Функции в природе и технике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа № 4»

Артемовского городского округа

(МКОУ ВСОШ № 4)

Функции в природе и технике

учитель математики

МКОУ ВСОШ № 4

Ходова Светлана Владимировна

2013 - 2014 уч. год

Смысл, вкладываемый в слово «функция» в математике, отличается от разговорного смысла этого слова. Обычно говорят о функциональном расстройстве сердца, имея в виду неправильности в сердечной деятельности; говорят, что в функции гражданина Иванова входит то-то и то-то, имея в виду обязанности Иванова. Короче говоря, обычно под словом «функция» понимают деятельность, обязанности. И это вполне правильное словоупотребление, связанное с корневым значением латинского слова function (выполнять).

В математике термин «функция» прилагается к величинам. Говорят, что площадь круга есть функция его радиуса, давление данной массы газа при данной температуре есть функция его объёма, длина данной металлической линейки есть функция её температуры… Ясно, что при этом под функцией разумеют не деятельность и не обязанности, а нечто иное. Приблизительно смысл математического понятия функции можно передать посредством слова «зависит». Именно, каждое из перечисленных предложений становится вполне понятным, если слова «есть функция» заменить словами «зависит от…» Например, тогда получится: «длина данной металлической линейки зависит от её температуры».

Однако слово «зависит» не передаёт достаточно точно и определённо смысла современного понятия функции. Например, урожай ржи в центнерах в Воронежской области, без сомнения, зависит от количества атмосферных осадков, приходящихся в среднем за лето на 1 га. Но математик не скажет, что этот урожай есть функция количества осадков. Вес человека зависит от его роста, но опять-таки математик не скажет, что вес человека есть функция его роста.

В этих примерах имеется по две величины, из которых первая зависит от второй. Но в примерах первой группы (площадь круга, давление газа, длина линейки) достаточно вполне указать числовое значение второй величины (называемой в математике аргументом функции или просто аргументом), чтобы получить определённое соответствующее значение первой. Например, если радиус круга равен 3 м., то его площадь равна р*3² м² = 3,14*9 м² =28,26 м². Если температура линейки (из чистой меди, имевшей при 0⁰ длину 1 м.) равна 45⁰, то её длина равна 1,000765 м.

В других примерах (урожай, вес человека) задание определённого значения второй величины недостаточно для определения первой величины. Например, узнав количество осадков, мы не можем указать величину урожая, так как она существенно зависит от сроков и качества обработки почвы, от качества семян, от свойств почвы и т.д. Но даже знание этих факторов не позволило бы нам определить величину урожая по количеству осадков. Опыт показывает, что в одних и тех же условиях и при одном и том же количестве осадков величина урожая может колебаться. Аналогичные замечания можно высказать и по поводу второго примера (вес и рост человека).

После этих примеров можно дать полное определение математического понятия функции. Именно в современной математике одну величину (будем обозначать её У) называют функцией другой (обозначим её Х), если каждому числовому значению величины Х соответствует определённое числовое значение величины У. При этом величину Х называют обычно аргументом функции У или просто аргументом.

В этой формулировке мы уже не употребляем недостаточно точного термина «зависит». Вся суть понятия функции заключается именно в том, что определённому значению аргумента Х соответствует вполне определенное значение У.

Желая выразить короче факт, что величина У есть функция Х, пишут: У=f(х), где f есть начальная буква латинского слова function (функция). Приведённые обозначения не являются единственными. Можно пользоваться и другими буквами. Так, например, площадь круга, так же как и длина окружности, является функцией радиуса. Обозначая площадь круга буквой S, длину окружности L, а радиус R, мы можем писать: S=f(R) иL=f(R).

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет сыто; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами «больше на …», «меньше на …», «больше во столько-то раз». Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трёх быков - на 18 овец; если из одного ведра глины изготавливали 4 горшка, то из двух ведер глины можно было сделать 8 горшков, а из трёх ведер - 12 горшков. Такие расчёты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

В те времена редко приходилось сталкиваться с более сложными зависимостями. Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам) армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобилось большое число писцов, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, потребное для возведения дворцов, подсчитывали, сколько продовольствия надо заготовить для дальних походов.

