Решение неравенств методом интервалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение неравенств методом интервалов

Выполнила:

Боярская Александра

Введение

Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Это сравнительно новая тема, которая ранее не входила в школьный курс математики, на данном этапе, недостаточно разработана. Первая группа получает достаточное развитие, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы.

Остальные же группы неравенств в этом курсе только начинают изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и началах анализа 10-11 классов. Изучаются только неравенства основных классов, кроме того, ряд задач из школьного курса сводятся к составлению и решению неравенств: нахождение области определения функции, исследование функции (монотонность, ограниченность функции). При изучении неравенств значительное внимание уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных задач.

На начальных этапах изучения курса алгебры эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. Затем, по мере накопления опыта решения неравенств различных классов, все большую роль приобретает дедуктивное обоснование процесса решения.

Наконец, достигнутый уровень владения различным способами решения позволяет выделить наиболее часто используемые преобразования: равносильность и логическое следование.

1. Решение линейных неравенств методом интервалов

Линейным называется неравенство вида ax > b (или соответственно).

Если a > 0, то неравенство ax > b равносильно неравенству, значит, множество решений неравенства есть промежуток.

Если a < 0, то неравенство ax > b равносильно неравенству, значит, множество решений неравенства есть промежуток.

Если a = 0, то неравенство принимает вид x > b, т. е., оно не имеет решений, если b ? 0, и верно при любых х, если b < 0.

Примеры:

1. Решите неравенство:

0,5x + (x - 4) ? 5

С использованием свойств неравенств:

0,5x + (x - 4) ? 5

0,5x + x - 4 ? 5

1,5x ? 9 x ? 9/1,5 x ? 6

Ответ: (6, + µ).

2. Решение квадратичных неравенств методом интервалов

Квадратичным называется неравенство вида:

ax2 + bx + c > b

Или соответственно:

ax2 + bx + c < b, ax2 + bx + c ? b, ax2 + bx + c ? b

Где:

x - переменная, a ? 0.

Возможны 4 случая расположения параболы:

y = ax2 + bx + c

1. Если дискриминант положителен, то в этом случае можно найти точки пересечения функции с осью X;

2. Если дискриминант меньше 0, то вычислить точки, где y = 0, нельзя, потому что таковых не существует;

3. Если a > 0, ветви квадратичной функции направлены вверх;

4. Если a < 0, ветви квадратичной функции направлены вниз.

Пример 1: Решим неравенство:

x2 - 5x + 4 > 0

- с использованием свойств квадратичной функции.

Рассмотрим функцию:

f(x) = x2 - 5x + 4

D = 9.

D > 0.

(x) = 0.

x = 4.

x = 1.

Рассмотрим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак. Ответ: (-µ, 1), (4 + µ).

Если решать это неравенство методом интервалов, то решение будет выглядеть следующим образом:

x2 - 5x + 4 > 0

f(x) = x2 - 5x + 4

f(x) = (x - 1)(x - 4)

f(x) > 0 x € (-µ, 1) U (4, + µ)

Ответ:(-µ, 1), (4, + µ).

Пример 2. Решить неравенство:

-3x2 + 2x + 1 ? 0

Рассмотрим функцию:

f(x) = -3x2 + 2x + 1

Изобразим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак. Ответ: (-µ, -1/3), (1, + µ). При решении квадратичных неравенств удобно пользоваться свойствами квадратичной функции и не использовать метод интервалов.

3. Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Дробно-рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.

Решение этих неравенств сводится к отысканию интервалов, между которыми знак не изменяется, и точек, разделяющих их.

Заметим, что на двучлен (x - 2) можно спокойно сокращать, встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ? 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.

4. Решение иррациональных неравенств методом интервалов

При решении иррациональных неравенств используются возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д.

При решении можно придерживаться такого плана:

1. Найти область определения исходного неравенства;

2. Решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;

3. Из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства;

4. Проверить оставшиеся корни методом подстановки;

5. Перенести ответ на координатную прямую и сопоставить знак со значением в данной точке.

Заключение

математика квадратичный неравенство

Метод интервалов, используемый в решении неравенств, позволяет сделать решение более осмысленным в их изучении.

В курсе математики в школе должна проводиться установка на то, что требования решить неравенство эквивалентно требованию найти множество значений аргумента, при которых значение функций больше или меньше соответствующих значений функции. От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости.

Решение таких задач воспитывает:

- умение схематизировать;

- развивает интуицию;

- прививает навыки дедуктивного мышления;

- развивает творческие исследовательские способности.

Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое значение.

Размещено на Allbest.ru