Розвиток методів гармонійного аналізу дослідження асимптотичних властивостей мероморфних та субгармонійних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.535+517.547.3+517.574

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

РОЗВИТОК МЕТОДІВ ГАРМОНІЙНОГО АНАЛІЗУ ДОСЛІДЖЕННЯ АСИМПТОТИЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ МЕРОМОРФНИХ ТА СУБГАРМОНІЙНИХ ФУНКЦІЙ

Васильків Ярослав Володимирович

Львів - 2008



Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор Кондратюк Андрій Андрійович, завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Винницький Богдан Васильович, завідувач кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Зелінський Юрій Борисович, завідувач відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України

доктор фізико-математичних наук, професор Малютін Костянтин Генадійович, завідувач кафедри вищої математики Сумського аграрного університету

Захист відбудеться " 18 " грудня 2008 р. о 15.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.Автореферат розісланий “11” листопада 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради С. І. Тарасюк



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Глибинний зв'язок між граничною поведінкою аналітичної в одиничному крузі функції та властивостями її ряду Маклорена на одиничному колі, який на ньому перетворюється в тригонометричний ряд, був виявлений ще в 1906 р. П. Фату [Fa]. Наступні дослідження цього зв'язку призвели до встановлення фундаментальних результатів як в теорії аналітичних функцій, так і в теорії рядів Фур'є.

Тривалий час цікавим для досліджень вважався лише випадок, коли коло є межею круга збіжності степеневого розвинення функції, оскільки видавалося, що у випадку, коли коло лежить всередині круга збіжності, нетривіальних результатів бути не може. Насправді ж, виявилось, що це не так. Проте, для цього потрібно розвивати в ряд Фур'є не саму функцію, а її логарифм. Зокрема, ще в 1899 р. Йенсен [Je] отримав точне співвідношення між середнім значенням на колі Sr={z: |z|=r} логарифма модуля голоморфної в крузі DR={zC: |z|<R} функції ѓ (ѓ(0)=1) і усередненою лічильною функцією N(r,0,ѓ) послідовності її нулів {aj} у замиканні круга :

N(r,0,ѓ)=, 0<r<R (1)

Очевидно, що формула Йeнсена - це формула для нульового коефіцієнта Фур'є функції log|ѓ(reiи)|. Формули для усіх інших коефіцієнтів

ck(r,log|ѓ|)=, k,

природно розглядати, як узагальнення цієї формули. Такі узагальнення, насправді, встановив ще сам Йенсен [Je].

В 1923-1925 р.р. Фріттьоф і Рольф Неванлінни [NeF],[NeR] встановили ряд інтегральних зображень логарифма мероморфної функції (зокрема, і відому формулу Пуассона-Йенсена), які стали підвалинами створеної ними теорії розподілу значень аналітичних та мероморфних функцій. З цих зображень можна вивести співвідношення для коефіцієнтів ck(r,log|ѓ|) (k) мероморфної функції ѓ, що зображають їх через послідовності нулів Z(ѓ), полюсів W(ѓ) і коефіцієнтів г(ѓ)={гk} в деякому околі нуля. Власне, в 1927 р. це здійснив Н. І. Ахієзер [Ak] і дав їх застосування до нового доведення теореми Ліндельофа про тип цілої функції цілого порядку. Свого ж систематичного розвитку та широких застосувань метод рядів Фур'є для логарифма модуля цілих та мероморфних функцій набув лише після досліджень Л. Рубела і Б. Тейлора [RT], здійснених в 1963-1968 роках. В 1965-69 р.р. П. Новераз [No] поширив цей метод на субгармонійні та д- субгармонійні функції. На початку 70-тих років до цих досліджень приєднались У. Бек, Д. Бонар, Д. Майлз і Д. Шей, а згодом й ціла група математиків, як ось, Ф. Абі-Хузам, В. С. Азарін, Т. Кобаяші, А. А. Кондратюк, Р. Куяла, О. В. Веселовська, А. А. Гольдберг та М. М. Строчик, К. Г. Малютін, Г. В. Мікаелян, М. Озава, Л. Сонс, Д. Таунсенд, В. Бергвайлер, С. І. Тарасюк, Х. Янагіхара, М. В. Заболоцький, здобувач та інші.