Высоко уровня достигламатематика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, Вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное значение функций у= , у=х²,у=х³, у=х²+х³. Пользуясь такими таблицами, вавилоняне могли решать и обратные задачи - по заданному объёму куба находить длину его стороны, то есть извлекать кубические корни. Они умели даже решать уравнения вида х³+х²=а. Пользуясь различными таблицами, они могли вычислять и длину гипотенузы по длинам катетов, то есть находить значения функции z=.

Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был ещё очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

В древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и Вавилоне. Появились профессиональные учёные, которые изучали саму математическую науку, занимались строгим логическим выводом одних утверждений из других. Многое из того, что сделали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия функции. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.

Но всё же древнегреческие математики не создали общего понятия функции. Возможно, здесь оказало влияние то, что к практическим приложениям математики они относились свысока. Одна из дошедших до нас легенд гласит, что когда какой-то человек попросил Евклида обучить его геометрии и задал вопрос: «А какую практическую пользу я получу. Выучив все эти термины?», Евклид сказал, обращаясь к своему рабу: «Дай ему обод (мелкую греческую монету), бедняжка пришёл искать пользу».

Вопросами практической математики в Греции больше занимались астрономы. Они придумали, например, долготу и широту, с помощью которых определяли положение звёзд на небосводе. Астрономам приходилось решать сферические треугольники. Это послужило началом сферической тригонометрии, которая, как ни странно, была создана раньше, чем плоская. Чтобы решать тригонометрические задачи, пришлось составит таблицы зависимости между длиной хорды и величиной стягиваемой его дуги. По сути дела, это уже были таблицы функции у=sin(х) (длина хорды, стягивающей дугу 2х равна 2Rsinx).

Когда Византийский император Юстиниан в 529 году н.э. запретил под страхом смертной казни математические исследования,центр научных исследований переместился в арабские страны. Арабские учёные ввели новые тригонометрические функции и усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем. Здесь впервые встречается мысль о «всех таблицах», то есть о всевозможных зависимостях между величинами.

На протяжении XVI и XVII веков в естествознании произошла революция, приведшая глубочайшим изменениям не только в технике. Но и в мировоззрении людей - они стали смотреть на мир не как на поле приложения божественной воли. А как на механизм, управляемый своими законами. И основной задачей науки стало открытие этих законов, описание их в терминах математики. Перед математикой возникли новые задачи, недоступные для существовавшей тогда науки, имевшей дело лишь с постоянными, неподвижными объектами. Нужны были новые математические методы, которые позволили бы описывать мир, полный движения и перемен.

Одним из первых задумался над такими задачами основатель динамикиГалилео Галилей (1564-1642). Он размышлял о том, как меняется скорость падающего тела, как движется точка на ободе колеса, как качается маятник. Но решить такие задачи ему удалось лишь в простейших случаях. Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины.

Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Во время военной службы Декарт пришёл к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин. Значение его работ Фридрих Энгельс охарактеризовал следующим образом: «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому вошло в математику движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает, и которое было, в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем».

Декарт считал, что в основе познания лежит сравнение между собой предметов одинакового рода, их измерение, а главная роль «человеческого искусства» состоит в установлении равенств между искомыми и данными вещами. При этом отношение между вещами выражалось через отношение их мер, то есть благодаря новой точке зрения, через действительные числа. Тем самым, зависимости между величинами стали выражаться как зависимости между (величинами) - числами. По сути дела, это была неявно выраженная идея числовой функции числового аргумента.

При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. При этом операциям над величинами соответствовали операции над буквами.

Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнения, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела. Здесь была заложена идея метода координат. Как уже говорилось, ещё греческие астрономы задавали положение звёзд на небесной сфере долготой и широтой. Но лишь Декарт начал геометрически изображать не только пары чисел, а и уравнения, связывающие два числа.

Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик - Пьер Ферма (1601-1665). Он был советником парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных результатов в теории чисел и в других областях математики.

После работ Декарта и Ферма возникла аналитическая геометрия - новая ветвь математики, в которой линии изучались не геометрическими методами, а путём исследования их уравнений.

К началу XVII века математики знали такие кривые линии, как эллипс, гипербола, парабола и т.д. Однако в то время ещё не было общего метода изучения линий, и поэтому исследование каждой кривой превращалось в сложную научную работу.

