Преобразования Лапласа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Прямое преобразование Лапласа

2. Обратное преобразование Лапласа

3. Теорема об изображении периодических оригиналов

4. Теорема о дифференцировании оригиналов

5. Расчетные задания



1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительного переменного - называется функция комплексного переменного , определяемая формулой

. (1)

Функция называется оригиналом и должна удовлетворять условиям:

1) кусочно-непрерывная однозначная функция

2)

3) .

Эти условия обеспечивают абсолютную сходимость несобственного интеграла (1.1) в полуплоскости Re.

Функцию называют изображением для , она является аналитической в области Re. Соответствие между оригиналом и его изображением обозначают символически или .

Для нахождения изображений наряду с формулой (1) могут быть использованы следующие свойства:

1. Линейность. Если то

где - любые комплексные постоянные.

2. Теорема подобия. Если , то

.

3. Смещение изображения. Если , то

,

где - любое комплексное число.

4. Запаздывание оригинала. Если , то

для любого . Здесь - единичная функция Хэвисайда, которая равна 1 при и 0 при .

5. Дифференцирование изображения. Если , то

…..………

.

6. Интегрирование оригинала. Если , то

.

7. Интегрирование изображения. Если и является оригиналом, то

.

8. Умножение изображений. Если , а и непрерывны на промежутке , то

(2)

9. Формула Дюамеля. Если , то

2. Обратное преобразование Лапласа

Рассмотрим теперь обратную задачу: по известному изображению будем находить оригинал . Сделать это по формуле обращения

крайне затруднительно, поэтому при отыскании оригиналов следует использовать таблицу изображений, свойства преобразования Лапласа и теорему разложения: если - изолированные особые точки дробно-рационального изображения , то оригинал находится по формуле

. (3)

Заметим, что если

и все особые точки являются простыми полюсами, то:

(4)

3. Теорема об изображении периодических оригиналов

Теорема: Если , где

,

а - периодическая функция

,

То

. (5)

Доказательство: Представим изображение функции в виде суммы интегралов:

Первый интеграл оставим без изменений, во втором выполним подстановку

,

в третьем интеграле возьмем подстановку

.

Получим:

Так как по условию нам дано, что функция периодическая, то

.

Вынесем за знак интеграла множители, которые не нужно интегрировать. Получим:

Но при

,

следовательно:

Тогда

Выражение, стоящее в скобках является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем , сумма которой равна , следовательно

,

что и требовалось доказать.

4. Теорема о дифференцировании оригиналов

Теорема: Если функции …, являются оригиналами и , то

,

,

………………… (6)

Доказательство: Согласно формуле (1)

,

тогда

.

Вычислив этот интеграл по частям

,

и учитывая, что

,

получим:

тогда

Аналогичным образом получаем формулу для n-ой производной:

.

5. Расчетные задания

Задача 1. Найти изображение функций и , если

Используя таблицу изображений, получаем:

Применив свойство о смещении изображения, получим:

По формуле (6) имеем:

Задача 2. Найти изображение функции, заданной графически.

Составим уравнения наклонных прямых. Уравнение первой прямой имеет вид:

Уравнение второй прямой имеет вид:

.

Таким образом, будет иметь аналитически заданную функцию:

Используя функцию Хэвисайда, запишем в виде:

Составим таблицу коэффициентов :

	0	3a	5a	8a
	2	0	0	-2

Задача 3. Функция

при равна нулю, а при является периодической:

Найдем изображение данной функции. По формуле (5) прямого преобразования Лапласа мы имеем:

.

преобразование лаплас оригинал изображение

По формуле (1) найдем:

Преобразуем изображение к следующему виду:

.

После вычисления определённых интегралов и подстановки пределов получим:

По формуле (3) имеем:

Задача 4. С помощью вычетов найти оригинал для изображения

Ответ записать в действительной форме.

