Эмпирические функции и статистические гипотезы
Построение вариационного ряда случайной величины, представление графически эмпирических функций. Гипотеза о равенстве дисперсий, использование критериев Пирсона. Схема полигона абсолютных частот, построение гистограммы по необъединенным интервалам.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 07.01.2016 |
Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ЗАДАНИЕ 1. ПО ИМЕЮЩИМСЯ ДАННЫМ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ
1. Построить вариационный (или интервальный) ряд исследуемой случайной величины.
2. Произвести группировку данных вариационного ряда на 6 - 10 интервалов (разрядов, групп), построить таблицу частот, вычислить и представить графически эмпирические функции распределения исследуемой случайной величины.
3. Построить описательную статистику (определить основные характеристики выборочной совокупности), построить доверительные интервалы для генерального среднего игенеральной дисперсии заданной случайной величины (выбрать б = 0,05).
Уровень инфляции (% в месяц): 3.1; 3.7; 6.4; 3.8; 4.2; 3.0; 3.2; 3.7; 3.0; 3.1; 3.6; 4.1; 4.8; 5.5; 3.0; 3.1; 3.2; 3.0; 3.7; 3.5; 3.1; 3.2; 3.0; 3.1; 3.0; 3.4; 3.5; 3.6; 4.1; 3.7; 4.2; 3.8; 4.6; 4.7; 5.1; 5.8; 3.1; 3.0; 5.4; 6.0; 6.2; 3.0; 3.2; 3.4; 3.5; 3.3; 3.3; 3.0; 4.0.
Решение:
1. Построить вариационный (или интервальный) ряд исследуемой случайной величины.
Запишем данные в порядке возрастания и найдем для каждой варианты частоту. Получим вариационный ряд:
Таблица 1
ni |
xi |
|
9 |
3 |
|
6 |
3,1 |
|
4 |
3,2 |
|
2 |
3,3 |
|
2 |
3,4 |
|
3 |
3,5 |
|
2 |
3,6 |
|
4 |
3,7 |
|
2 |
3,8 |
|
1 |
4 |
|
2 |
4,1 |
|
2 |
4,2 |
|
1 |
4,6 |
|
1 |
4,7 |
|
1 |
4,8 |
|
1 |
5,1 |
|
1 |
5,4 |
|
1 |
5,5 |
|
1 |
5,8 |
|
1 |
6 |
|
1 |
6,2 |
|
1 |
6,4 |
2. Произвести группировку данных вариационного ряда на 6 - 10 интервалов (разрядов, групп), построить таблицу частот, вычислить и представить графически эмпирические функции распределения исследуемой случайной величины.
Находим минимальный и максимальный элемент выборки: xmin= 3 и xmax = 6,4.
По формуле Стерджесса определяем число групп:
Находим длину интервала группировки
.
Здесь m = 6 - число интервалов группировки.
К минимальному значению признака прибавляем h, получаем конец первого интервала, к нему прибавляем h, получаем коне второго интервала и т.д. для каждого интервала найдем количество элементов выборки, входящих в него. Получим таблицу 2:
Таблица 2.
Расчетная таблица
Эмпирической функцией распределения называется функция F*(x), определенная для всех х от -- ? до + ?; таких, что:
1) F(x) = 0, для всех x < x*1;.
2) F*(x) = (n1*/n)+(n2*/n)+…+(nk*/n) для всех x удовлетворяющих условию: хk*? x < х*k+1;
3) F*(x) = 1, для всех x ? x*m;.
Для построения функции заполним таблицу 3 в колонку F*(x) будем записывать накопленные относительные частоты
F*(x1*) = n1*/n
F*(x2*) = (n1*/n)+(n2*/n)
F*(x3*) = (n1*/n)+(n2*/n)+(n3*/n) ит.д.
Таблица 3.