Открытия Декарта и Ферма дали в руки математиков метод для получения и изучения новых кривых - надо было написать уравнение кривой и делать выводы, исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал новую кривую, уравнение которой имеет вид: х³+у³-3аху=0, а>0. Эту кривую называют декартовым листом.

После того, как в науку вошли переменные величины, были изучены траектории движущихся точек, расцвела вычислительная математика и была создана буквенная алгебра, внимание учёных обратилось к изучению соответствий между величинами. С помощью координат удалось изобразить эти соответствия графически. Математика стала языком естествознания, причём в формулировке законов природы использовали не только алгебраические, но и тригонометрические функции.

Лейбниц (1646-1716) и его ученики стали применять термин «функция» (от латинского «функтус» - выполнять) начиная с 1673 года. В то время он употреблял его ещё в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами.

Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное о геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Это привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.

Окончательный разрыв между понятиями функции и её аналитического выражения произошёл в начале XIX века. Французскому математику Фурье (1768-1830) удалось доказать, что при некоторых дополнительных условиях даже функции, заданные несколькими выражениями, можно представить в виде суммы бесконечного числа тригонометрических функций. После этого такие суммы стали называть рядами Фурье.

После длительного уточнения, в котором приняли участие Фурье. Н.И. Лобачевский (1792-1856), немецкий математик Дирихле (1805-1859) и другие учёные, общепризнанным стало следующее определение функции: «Переменная величина У называется функцией переменной величины Х, если каждому значению величины Х соответствует единственное определённое значение величины У».

Но и определение функции, восходящее к Фурье, Лобачевскому и Дирихле, стало казаться математикам второй половины XIX века недостаточно строгим и общим.

Общий подход к понятию функции, при котором отождествляются понятия функции, отображения мог возникнуть после того. Как во II половине XIX века было создано общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения. Его можно сформулировать так: «Пусть Х и У - два множества; говорят, что задано отображение f множества Х в множество У, если для каждого элемента х из Х указан соответствующий ему элемент у из У. Этот элемент у называют образом элемента х при отображении f и обозначают f(х). Таким образом, числовые функции числового аргумента являются отображениями одного числового множества в другое.

Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относящихся к функциям, например уточнить, что такое обратная функция, сложная функция и т.д.

От сложных процентов до показательной функции

Ещё в древнем мире было широко распространено ростовщичество - отдача денег взаймы под проценты. Крестьянин, которого постиг неурожай, ремесленник, имущество которого уничтожил пожар, разорившийся мелкий торговец были вынуждены идти к ростовщику, обещая вернуть на следующий год сумму, значительно большую, чем взятая в долг. Например, в Древнем Вавилоне ростовщики брали по 20% лихвы в год. При этом если должник не мог возвратить долг на следующий год, ему надо было платить проценты не только с занятого капитала, но и с выросших за год процентов. Поэтому через два года приходилось уплачивать не 40%, а 44% лихвы, так как 1,2²=1,44. За пять лет сумма долга увеличивалась в 1,2⁵ раз, то есть почти в 2,5 раза, а за 10 лет - более чем в 6 раз. Понятно, что большинство должников оказывались несостоятельными и, давно выплатив основную сумму долга, были вынуждены всю жизнь работать на то, чтобы платить все возраставшие проценты. В конце концов, несостоятельные должники становились рабами хищного заимодавца.

В XIV-Xv веках в Западной Европе появляются банки - учреждения. Которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальниепутешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчёты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо уплатить через n лет, если была взята взаймы сумма a по p % годовых. Легко подсчитать, что уплачиваемая сумма в этом случае выражается формулой: S=a. Если p постоянно, то является функцией от n, причём n стоит в показателе. Иными словами, такие таблицы давали значения показательной функции при различных значениях основания (различных значениях (1+ и натуральных значениях n.

Последнее ограничение было не слишком удобно: иногда деньги брались в долг не на целое число лет, а например, на 2 года 6 месяцев. Так возникла идея степени с дробным показателем.

Следует отметить, что Архимед в одной из своих работ считал отношение объёмов двух шаров полуторным для отношения их поверхностей. Это означало не то, что одно отношение в полтора раза больше другого, а то, что одно получается из другого возведением в степень

:.

