Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание №1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что а) сумма числа очков не превосходит 4; б) произведение числа очков не превосходит 6; в) произведение числа очков делится на 5.

Решение:

Запишем классическое определение вероятности некоего события

Р = m/n,

где n - количество всевозможных исходов, m - количество благоприятных исходов.

Распишем в виде таблицы всевозможные исходы эксперимента:

1, 1	2, 1	3, 1	4, 1	5, 1	6, 1
1, 2	2, 2	3, 2	4, 2	5, 2	6, 2
1, 3	2, 3	3, 3	4, 3	5, 3	6, 3
1, 4	2, 4	3, 4	4, 4	5, 4	6, 4
1, 5	2, 5	3, 5	4, 5	5, 5	6, 5
1, 6	2, 6	3, 6	4, 6	5, 6	6, 6

Всего 36 вариантов, т.е. n = 36.

а) сумма числа очков не превосходит числа 4 в шести исходах:

1, 1	2, 1	3, 1
1, 2	2, 2
1, 3

Следовательно,

P = 6/36 = 1/6.

б) произведение числа очков не превосходит числа 4 в 8 исходах:

1, 1	2, 1	3, 1	4, 1
1, 2	2, 2
1, 3
1, 4

Следовательно,

P = 8/36 = 2/9.

в) произведение числа очков делится на 4 (т.е. кратно 4) в случаях, когда оно равно 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 (максимальное значение произведения значений очков равно 6Ч6 = 36); в нашем случае это 15 исходов:

			4, 1
	2, 2		4, 2		6, 2
			4, 3
1, 4	2, 4	3, 4	4, 4	5, 4	6, 4
			4, 5
	2, 6		4, 6		6, 6

Следовательно,

P = 15/36 = 5/12.

Ответ: а) 1/6; б) 2/9; в) 5/12.



Задание №2

В двух партиях 82 и 88 - процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.

Решение:

Запишем вероятность извлечь доброкачественное изделие для каждой партии:

p₁ = 82/100 = 0,82;

p₂ = 88/100 = 0,88.

Тогда вероятность извлечь бракованное изделие для каждой партии равна

q₁ = 1 - p₁ = 1 - 0,82 = 0,18;

q₂ = 1 - p₂ = 1 - 0,88 = 0,12.

А. Вероятность обнаружить хотя бы одно бракованное изделие определяется по формуле

Р = p₁q₂ + p₂q₁ + q₁q₂.

Подставляя исходные данные, получаем

Р = 0,82·0,12 + 0,88·0,18 + 0,18·0,12 = 0,2784.

Б. Вероятность обнаружить два бракованных изделия определяется по формуле

Р = q₁q₂ = 0,18·0,12 = 0,0216.

Т. Вероятность обнаружить одно доброкачественное и одно бракованное изделие определяется по формуле

Р = p₁q₂ + p₂q₁ = 0,82·0,12 + 0,88·0,18 = 0,2568.

Ответ: а) 0,2784; б) 0,0216; в) 0,2568.

Задание №3

В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 32%, второй - 38% и третий - 30% изделий. Среди изделий первого завода изделия I сорта составляют 93%, второго - 82%, третьего - 77%. Куплено одно изделие, причем оно оказалось I сорта. Определите завод, с которого наиболее вероятно поступило изделие.

Решение:

Пусть событие А - купленное изделие оказалось первосортным.

Тогда можно выдвинуть 3 гипотезы:

-- Н₁ - деталь поступила с первого завода,

-- Н₂ - деталь поступила со второго завода,

-- Н₂ - деталь поступила с третьего завода.

Вероятности получить деталь с каждого завода в отдельности составляют соответственно, согласно условию:

P(Н₁) = 32/100 = 0,32; P(Н₂) = 38/100 = 0,38; P(Н₃) = 30/100 = 0,3.

Тогда условные вероятности того, что деталь, доставленная с завода, является первосортной, составляют, согласно условию:

P(А|Н₁) = 93/100 = 0,93; P(А|Н₂) = 82/100 = 0,82; P(А|Н₃) = 77/100 = 0,77.