Расчетная таблица относительных частот
начало интервала, xi |
конец интервала, x i+1 |
частота ni |
середина интервала, ci |
относительная частота |
накопленная частотность, wi |
|
3 |
3,6 |
26 |
3,3 |
0,53 |
0,53 |
|
3,6 |
4,1 |
11 |
3,9 |
0,22 |
0,76 |
|
4,1 |
4,7 |
4 |
4,4 |
0,08 |
0,84 |
|
4,7 |
5,3 |
2 |
5,0 |
0,04 |
0,88 |
|
5,3 |
5,8 |
3 |
5,6 |
0,06 |
0,94 |
|
5,8 |
6,4 |
3 |
6,1 |
0,06 |
1,00 |
На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1* = 3, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [x1* , x6* ] = [ 3 , 6,4] и отчетливо различались точки xk*.
На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [0 , 1] и отчетливо различались точки nk*/n.
Для построения графика эмпирической функции распределения наносим на ось абсцисс интервалы [xk* , xk+1*] и над каждым из них на высоте F*(xk* ) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать, что F*(xk* ) в точке x*k+1 делает прыжок в высоту на F*(x*k+1 ) -- F*(xk* ) = n*k+1 /n.
Получаем график эмпирической функции распределения, изображенный на рисунке ниже.
Рисунок 1.
3. Построить описательную статистику (определить основные характеристики выборочной совокупности), построить доверительные интервалы для генерального среднего игенеральной дисперсии заданной случайной величины (выбрать б = 0,05).
Среднее арифметическое выборочной совокупности:
Дисперсия выборочной совокупности:
Среднее квадратическое отклонение совокупности:
Доверительный интервал для средней определяется так:
В нашем случае:
На уровне значимости б = 0,05 находим t:
Получаем:
Доверительный интервал для дисперсии (математическое ожидание не известно):
Так как у нас n = 49> 30, то надо считать по формулам:
Тогда:
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения равно:
ЗАДАНИЕ 2. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Задача 1. По двум выборкам нормальных законов распределения проверить гипотезу о равенстве дисперсий (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости 0,1. Определить:
1) дисперсию первой выборки;
2) дисперсию второй выборки;
3) вычисленное значение критерия;
4) теоретическое значение критерия;
5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.
Вариант №10.
Задача 1.
Первая выборка:
66.9 50.0 59.1 60.5 59.8 64.2 64.4 52.2 44.2 68.6 61.9 57.2
Вторая выборка: 31.4 25.8 38.3 17.9 51.1 35.1 38.8 46.3 52.4
Решение:
Возьмем гипотезу , то есть дисперсии равны. Тогда конкурирующая гипотеза . Считаем F-статистику:
Посчитаем для каждой выборки средние и дисперсии:
Теперь считаем статистику. В ее формуле вместо надо брать большую дисперсию:
Критическое значение Фишера при k1=n-1=12-1=11, k2=n-1=9-1=8 на уровне значимости 0,1 равно.
Так как , то гипотеза принимается.
Ответ: на уровне значимости 0,1 гипотеза о равенстве дисперсий принимается.
Задача 2. По данным двух выборок нормального закона распределения проверить гипотезу о равенстве генеральных средних (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости б.
В ответе привести:
1) выборочное среднее для первой выборки;
2) выборочное среднее для второй выборки;
3) вычисленное значение критерия;
4) табличное значение;
5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.
Задача 2. б = 0.020
Выборка 1: 76.9 57.4 74.0 121.0 34.2 18.7 36.2 35.0 55.1 82.4 95.2 54.2
Выборка 2: 108.3 72.3 70.2 92.3 89.1 76.2 92.8 89.7 6.0 72.5 117.3 111.8 65.7 72.1 65.8 87.6 103.0
Решение:Проверяемая гипотеза H0: . Тогда альтернативная гипотеза H1: . Так как не известны генеральные оценки и , то .Считаем статистику:
,
которая имеет t-распределение Стьюдента с k = n1 + n2 - 2 степенями свободы.