Но идея Архимеда не была понята его современниками. Лишь через полтора тысячелетия Оресм стал рассматривать возведение чисел в степени с дробными показателями и распространил на такие степени правила, которые ранее были известны лишь для натуральных показателей. А живший через сто лет после него французский математик Шюке решал такую задачу: «в сосуде имеется отверстие, через которое за сутки вытекает его содержимого. За сколько времени вытечет половина воды?». Эта задача сводится к уравнению решением которого является иррациональное число. Так как во времена Шюке иррациональных чисел не знали, то Шюке ограничился отысканием приближённого значения показателя -6 .

Рассматривая таблицы степеней, Оресм и Шюке, а также живший в XVI веке немецкий математик Михаил Штифель (1486-1567) заметили, что при умножении чисел показатели складываются. Дальнейшее развитие этого наблюдения привело к созданию таблиц логарифмов и антилогарифмов, то есть к рассмотрению показательной функции для достаточно густой сетки значений аргумента. Оставался лишь один шаг, чтобы ввести степени с любым действительным показателем. Этот шаг сделал в конце XVII века Исаак Ньютон. После этого Иоганн Бернулли рассмотрел степени с переменным действительным показателем, то есть ввёл показательную функцию. функция процент логарифмический таблица

Радиоактивный распад

Показательная функция у= встречается в самых различных областях науки - в физике, химии, биологии, экономике.

Рассмотрим одно из важнейших физических явлений, описание которого связано с этой функцией - радиоактивный распад. После открытия радиоактивности в опытах Беккереля возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов.

Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия - 1620 лет, а для полония - 84 период полураспада равен всего 1,5*10^-4 сек.

Если период полураспада данного вещества равен Т. То через промежуток времени nТ остаётся я доля этого вещества. Иными словами, если вначале количество вещества равнялось М, то через промежуток времени t=nT его останется , то есть М. Формула m=M верна не только для значений t - дробных и иррациональных, положительных и отрицательных (отрицательные значения t означают, что мы ищем количество вещества за некоторое время до начала наблюдения). Из этой формулы вытекает, что за 1620000лет, то есть за тысячу периодов полураспада радия, егоколичество уменьшится в раз, то есть более чем в раз (). Если бы даже вся наша Галактика состояла из атомов радия. То их число неизмеримо меньше, чем , и поэтому за 1620000 лет весь радий распался бы. Не следует делать вывод из сказанного, что Галактика существует меньше полутора миллионов лет - время её существования исчисляется миллиардами лет. Дело в том, что радий всё время появляется в ходе распада урана-238, а за всё время существования Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.

Число е

Числа 2 и кажутся вполне естественными основаниями для показательной функции, выражающей те или иные физические законы, но в теоретических исследованиях удобнее брать другое основание - особое число, введённое Эйлером и обозначаемое буквой е. Это число определяется следующим образом.

Если начертить график функции у= при различных значениях а, то видно, чем больше это основание, тем круче поднимается вверх график.



Все графики пересекают ось ординат в точке С (0;1). При этом угол между осью ординат и графиком функции у= приблизительно равен 55⁰, а для кривой у= этот угол примерно равен 42⁰. Поэтому, если непрерывно увеличивать основание а от 2 до 3, то угол между осью ординат и графиком показательной функции будет уменьшаться от 55⁰ до 42⁰, и поэтому при некотором значении основания а окажется равным 45⁰. Это значение а и называется числом е.

Из выше сказанного следует, что число е заключено между числами 2 и 3. Более точные подсчёты показывают, что е=2,71828….Число е - иррационально. Более того, оно трансцендентно, то есть не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначают . Таким образом, запись у= означает, что х=.

Показательная функция и биология

Процессы выравнивания часто встречаются в биологии. Например, при испуге в крови внезапно выделяется адреналин, который потом разрушается, причём скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, ещё остающемуся в крови.

При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причём их количество в крови падает по показательному закону. Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества. Как и при радиоактивном распаде, скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секунд, для вещества, выводимых почками - минутами, а для гемоглобина - днями.