Для определения завода, с которого поступило изделие с наибольшей вероятностью, воспользуемся формулой Байеса, имеющей вид

где - полная вероятность события А:

- вероятность того, что первосортное изделие поступило с i-го завода.

Подставляя исходные данные, получаем следующие результаты:

Нетрудно видеть, что max, то есть наиболее вероятно, что купленное изделие I сорта изготовлено на втором заводе.

Ответ: второй завод.

Задание №4

В партии из 13 изделий 9 изделий высокого качества. Случайно отбирается 3 изделия. Составить закон распределения случайной величины X - числа изделий высокого качества среди отобранных. Найти математическое ожидание X.

Решение:

Дискретная случайная величина Х - число изделий высокого качества среди отобранных - имеет следующие возможные значения:

X₁ = 0, X₂ = 1, X₃ = 2, X₄ = 3.

Найдём вероятности P(X₁), P(X₂), P(X₃), P(X₄) этих возможных значений.

Искомый закон распределения дискретной случайной величины Х, соответственно, будет иметь вид:

X	X1	X2	X3	X4
Р	P(X1)	P(X2)	P(X3)	P(X4)

Пусть A - событие, которое заключается в том, что отобранное изделие - высокого качества. Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли

,

где - число сочетаний из n элементов по k; p - вероятность появления события A в каждом из испытаний (по условию p = P(A) = 9/13); q - вероятность непоявления события A (некачественное изделие) в каждом из испытаний:

q = 1 - p = 1 - (9/13) = 4/13.

Число изделий высокого качества X₁ = 0 возможно только в случае появления события A ровно 0 раз в n = 3 испытаниях (т.е. его отсутствия). Поэтому

Число изделий высокого качества X₂ = 1 возможно только в случае появления события A ровно 1 раз в n = 3 испытаниях. Поэтому

Число изделий высокого качества X₃ = 2 возможно только в случае появления события A ровно 2 раза в n = 3 испытаниях. Поэтому

Число изделий высокого качества X₄ = 3 возможно только в случае появления события A ровно 3 раза в n = 3 испытаниях. Поэтому

Сумма вероятностей

вероятность событие дискретный случайный

Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

X	0	1	2	3
Р	0,0292	0,1966	0,4424	0,3318

Математическое ожидание

Задание №5

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p = 0,008. Определить вероятность того, что: а) из поступивших 13 вызовов ровно 5 «сбоев»; б) число «сбоев» m удовлетворяет неравенству .

Решение:

Вероятность того, что в работе телефонной станции при вызове не будет «сбоя», составляет

q = 1 - p = 1 - 0,008 = 0,992.

Тогда вероятность того, что из поступивших n = 13 вызовов ровно k = 5 «сбоев», высчитывается по формуле Бернулли:

Подставляя исходные данные, получаем

Вероятность того, что число «сбоев» m удовлетворяет неравенству (следовательно, согласно условию, не менее 160 и не более 400), определяется согласно интегральной теоремы Лапласа:

где - функция Лапласа,

В нашем случае:

Ответ: а) 4·10^-8; б) 0.

Задание №6

Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-2; 8). Требуется найти: 1) дифференциальную (плотность вероятности) и интегральную функцию распределения случайной величины X; 2) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение; 3) найти вероятность попадания случайной величины в интервал (-1; 4).

Решение:

1. Если случайная непрерывная величина X на промежутке (а; b) имеет равномерное распределение, то её плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения) имеет вид

Интегральная функция распределения в этом случае имеет вид:

.

В нашем случае

.

2. Математическое ожидание

Дисперсия D(X):

Среднеквадратическое отклонение

.

3. Вероятность попадания случайной величины в интервал (-1; 4):

.

Ответ:

1) ; ;

2) М(Х) = 1; D(X) = 2; ;

3) .



Задание №7

Случайная величина задана интегральной функцией распределения:

.

