознакомление с историей понятия интеграла. Распространение интегрального исчисления, открытие формулы Ньютона–Лейбница. Символ суммы; расширение понятия суммы. Описание необходимости выражения всех физических явлений в виде математической формулы.
презентация [1,9 M], добавлен 26.01.2015Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.
шпаргалка [42,3 K], добавлен 21.08.2009Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010