Завдяки зусиллям цих математиків, метод рядів Фур'є для логарифма модуля став ефективним засобом дослідження фундаментальних задач загальної теорії аналітичних та мероморфних функцій, неванліннової теорії розподілу значень, теорії цілих та мероморфних функцій цілком регулярного зростання (ц.р.з.). Зокрема (див. огляди [Ru],[Mi],[GLO]):

Л. Рубел і Б. Тейлор дали вичерпне описання нулів і полюсів мероморфних функцій ѓ з доволі загальних класів Л(л) мероморфних функцій скінченного л-типу, які визначаються довільними додатними, неспадними, необмеженими, неперервними мажорантами л(r) їх неванліннових характеристик T(r,ѓ), істотно узагальнивши при цьому класичну теорему Ліндельофа;

Л. Рубел, Б. Тейлор та Д. Майлз розв'язали задачу про факторизацію мероморфних функцій ѓЛ(л) часткою цілих з тими ж обмеженнями на зростання;

Л. Рубел дав узагальнення класичного зображення Адамара для цілих функцій з класів Л(л);

Д. Майлз, Д. Шей, Ф. Абі-Хузам розв'язали або досягли значного прогресу у розв'язанні ряду важких і принципових задач неванліннової теорії розподілу значень;

Г. МакЛейн і Л. Рубел розв'язали проблему А. Зігмунда про опис послідовностей нулів добутків Бляшке B(reiи) таких, що лебегові квадратичні середні їх логарифмів модулів є обмеженими за r функціями на інтервалі (0,1);

А. А. Кондратюк і Ю. П. Лапенко побудували змістовну теорію мероморфних функцій ц. р. з. при досить загальній шкалі функцій порівняння (зростання), яка містить у собі класичну теорію цілих функцій ц.р.з. Б. Я. Левіна та А. Пфлюгера.

Однак, незважаючи на ефективність та широкий спектр застосувань, метод рядів Фур'є для логарифма модуля має природний недолік, а саме, він залишає поза увагою поведінку аргументів аналітичних та мероморфних функцій. Цей недолік було усунуто в роботах Дж. Літтлвуда, Д. Таунсенда, А. А. Кондратюка і Р. З. Калинець, здобувача. Так, ще в 1924 р. Літтлвуд [Li] дав узагальнення формули Йенсена (1) на повні логарифми мероморфних функцій у замиканні прямокутника і застосував її до вивчення розподілу нулів класичної ж-функції Рімана. В 1987 р. Д. Таунсенд [To] встановив формули для коефіцієнтів Фур'є функції F(z)=zѓ'(z)/ѓ(z) (як функції z/|z|), де ѓ - мероморфна. Отримані ним співвідношення, слід розглядати як узагальнення принципу аргумента. Використавши цей результат, А. А. Кондратюк і Р. З. Калинець [KK] встановили прямі і обернені співвідношення для коефіцієнтів Фур'є ck(r,log|ѓ|) певної гілки logѓ.

Природно постає такий напрямок досліджень: розвинути метод рядів Фур'є для повних логарифмів і логарифмічних похідних цілих та мероморфних функцій. Грунтуючись на ньому:

описати асимптотичну поведінку аргументів та логарифмічних похідних мероморфних функцій ц.р.з. в інтегральних метриках;

вивчити екстремальну поведінку лебегових квадратичних середніх повних логарифмів і аргументів цілих та мероморфних функцій в термінах лічильних функцій їх нулів і полюсів;

розв'язати узагальнену проблему А. Зігмунда, тобто описати поводження лебегових інтегральних p-середніх (1?p<+?) повного логарифма та логарифма модуля добутку Бляшке в залежності від розподілу його нулів за модулями і аргументами.

Проведені в дисертації дослідження розвивають та істотно доповнюють результати циклу робіт:

Л. Рубела і Б. Тейлора стосовно методу рядів Фур'є для логарифма модуля цілих та мероморфних функцій;

Д. Майлза і Д. Шея, Ф. Абі-Хузама та інших стосовно екстремальних задач у неванлінновій теорії розподілу значень;

А. А. Кондратюка, Ю. П. Лапенка з теорії мероморфних функцій ц.р.з.;

А. А. Гольдберга, М. Е. Коренкова, М. Л. Содіна та М. М. Строчика стосовно дослідження асимптотичного поводження логарифмічних похідних мероморфних функцій ц.р.з.