Требуется: 1) найти дифференциальную функцию (плотность вероятности); 2) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций; 4) найти вероятность попадания случайной величины в интервал (2; 6).

Решение:

1. По определению, плотность случайной величины

,

Следовательно

.

2. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины определяется равенствами:

, .

Имеем:

.

3. Графики интегральной и дифференциальной функции приведены на рисунке 1.

Рисунок 1

4. Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал p(2 < X < 6) с учетом того, что при x > 9/8 f(x) = 0:

Ответ:

; М(X) = 1; D(X) = 17/128;

Задание №8

Применяя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на 8, где .

Решение:

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

где е = 8, D(X) = ².

Подставляя полученные данные, имеем

Ответ: 0,9844.

Задание №9

За 2003 г. получены группировки доходов работников одного из акционерных обществ:

№ п/п	Группы доходов (руб.)	Количество работников
1	От 12500 до 17500	40
2	От 17500 до 22500	64
3	От 22500 до 27500	80
4	От 27500 до 32500	96
5	От 32500 до 37500	160
6	От 37500 до 42500	120
7	От 42500 до 47500	96
8	От 47500 до 52500	64
9	От 52500 до 57500	48
10	От 57500 до 62500	32

Определить частоты, частости, накопленные частоты и накопленные частости для заданных статистических данных.

Изобразить ряд графически в виде гистограммы, полигона и кумулятивной кривой.

Вычислить:

1) среднее арифметическое,

2) медиану,

3) моду,

4) вариационный размах,

5) эмпирическую дисперсию,

6) эмпирическое среднее квадратичное отклонение,

7) эмпирические начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно,

8) эмпирический коэффициент асимметрии,

9) эмпирический эксцесс.

Решение:

1. Частоты - это числа, показывающие, как часто встречаются те или варианты в данной совокупности. Сумма всех частот называется объемом совокупности и показывает число единиц совокупности, обозначается N.

В нашем случае частоты указаны в столбце «Количество работников», при этом общее число единиц совокупности

Частости w_i - это частоты, выраженные в виде относительных величин: долях единицы или в процентах, рассчитываются как отношение частоты к объему совокупности:

w_i = n_i/N;

fi	40	64	80	96	160	120	96	64	48	32
wi	0,05	0,08	0,1	0,12	0,2	0,15	0,12	0,08	0,06	0,04

Накопленная частота (S_f) показывает число единиц совокупности, у которых значение варианты не больше данной, определяется суммированием частот всех предшествующих интервалов, включая данный:

S_f1 = f₁; S_f2 = f₁ + f₂; S_f3 = f₁ + f₂ + f₃; … S_fn = Уf_n.

fi	40	64	80	96	160	120	96	64	48	32
Sfi	40	104	184	280	440	560	656	720	768	800

Если вместо частот использовать частости, то аналогично получим накопленные частости (S_w):

S_w1 = w₁; S_w2 = w₁ + w₂; S_w3 = w₁ + w₂ + w₃; … S_Wn = Уw_n.

wi	0,05	0,08	0,1	0,12	0,2	0,15	0,12	0,08	0,06	0,04
Swi	0,05	0,13	0,23	0,35	0,55	0,7	0,82	0,9	0,96	1

Графически ряды распределения можно представить в виде гистограммы, кумуляты, полигона.

Интервальный вариационный ряд изображают в виде гистограммы. Для ее построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, равные длине интервала. Затем на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частоте или частости. Для интервального ряда с неравными интервалами по оси ординат откладывают плотность распределения, так как в этом случае именно она дает представление о заполненности интервала. Площадь всей гистограммы численно равна сумме частот.

Рисунок 2 Гистограмма

Рисунок 3 Полигон

Рисунок 4 Кумулята

Среднее арифметическое

руб.