Находим ее необходимые элементы:
Итак, считаем статистику:
Таблица 1
Расчетная таблица
X1 |
X2 |
X1^2 |
X2^2 |
|
76,9 |
108,3 |
5913,6 |
11728,9 |
|
57,4 |
72,3 |
3294,8 |
5227,3 |
|
74 |
70,2 |
5476,0 |
4928,0 |
|
121 |
92,3 |
14641,0 |
8519,3 |
|
34,2 |
89,1 |
1169,6 |
7938,8 |
|
18,7 |
76,2 |
349,7 |
5806,4 |
|
36,2 |
92,8 |
1310,4 |
8611,8 |
|
35 |
89,7 |
1225,0 |
8046,1 |
|
55,1 |
6 |
3036,0 |
36,0 |
|
82,4 |
72,5 |
6789,8 |
5256,3 |
|
95,2 |
117,3 |
9063,0 |
13759,3 |
|
54,2 |
111,8 |
2937,6 |
12499,2 |
|
65,7 |
0,0 |
4316,5 |
||
72,1 |
5198,4 |
|||
65,8 |
4329,6 |
|||
87,6 |
7673,8 |
|||
103 |
10609,0 |
|||
Сумма 740,3 |
1392,7 |
55206,59 |
124484,77 |
Находим критическое значение на уровне значимости 0,02 при степенях свободы 12+17-2 = 27:
Так как , то гипотеза H0 принимается. То есть на уровне значимости 0,02 можно считать, что средние равны.
Ответ:
На уровне значимости 0,02 можно считать, что средние равны.
Задача 3. По данным двух выборок нормального закона распределения (первая - с дисперсией S12, вторая - с дисперсией S22) проверить гипотезу о равенстве средних значений при уровне значимости б (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве). В ответе привести:
1) выборочное среднее для первой выборки;
2) выборочное среднее для второй выборки;
3) вычисленное значение критерия;
4) критическое значение;
5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.
Задача 3. S1 = 24, S2 = 36, б = 0.020
Выборка 1:
124.1 82.5 69.0 85.4 32.4 77.7 78.2 96.6 39.6 34.2 67.8 35.1 30.9 69.6 101.0 61.6 115.1 39.2 66.6 92.3 53.0 95.3 55.5 92.2 66.1 57.2 29.5 68.2 40.5 54.0 40.4 72.0 69.2 35.2 98.5 26.9 47.0 106.4 50.2 46.2 88.4 56.6 45.4 69.3 63.5 42.6 66.0 80.1 66.4 92.0 60.9 75.7 109.2 47.1 64.5 93.3 49.4 65.9 98.7 46.2 24.2 50.5 92.4 75.1 112.0 14.6 41.0 59.5 59.7 44.9
108.7 68.8 49.9 44.4 48.2 48.3 87.9 59.5 67.8 62.7 61.5 40.7 68.1 65.1 59.6 77.3 77.0 74.0 99.4 67.2 76.9 99.9 29.0 18.3 56.5 81.8 28.3 66.7 63.1 79.6
Выборка 2: вариационный интервал гистограмма дисперсия
65.3 67.8 91.3 87.9 58.2 124.8 37.1 86.1 53.6 59.4 94.4 79.7 73.1 18.5 54.7 107.0 78.0 70.2 99.7 117.4 97.0 82.8 68.3 98.3 42.1 76.9 71.2 54.4 98.5 103.8 119.6 47.1 91.8 99.1 90.8 36.4 64.3 72.6 81.1 120.5 79.2 99.4 96.3 77.4 148.4 85.6 92.8 104.3 61.4 83.5 43.1 97.0 111.4 169.8 88.1 52.0 138.4 49.9 79.3 45.2 18.6 108.2 142.9 22.3 79.0 39.9 146.6 76.9 65.4 125.8
27.0 54.4 43.7 88.0 54.7 115.8 66.1 78.8 76.6 55.8 61.8 47.1 80.3 90.9 52.5 16.2 35.0 89.4 30.5 87.0 94.1 73.6 99.2 66.9 62.3 85.8 64.6 96.4 22.0 78.8
Решение:
Проверяемая гипотеза H0: . Тогда альтернативная гипотеза H1: . Считаем статистику:
Находим ее необходимые элементы:
Итак, считаем статистику:
Находим критическое значение:
Так как , то гипотеза H0 о равенстве средних на уровне значимости 0,02 не принимается.