Відмітимо також, що розвинутий у дисертації метод рядів Фур'є для повного логарифма дозволив розробити новий метод дослідження розподілу нулів добутків Бляшке. При цьому, вперше встановлено ефективні і прості критерії обмеженості інтегральних p-середніх (1?p<+?) не лише логарифмів модулів, а й аргументів добутків Бляшке, тобто, в повному обсязі і в найбільш загальній постановці розв'язано згадану вище проблему А. Зігмунда. Для встановлення одержаних результатів поряд з класичними методами задіяно нові підходи, зокрема, векторнозначний аналог інтерполяційної теореми Марцинкевича та використано нове поняття функції, спряженої до субгармонійної в крузі функції. Зупинимося на останньому факті дещо докладніше. В сучасних комплексному та дійсному аналізах добре відомі такі два фундаментальні факти:

1. Дійсна та уявна частини голоморфних функцій в області є гармонійно спряженими функціями. Причина цього жорсткого зв'язку - в самій природі комплексної диференційованості, і вона відображена в умовах Коші-Рімана.

2. Гармонійно спряжені в одиничному крузі D функції пов'язані між собою оператором гармонійного спряження (оператором Гільберта для кола). Цей оператор дає змогу поєднати методи теорії функцій комплексної та дійсної змінних з методами комутативного гармонійного аналізу, зокрема, з методами метричної теорії спряжених функцій.

Оскільки, з одного боку, logB добутку Бляшке B (B(0)?0) є голоморфною функцією в однозв'язній області D* - одиничному крузі D з радіальними розрізами від його нулів до межі круга D то його дійсна та уявна частини log|B| та argB також зобов'язані певним чином виражатися за допомогою оператора гармонійного спряження. Але, з іншого боку, функція u=log|B| не є гармонійною в D (вона субгармонійна), і цю істотну обставину слід, належним чином, також враховувати. Вперше зв'язок між логарифмом модуля та аргументом добутку Бляшке в 1996 р. встановили А. А. Кондратюк та здобувач. Цей зв'язок має такий вигляд

argB(reiи)=u(reiи)-(reiи)

для майже всіх и[0,2р] при кожному фіксованому r(0,1), де через u і позначено функції, спряжені до функцій u і p, тобто [Ed; c. 103,107,113] згортку періодичного розподілу Гільберта H=-i?(signk)eikц, ц[0,2р], signk=k/|k|, k?0, sign0=0, зі звуженням функцій u(z) і p(z) на коло радіуса |z|=r відповідно. Компенсуюча функція p(z), яку називатимемо функцією розподілу послідовності нулів {a=|a|eiцj} добутку B(z), має вигляд

p(reiи)=, 0<r<1, и[0,2р], (3)

де P(r,w)=Re[(r+w)(r+w)-1], |w|<r, - ядро Пуассона.

У цьому контексті проведені в дисертації дослідження є, на наш погляд, поштовхом для нового напрямку досліджень: введення поняття функції, спряженої до субгармонійної в зірковій відносно початку координат області функції та вивчення її властивостей.

Останній, третій напрямок досліджень, проведених у дисертаційній роботі, стосується проблеми відшукання так званих мінімальних мажорант зростання цілих функцій з послідовностями нулів із заданого класу та побудови відповідних канонічних добутків Вейєрштрасса. Витоки цієї тематики лежать у класичних роботах Адамара, Бореля, Бутру, Блюменталя, Валірона, Вейєрштрасса, Ліндельофа та Пойя. Ця проблема, в свою чергу, тісно пов'язана з класичними проблемами канонічної факторизації мероморфних функцій ѓ часткою ѓ=g/h цілих функцій g і h, зростання логарифмів модулів яких не перевищує зростання неванліннової характеристики T(r,ѓ), і опису інтерполяційних послідовностей деяких класів цілих функцій. Ці проблеми, у тій чи іншій формі, досліджували Р. Неванлінна, А. А. Гольдберг, Й. В. Островський, А. Едрей і В. Фукс, Л. Рубел і Б. Тейлор, Д. Майлз, Г. Скода, А. П. Грішин, Б. Н. Хабібуллін, С. К. Балашов, Йо. Вінклер, В. Бергвайлер, А. А. Кондратюк, М. М. Шеремета, Б. В. Винницький, К. Г. Малютін та інші. Проте, незважаючи на велику кількість публікацій присвячених цим проблемам, актуальними залишаються такі задачі:

для цілих функцій із заданими обмеженнями на їх послідовності нулів знайти мінімальні у певному сенсі мажоранти функцій logM(r,ѓ) (M(r,ѓ)=max{|ѓ(z)|: |z|=r}) та побудувати відповідні канонічні добутки Вейєрштрасса;

розв'язати уточнену задачу А. А. Гольдберга про канонічну факторизацію, тобто факторизацію без спільних нулів, мероморфних функцій часткою цілих з тими ж обмеженнями на зростання.