Разумеется, показательный закон изменения выполняется в биологических процессах лишь приближённо, так как мы имеет здесь дело с весьма сложными системами. Кроме того, обычно процесс разрушения или восстановления состоит из нескольких стадий, каждая из них имеет свой период. Наконец, надо учитывать, что распад одного и того же вещества может совершаться по разным каналам.

Музыка и логарифмы

Пифагор был не только великим математиком, но и хорошим музыкантом. Он установил, что приятные сочетания звуков соответствуют определённым соотношениям между длинами колеблющихся струн или расстояниями между дырочками свирели, и создал первую математическую теорию музыки. И хотя музыканты не любят «проверять алгеброй гармонию», они всё время имеют дело с математикой, так как современная гамма основана на логарифмах. Вот отрывок из статьи известного русского физика А.А. Эйхенвальда: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. Правда, Пифагор нашёл какие-то соотношения между звуковыми колебаниями - но ведь как раз пифагорова - то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой. Представьте же себе, как неприятно был поражён мой товарищ, когда я доказал ему, что играя по клавишам современного рояля, он играет собственно говоря, на логарифмах». И действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.

Положим, что нота do самой низкой октавы - будем называть её нулевой октавой - определена nколебаниями в секунду. Тогдаdo первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-ой октавы n* колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами р, принимая основной тон каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон sol будет 7-й, la - 9-й и т.д.; 12-ый тон опять будет do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой: . Логарифмируя эту формулу, получаем: или

, а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n=1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или просто принимая ), имеем: . Отсюда видно, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве - мантиссу этого логарифма.

Логарифмы и ощущения

Ощущения, воспринимаемые человеческими органами чувств, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о стальную плиту порождают шум, который в сто миллиардов раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звёздочки, едва видимой на ночном небе.

Если бы ощущения были пропорциональны раздражениям, то органы чувств должны были бы давать ощущения, отличающиеся друг от друга в миллиарды и триллионы раз.

Но никакие физиологически процессы не позволят дать такого диапазона ощущений. Поставленные опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения. Это значит, что величина ощущения приблизительно пропорциональна логарифму величины раздражения.

Ода экспоненте

Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники (и даже, как мы видели, учения о музыке). А ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. И три столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером (1550-1617), они верой и правдой служили астрономам и инженерам, геодезистам и морякам, сокращая время на вычисления и тем самым, как сказал знаменитый французский учёный Лаплас (1749-1827), удлиняя жизнь вычислителям.

Ещё недавно трудно было представить себе инженера без логарифмической линейки в кармане. Изобретённая через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером (1581-1626), она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. И хотя теперь её вытесняли из инженерного обихода компьютеры, можно смело сказать, что без логарифмической линейки не были бы построены и первые компьютеры.

Многообразие применения показательной (или, как её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брилла на написание «Оды экспоненте», отрывок из которой предлагается в переводе И.М. Липкина:

«Еюпорождено многое из того

Что «достойно упоминанию»,

Как говорили наши англосаксонские предки.

Могущество её порождений

Заранее обусловлено её собственной красотой и силой,

Ибо они суть физическое воплощение

Абстрактной идеи е.

Английские моряки любят и знают её

Под именем «Гунтер».

Две шкалы Гунтера-

Вот чудо изобретательности.

Экспонентой порождена

Логарифмическая линейка:

У инженера и астронома не было

Инструмента, полезнее, чем она.

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть набор неперовых логарифмов?

И таким образом нечто абстрактное красивое

Стало предком одного из величайших человеческих достижений».

Были поэты, которые не посвящали экспоненте и логарифмам целых од, но упоминали их в своих стихах. Например, известный советский поэт Борис Слуцкий в своём нашумевшем стихотворении «Физики и лирики» писал:

Потому-то, словно пена,

Опадают наши рифмы

И величине степенно

Отступает в логарифмы.

Логарифмическая спираль в природе и технике

С показательной и логарифмической функциями связаны многие замечательные кривые. Вот уравнение кривой, выраженное в полярных координатах: ц=.

Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то выражаемую им спираль Пьер Вариньон (1654-1722) назвал логарифмической.