Ответ:
Гипотеза H0 о равенстве средних на уровне значимости 0,03 принимается.
Задача 4. При проведении n1 испытаний в первой серии число благоприятных исходов равнялось m1. Во второй серии из n2 испытаний число благоприятных исходов равнялось m2. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости б. В ответе привести:
1) вычисленное значение критерия;
2) критическое значение;
3) вывод о принятии или не принятии гипотезы.
Задача 4. n1 = 700, m1 = 496, n2 = 800, m2 = 576, б = 0.030.
Решение: вариационный интервал гистограмма дисперсия
Согласно условиям задачи требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве значений вероятности p «успеха» - появления бракованной детали () для первого и второго рабочего, причем, поскольку объем выборки достаточно велик, можно использовать статистику z. Поскольку m2>m1, то альтернативную гипотезу следует принять в виде (левосторонняя критическая область).
Посчитаем необходимые элементы:
Итак, считаем статистику:
Для критическое значение равно:
Таким образом, по модулю. Следовательно, нулевая гипотеза о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях принимается на уровне значимости 0,03.
Ответ:
Нулевая гипотеза о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях принимается на уровне значимости 0,03.
Задача 5.По данным выборки выбрать гипотезу о виде закона распределения и проверить ее, используя критерий Пирсона при уровне значимости б. В ответе привести:
1) выбранную гипотезу о виде закона распределения;
2) вычисленное значение критерия;
3) критическое значение;
4) вывод о принятии или не принятии гипотезы.
Задача 5. б = 0.050
1.1 9.5 -12.7 -8.2 -14.1 -15.9 -2.9 -3.1 0.1 -2.7 5.1 3.5 -5.4 13.7 17.8 1.3 6.7 1.9 -8.0 9.1 -1.9 7.3 9.2 -1.5 1.9 -13.1 -2.6 -2.8 -28.2 15.7 2.2 -4.7 9.1 7.2 -8.2 2.7 4.5 2.5 -6.5 5.9 4.3 -3.7 -3.9 0.2 10.6 5.8 13.5 0.8 5.0 6.9 9.5 -4.1 -10.2 -3.6 12.5 17.9 -4.9 3.1 -23.5 -8.4 0.5 -1.7 -4.4 3.0 -4.5 -13.7 -1.5 -8.6 3.0 -6.1 0.0 23.1 1.9 6.5 -4.3 3.8 2.6 5.5 -6.6 -16.4
-10.6 3.6 -9.4 4.9 9.5 -2.5 7.9 -5.9 4.7 2.7 15.7 -9.8 7.4 11.2 -1.5 -3.1 -9.7 -6.1 7.8 -5.0
Решение:
Находим минимальное и максимальное значение:
.
Выборку будем группировать на пять интервалов. Размер интервала:
Берем минимальное значение совокупности, прибавляем к нему h, получаем конец первого интервала, прибавляем к нему h, получаем конец второго интервала, и так далее. Для каждого интервала найдем его центр, частоту (количество элементов, в него попавших). Получим таблицу 1.
Таблица 1
Расчетная таблица
x i |
x i+1 |
центр интервалов |
попало в интервал, nk* |
|||
-28,2 |
-17,94 |
-23,07 |
2 |
0,020 |
0,002 |
|
-17,94 |
-7,68 |
-12,81 |
16 |
0,162 |
0,015 |
|
-7,68 |
2,58 |
-2,55 |
40 |
0,404 |
0,037 |
|
2,58 |
12,84 |
7,71 |
35 |
0,354 |
0,032 |
|
12,84 |
23,1 |
17,97 |
6 |
0,061 |
0,006 |
Так как частота первого интервала меньше пяти, его следует объединить со вторым интервалом.