Подібну задачу А. А. Гольдберг [Go] розглядав, в загальному випадку, як доповнення до відомих теорем Майлза-Рубела-Тейлора про факторизацію мероморфних функцій.

Сказане вище вказує на безумовну актуальність проведених в дисертації досліджень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках таких НДР: МТ-495 Б, МТ-531 Б "Асимптотичні властивості мероморфних і субгармонійних функцій" (номери держреєстрації 0193V041394, 0193V041400); МГ-379 Б "Властивості операторів та субгармонійних функцій, тополого-алгебраїчних структур і їх застосування" (номер держреєстрації 0101U001057); МА-80 Б "Функціонально-аналітичні методи в комплексному аналізі і теорії операторів" (номер держреєстрації 0101U001436); МА-222 Б "Методи гармонійного аналізу в теорії функцій та спектральна теорія лінійних операторів" (номер держреєстрації 0104U002122). Матеріали роботи також частково входили в міжнародний проект INTAS "New Trends in Complex Analysis and Potential Theory" (Ref. Number INTAS 99-00089).

Мета і задачі дослідження. Об'єктами дослідження є аналітичні, мероморфні та субгармонійні функції. Предметом дослідження є асимптотичне поводження таких функцій, їх інтегральних середніх при наближенні незалежної змінної до межі області їх визначення, а також розподіл їх нулів та полюсів чи мас Ріса.

Основні задачі дослідження сформулюємо у вигляді таких проблем:

Проблема 1. Дати подальше розвинення методу рядів Фур'є для повних логарифмів цілих і мероморфних функцій та їх логарифмічних похідних.

Проблема 2. Описати асимптотичну поведінку p-тих інтегральних середніх (1?p<+?) та середніх за площею log|ѓ(z)|, argѓ(z), F(z)=zѓ'(z)/ѓ(z) мероморфних в C функцій ѓ ц.р.з. відносно довільних зростаючих і опуклих за змінною logr функцій л(r) таких, що

0<м0:=rлм(r)?л(r)?rлм(r)?л(r):=с0<+?.

Проблема 3. Відшукати точні екстремальні співвідношення між лебеговими квадратичними середніми аргументів і повних логарифмів мероморфних функцій та лічильними функціями послідовностей їх нулів і полюсів у випадку скінченного порядку.

Проблема 4. Встановити умови на лічильну функцію n(r,B) нулів добутку Бляшке B, за яких інтегральні p-середні (1?p<+?) функції logB обмежені.

Проблема 5. Описати залежність зростання p-середніх (1?p<+?) функції logB від розподілу нулів добутку Бляшке B за модулями і аргументами.

Проблема 6. Ввести поняття функції, спряженої до субгармонійної в зірковій відносно початку координат області функції, встановити зображення і вивчити її властивості.

Проблема 7. Для субгармонійних функцій u із заданими обмеженнями на маси Ріса м[u] знайти мінімальні у певному сенсі мажоранти зростання функцій B(r,u)=max{u(y): |y|=r} та побудувати відповідні канонічні інтеграли Вейєрштрасса.

Проблема 8. Розв'язати уточнену задачу А. А. Гольдберга про канонічне зображення, тобто зображення без спільних нулів (мас Ріса), мероморфних (д-субгармонійних) функцій скінченного л-типу часткою (різницею) цілих (субгармонійних) функцій скінченного л-типу.