Найдем особые точки данной функции. Для этого приравняем знаменатель функции к 0:

Получим 3 полюса:

Во всех 3 случаях кратность полюсов равна 1.

По формуле (4) будем иметь:

Задача 5. Найти оригинал по заданному изображению

Пусть

,

Тогда

Найдем особые точки функции . Для этого приравняем знаменатель функции к 0:

Получим 2 полюса:

.

Кратность первого полюса кратность второго .

По формуле (3) будем иметь:

После сложения вычетов получим:

По свойству о запаздывании оригинала получаем:

Задача 6. Операционным методом решить дифференциальное уравнение

при заданных начальных условиях .

Пусть , тогда по формуле (2) получим:

Операторное уравнение будет иметь вид:

Выразим из данного уравнения :

Найдем особые точки данного изображения. Для этого приравняем знаменатель к 0:

Получим четыре полюса , , , . Кратность каждого из полюсов равна еденице.

По формуле (3) будем иметь:

Суммируя вычеты и применяя формулу Эйлера, получим:

Задача 7. По формуле Дюамеля найти решения дифференциальных уравнений

,

удовлетворяющих условиям .

Составим вспомогательное уравнение, заменив правую часть единичной функцией Хэвисайда:

Пусть , тогда по формуле (2) получим:

Операторное уравнение будет иметь вид:

По формуле (3) будем иметь:

Тогда:

;;

По формуле Дюамеля получим решение первого заданного уравнения:

После вычисления интегралов и подстановки пределов получим:

Аналогичным образом по формуле Дюамеля получим решение второго уравнения:

;;

После вычисления интеграла и подстановки пределов получим:

Задача 8. Решить систему дифференциальных уравнений операционным методом.

Пусть , тогда по формуле (2) получим:

Система операторных уравнений будет иметь вид:

=>

Составим матрицу из коэффициентов перед X(p) и Y(p):

Найдем

;

Разделив на получили:

;

С помощью вычетов по формуле (3), найдем x(t) и y(t) :

Проверка:

Задача 9. Электрическая цепь, состоящая из резистора (сопротивление R=15 Ом), конденсатора (емкость C=10 мкФ) и катушки индуктивности (индуктивность L=10 мГн), соединенных последовательно, включается на постоянную э.д.с. E=9 В. В начальный момент времени заряд и ток равны нулю. Найти зависимость тока в цепи от времени I(t).

i(0)=0

q(0)=0

По 2 закону Кирхгофа:

Переводим в изображение эту формулу получаем:

Где

Получим:

Найдем особые точки данного изображения. Для этого приравняем знаменатель к 0:

Получим два полюса

Кратность всех полюсов равна 1.

Задача 10. В цепи, состоящей из самоиндукции L и ёмкости C, включенных последовательно, в момент времени приложена электродвижущая сила

.

В начальный момент времени

.

Найти I(t),если

i(0)=0

q(0)=0

Используя 2 закон Кирхгофа:

U_C+U_L=E

Компонентные уравнения:

Составим уравнение электрического равновесия:

Получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Используя свойства преобразования Лапласа, переведём уравнение в пространство изображений:

Найдём особые точки данного изображения

,,

их кратность равна 1.



Библиографический список

1. Кретова Л.Д., Ускова Н.Б., Бондарев А.В. Методические указания к практическим и индивидуальным занятиям по разделу «Операционное исчисление» курса «Математика» по направлению 211000.62 «Конструирование и технология электронных средств» профилю «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и направлению 200100.62 «Приборостроение» профилю «Приборостроение» очной формы обучения. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014. ( на магнитном носителе)

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1985. Т. 2.

3. Кретова Л.Д., Ускова Н.Б., Посметьев В.В. Дифференциальные уравнения. Функции комплексного переменного: учебное пособие. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.

4. Матвеев Б.В. Общая электротехника и электроника. Ч. 2. Переходные процессы и спектры: учебное пособие. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.

Размещено на Allbest.ru