Таблица 2
Расчетная таблица
x i |
x i+1 |
центр интервалов |
попало в интервал, nk* |
|||
-28,2 |
-7,68 |
-17,94 |
18 |
0,182 |
0,017 |
|
-7,68 |
2,58 |
-2,55 |
40 |
0,404 |
0,037 |
|
2,58 |
12,84 |
7,71 |
35 |
0,354 |
0,032 |
|
12,84 |
23,1 |
17,97 |
7 |
0,061 |
0,006 |
Находим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для интервального ряда:
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Строим полигон абсолютных частот:
Рисунок 1
Строим полигон относительных частот:
Рисунок 2.
Строим гистограмму по необъединенным интервалам:
Рисунок 3.
По всем трем графикам видно, что имеет место нормальный закон распределения. Проверим гипотезу H0 , о том что распределение подчиняется нормальному закону.
Считаем вероятность попадания случайной величины в данный интервал:
Сведем полученные расчеты в таблицу 3.
Таблица 3
Расчетная таблица
x i |
x i+1 |
Ф (ti) |
Ф (t i+1) |
n*pi |
ni |
|||
-28,2 |
-7,68 |
-0,998 |
-0,583 |
0,207 |
20,740 |
18 |
0,362 |
|
-7,68 |
2,58 |
-0,583 |
0,248 |
0,415 |
41,539 |
40 |
0,057 |
|
2,58 |
12,84 |
0,248 |
0,851 |
0,302 |
30,162 |
35 |
0,776 |
|
12,84 |
23,1 |
0,851 |
0,990 |
0,069 |
6,943 |
7 |
0,000 |
|
0,994 |
99,384 |
100 |
1,195 |
На уровне значимости 0,05 при степенях свободы k =n - r - 1 = 4 - 2 - 1 = 1 критическое значение критерия Пирсона равно . Так как расчетное значение меньше критического , то есть, то на уровне значимости 0,05 гипотеза о нормальном распределении согласуется с опытными данными.
Ответ:
Гипотеза H0 , о том что распределение подчиняется нормальному закону.
Вычисленное значение критерия: .
Табличное значение критерия: .
На уровне значимости 0,05 гипотеза о нормальном распределении согласуется с опытными данными.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Порядок и принципы построения вариационного ряда. Расчет числовых характеристик статистического ряда. Построение полигона и гистограммы относительных частот, функции распределения. Вычисление асимметрии и эксцесса. Построение доверительных интервалов.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 03.10.2010Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Статистическая обработка данных контроля времени (в часах) работы компьютерного класса в день. Полигон абсолютных частот. Построение графика эмпирической функции распределения и огибающей гистограммы. Теоретическое распределение генеральной совокупности.
контрольная работа [379,3 K], добавлен 23.08.2015Критерий Пирсона, формулировка альтернативной гипотезы о распределении случайной величины. Нахождение теоретических частот и критического значения. Отбрасывание аномальных результатов измерений при помощи распределения. Односторонний критерий Фишера.
лекция [290,6 K], добавлен 30.07.2013Методы составления закона распределения случайной величины. Вычисление средней арифметической и дисперсии распределения. Расчет средней квадратической ошибки бесповторной выборки. Построение эмпирических линий регрессии, поиск уравнения прямых регрессий.
контрольная работа [77,6 K], добавлен 20.07.2010Закон и свойства нормального распределения случайной величины. На основе критерия согласия Пирсона построение гистограммы, статистической функции и теоретической кривой и определение согласованности теоретического и статистического распределения.
курсовая работа [894,5 K], добавлен 30.10.2013Вероятность совместного появления двух белых шаров. Расчет числа исходов, благоприятствующих интересующему событию. Функция распределения случайной величины. Построение полигона частот, расчет относительных частот и эмпирической функции распределения.
задача [38,9 K], добавлен 14.11.2010Интервальный вариационный ряд. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х. Функция плотности рассматриваемого закона распределения "Построение ее на гистограмме".
курсовая работа [104,4 K], добавлен 20.03.2011Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Случайная выборка объема как совокупность независимых случайных величин. Математическая модель в одинаковых условиях независимых измерений. Определение длины интервала по формуле Стерджесса. Плотность относительных частот, критерий согласия Пирсона.
контрольная работа [90,4 K], добавлен 17.10.2009