Медиана. При вычислении медианы в интервальном ряду сначала находят медианный интервал, (т. е. содержащий медиану), для чего используют накопленные частоты или частости. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину всего объема совокупности. В нашем случае это интервал 5 (S_f4 = 440)

Затем значение медианы рассчитывается по формуле:

где X_Mе - нижняя граница медианного интервала; h_Mе - величина медианного интервала; f_Mе - кумулятивная частота медианного интервала; S_fMе-1 - накопленная частота предшествующего медианному интервала:

руб.

Мода. В интервальных рядах распределения для нахождения моды сначала по наибольшей частоте определяют модальный интервал, т.е. интервал, содержащий моду, а затем приблизительно рассчитывают ее по формуле:

где X_Mo - нижняя граница модального интервала; X_Mo+1 - верхняя граница модального интервала; h_Mo - величина модального интервала; f_Mo-_1, f_Mo+1 - частоты соответственно в предыдущем и следующим за модальным интервалах.

В нашем случае модальным является интервал 5 (f_Mo = 160, X_Mo = 32500 X_Mo+1 = 37500, h_Mo = 5000), тогда

35576,92 руб.

Вариационный размах (или размах вариации) - это разница между максимальным и минимальным значениями признака:

R = X_max - X_min = 160 - 32 = 128.

Эмпирическая дисперсия:

Эмпирическое среднее квадратичное отклонение:

Эмпирические начальные и центральные моменты k-го порядка определяются по формулам:

1) начальный момент k-го порядка есть математическое ожидание k-й степени этой случайной величины.

следовательно,

2) центральный момент k-го порядка:

Эмпирический коэффициент асимметрии:

Эмпирический эксцесс:

Задание №10

Используя данные задания №9, проверить гипотезу о нормальном распределении доходов акционерного общества и найти доверительный интервал для среднего уровня дохода. Уровни значимости принять по 0,95.

Решение:

1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона, для чего проведем вспомогательный расчет:

xi	ni	xini
15000	40	600000	18576100000
20000	64	1280000	17529760000
25000	80	2000000	10672200000
30000	96	2880000	4118640000
35000	160	5600000	384400000
40000	120	4800000	1428300000
45000	96	4320000	6854640000
50000	64	3200000	11577760000
55000	48	2640000	16339320000
60000	32	1920000	17596880000
Сумма	800	29240000	1,050781011

Выборочное среднее:

.

Выборочная исправленная дисперсия:

Выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение:

Выдвинем гипотезу H₀: распределение генеральной совокупности X подчинено нормальному закону с параметрами a = 36550 и у = 11467,86.

Проверим эту гипотезу по критерию Пирсона при уровне значимости б = 0,05; для этого рассчитываем теоретические частоты по формуле:

где h = 5000 - шаг между интервалами, - табличное значение локальной функции Лапласа.

Вычисления представим в виде таблицы:

xi				ni
15000	-1,88	0,0681	23,75	40	11,11
20000	-1,44	0,1415	49,36	64	4,35
25000	-1,01	0,2396	83,57	80	0,15
30000	-0,57	0,3391	118,28	96	4,20
35000	-0,14	0,3951	137,81	160	3,57
40000	0,30	0,3814	133,03	120	1,28
45000	0,74	0,3034	105,83	96	0,91
50000	1,17	0,2012	70,18	64	0,54
55000	1,61	0,1092	38,09	48	2,58
60000	2,04	0,0498	17,37	32	12,32
Сумма	800	41,01

Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычислим по формуле

По таблице критических значений при уровне значимости

б = 1 - 0,95 = 0,05

и числе степеней свободы k = 10 - 3 = 7 найдем

.

Поскольку , нулевую гипотезу о нормальном распределении при данном уровне значимости следует отвергнуть.



Список литературы

1. Шалабанов А.К., Роганов Д.А. Практикум по эконометрике с применением Microsoft Excel: Линейные модели парной и множественной регрессии. Казань: Академия управления «Тисби», 2008. 54 с.

2. Эконометрика/ Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004. 344 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов вузов. М.: Высшая школа, 2006. 480 c.

4. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005. 248 с.

5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 479 с.

Размещено на Allbest.ru