Любопытен оптический эффект. Если вращать рисунок, на котором изображено семейство логарифмических спиралей, то при вращении в одном направлении мы увидим, что спирали будут расширяться, а при вращении в противоположном направлении они будут сужаться. Логарифмическая спираль обладает целым рядом замечательных свойств.

Если намотать на логарифмическую спираль нить, концом которой служит точка О, и начать разматывать эту нить, то её конец опишет линию конгруэнтную исходной спирали.

Эта способность логарифмической спирали оставаться неизменной при самых различных преобразованиях настолько поразила впервые изучавшего её Бернулли, что он назвал её spiral mirabilis (чудесная спираль). Он даже придавал её свойствам мистический смысл и завещал, чтобы на его надгробье изобразили эту спираль и написали: Eaten mutate, resurgo (преобразованная, возрождаюсь вновь).

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, то есть угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное (давление) значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины - в подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т.д. Пауки, сплетая паутину, закручивают нить вокруг цента по логарифмической спирали. По логарифмической спирали закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Как стал работать «гибрид между бытиём и небытиём»

Бесполезная красота

Уже древние индусы знали, что не все квадратные уравнения решаются. Например, нельзя найти такое число а, что а²+2а+26=0. Но и они, и арабские математики, много занимавшиеся теорией уравнений, относились к этому спокойно - не всё же на свете имеет решение. Но после того, как в XVIвеке Тарталья вывел формулу для решения кубического уравнения х³+pх+q=0 обнаружились совсем удивительные вещи. Оказалось, что для получения действительных корней уравнения надо извлекать квадратные корни из отрицательных чисел! Чтобы разобраться в возникших осложнениях, пришлось выйти за рамки множества действительных чисел и ввести числа новой природы. Они имели вид а+bi, где а и b - действительные числа, а i - число, квадрат которого равен -1. i²= -1. Поскольку такие числа не могут быть ни положительными, ни отрицательными, их считали «софическими», то есть слишком хитроумными. Теперь такие числа называют комплексными.

Впервые о них упомянули итальянский учёный Кардано (1501-1576) и его современник более подробно Бомбелли (1526-1573). В 1572 году Бомбелли написал книгу об алгебре, в этой книге он рассмотрел правила действий над комплексными числами и показал, что арифметические операции над ними снова дают комплексные числа.

После выхода книги Бомбелли комплексные числа стали применять в различных областях алгебры. Их применение позволило сформулировать многие законы алгебры в общем виде, что было невозможно, пока ограничивались лишь действительными числами. Например, теперь можно было говорить, что у квадратного уравнения есть всегда два корня, а у кубического - три корня. Поэтомуматематики пришли к выводу, что уравнение всегда имеет a корней.

Однако вся эта красота казалась не слишком нужной. Никаких приложений к практике комплексные числа тогда не имели. Лейбниц называл их даже «гибридом между бытиём и небытиём», так как они существовали, но не выражали никакие зримые величины. Но в математике бесполезной красоты не бывает. Красивая математическая теория, которая сейчас кажется далекой от практики, рано или поздно понадобится для самых неожиданных приложений. Конечно, такое превращение математической теории из «существительной» в «прилагательную» протекает по-разному. Например, теория игр, теория информации, математическое программирование, теория оптимального управления возникли из практических задач и сразу получили важные практические приложения. А комплексным числам предстоял ещё долгий путь, прежде чем они стали аппаратом для решения прикладных задач.

Комплексные числа и тригонометрия

В начале XVIII века тригонометрия была развивающейся наукой, а не лишь учебным предметом. Многие математики искали новые тригонометрические тождества, новые свойства тригонометрических функций. Очень интересные формулы открыл француз Муавр. Рассматривая связи между cosnx и cos x, он вывел формулу: cosnx+i sinnx = , связывающую тригонометрические функции мнимыми числами. С её помощью легко найти, например, cos3x. Для этого достаточно написать, что: cos3x+ i sin3x==. А теперь уже видно, что:

cos3x=

sin3x=

К началу XVIII века комплексные числа получили всеобщее признание - слишком много результатов получалось с их помощью. Математики спокойно складывали и умножали, вычитали и делили комплексные числа и даже извлекали их них корни.

Поразительная формула

«Есть тонкие властительные связи

Меж контуром и запахом цветка»

(В. Я. Брюсов. «Сонет к форме»)

Ещё тоньше, властительнее, а зачастую и неожиданнее связи между числами. Ну что может быть общего между числами р и е?

Одно из них встречается в выражении для длины окружности, а другое - в законе органического роста, и вроде бы им не с чего сталкиваться в одной и той же формуле. А всё-таки они очень часто выступают вместе. Как ни удивительно, но числа р и е встречаются в теории вероятностей: ц(х)=- Гауссово распределение вероятностей.

Ещё удивительнее другая формула, в которую кроме них, входит мнимая единица i: .

Как писали американские учёные Э. Кезнер и Дж. Ньюмен:

«Эта знаменитая формула - возможно, самая компактная и знаменитая из всех формул - была обнаружена Эйлером ещё до открытия её де Муавром».

Доказывая эту формулу, можно придти к формуле: (1), которую так и называют в математике - формула Эйлера.

Из неё легко вывести, что (2). Складывая формулы (1) и (2) и деля сумму пополам, получили выражение для (3). Аналогично получаем для (4). Формулы (1), (2), (3) и (4) верны не только для действительных, но и для комплексных значений х. В частности, из формулы (3) получаем:

Значит, высказываемое в школе утверждение, что значения косинуса не превышают единицы, верно лишь при дополнительном условии - аргумент должен принимать действительные значения. А в комплексной области значения косинуса могут быть сколь угодно велики.

Формула Эйлера позволяет доказать одно свойство показательной функции, о которой нельзя было бы догадаться, оставаясь в действительной области: эта функция периодична! Только период у неё мнимый, он равен 2 рi. В самом деле, по формуле Эйлера , а потому . Наконец, та же формула Эйлера позволяет отыскивать логарифмы комплексных(и, в частности, отрицательных) чисел. Например, из равенства можно сделать вывод, что .

В силу периодичности показательной функции, каждому комплексному числу (кроме нуля) соответствует не одно, а бесконечно много значений логарифма.

Итак, в комплексной области основные элементарные функции тесно связаны друг с другом.

Теория функций комплексного переменного нашла приложения и при изучении течения жидкости, и в теории упругости, и в картографии. Сейчас трудно указать области физики, техники, механики, где не применялись бы комплексные числа, методы теории функций комплексного переменного - рассчитывается ли движение самолёта в воздухе, корабля в океане, электрическая цепь или сложное сооружение. И часто бывает, что продвижение в одной области, например в теории упругости, влечёт за собой успех в соседних областях - в гидродинамике, аэродинамике или ядерной физике.

Новые функции

До сих пор мы рассматривали приложения тех функций, которые изучаются в школе. Их называют элементарными функциями. Но многие задачи неразрешимы в элементарных функциях. Например, с помощью таких функций нельзя выразить длину дуги эллипса, зная его полуоси а иb. Для этого нужно было бы вычислить интеграл или интеграл вида , к которому он сводится. Однако все попытки математиков XVIII и начала XIX веков выразить этот интеграл через такие функции, как у=, у=lnxу=sin xу=arcsin x и т.д. успеха не имели. Объяснение этому было дано лишь в середине XIX века, когда в работах великого русского учёного П.Л. Чебышева и других математиков было выяснено, в каких случаях интегралы от элементарных функций выражаются через элементарные функции, а в каких - нет.

Замечательный норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который скончался в 1982 году, не дожил до 27 лет, предложил вместо эллиптических интегралов рассматривать обратные им функции (это аналогично переходу от функций вида у=arcsin x к тригонометрическим функциям). Новые функции он назвал эллиптическими.

Теорией эллиптических функций занимались многие математики XIX века - Б. Риман, К. Якоби (1804-1851), Вейерштрасс и другие.

Знаменитая Софья Ковалевская (1850-1891) с помощью эллиптических и ещё более общих функций решила стоявшую долгие годы перед математиками задачу о движении волчка. За эту работу она была удостоена премии, установленной Парижской Академией наук.

Сейчас в естествознании применяют громадное количество самых разнообразных функций. Для каждой из них выведено необозримое число формул. И только сейчас стали развиватьподходы, позволяющие изучать весь этот хаос функций и относящихся к ним формул с общих позиций. Но это уже область современной математики.

Размещено на Allbest.ru