Методи дослідження. Основними інструментами досліджень є методи теорії комутативного гармонійного аналізу, зокрема, метод рядів Фур'є та методи метричної теорії спряжених функцій. Використані різноманітні методи теорії функцій комплексної змінної, методи теорії потенціалу (теорія субгармонійних функцій), методи математичного та функціонального аналізів та деякі прийоми з робіт А. А. Кондратюка, Д. Майлза і Д. Шейя. Поряд з цим, у дисертації задіяно нові підходи, зокрема, векторнозначний аналог інтерполяційної теореми Марцинкевича та використано нове поняття функції, спряженої до субгармонійної в крузі функції.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати дисертації є новими та оригінальними науковими дослідженнями. У роботі вперше:

Розроблено принципові положення методу рядів Фур'є для повних логарифмів, аргументів та логарифмічних похідних мероморфних функцій. За допомогою цього, (а) повністю описана асимптотична поведінка p-тих інтегральних середніх (1?p<+?) та середніх за площею повних логарифмів, аргументів та логарифмічних похідних мероморфних функцій ц.р.з. відносно довільних зростаючих і опуклих за змінною logr функцій порівняння л(r) таких, що 0<м0?с0<+?; (б) в термінах неванліннової характеристики T(r,ѓ) отримано непокращувані оцінки p-тих інтегральних середніх (1?p<+?) та оцінено p-ті інтегральні модулі неперервності повних логарифмів мероморфних функцій ѓ; (в) встановлено нові точні оцінки на зростання відношення середніх квадратичних повних логарифмів і аргументів мероморфних в C функцій ѓ нецілого порядку до лічильної функції (r,ѓ)=n(r,0,ѓ)+n(r,?,ѓ) її нулів Z(ѓ) і полюсів W(ѓ).

В повному обсязі і в найбільш загальній постановці розв'язано узагальнену проблему А. Зігмунда про опис послідовностей нулів добутків Бляшке з обмеженими інтегральними середніми їх логарифмів. При цьому, розроблено новий метод дослідження розподілу нулів добутку Бляшке за модулями і аргументами.

Введено поняття функції u, спряженої до субгармонійної функції u в зірковій відносно початку координат області;

Встановлено зображення та вивчено властивості таких функцій, зокрема показано, що у випадку коли u=log|ѓ|, ѓ - голоморфна, спряжена u до u є деякою гілкою Argѓ.

Встановлено новий критерій скінченності л-типу субгармонійної в C функції u в термінах характеристики зростання (r,u):=sup{|u(z)|: |z|r}.

Розв'язано уточнену задачу А. А. Гольдберга про канонічне зображення мероморфних функцій, а саме, встановлено критерій розв'язності такої задачі в термінах мінімальних мажорант зростання.

Встановлено найслабші, у певному сенсі, достатні умови Ліндельофа скінченності л-типу субгармонійних в C функцій. Знайдено мінімальні мажоранти зростання субгармонійних функцій з мірами Ріса м за певних умов на мажоранти зростання мас n(r,м) круга радіуса r.

Для певних класів д-субгармонійних в C функцій нескінченного нижнього порядку розв'язано узагальнену задачу А. А. Гольдберга про канонічне зображення таких функцій.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Отримані в дисертації результати можуть знайти застосування в загальній теорії мероморфних функцій, неванлінновій теорії розподілу значень, теорії функцій цілком регулярного зростання, теорії потенціалу, теорії інтерполяції функцій, а також при вивченні властивостей функцій з класів Гарді, Неванлінни та Смірнова.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати дисертації отримані здобувачем самостійно. У спільних з науковим консультантом публікаціях [2-4, 11,16-18] А. А. Кондратюку належить постановка задач. У статті [1] здобувачеві належить принцип Фрагмена-Ліндельофа для L-субгармонійних функцій. У статті [13] співавтору О. Я. Лизун належить теорема 2. Роботи [10,14] виконано у співпраці з С. І. Тарасюком. У спільній публікації [20] з аспірантом Ю. С. Проциком, здобувачеві належить постановка задачі та доведення основного результату у випадку площини, яке і включено в дисертацію у його оригінальному варіанті. У публікації [8] співавтору Я. В. Микитюку належить векторнозначний аналог інтерполяційної теореми Марцинкевича (теорема 3.13), який включений у дисертацію за його згоди і з метою повноти викладу. Результати статті [22], в основному, належать здобувачеві.

Апробація результатів дисертації. Усі основні результати дисертації доповідались та обговорювались на міжнародній математичній конференції, присвяченій 100-річчю від дня Народження С. Банаха (Львів, 1992 р.), міжнародній конференції, присвяченій пам'яті акад. М. П. Кравчука (Київ-Луцьк, 1992 р.), міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 1998 р.), міжнародній конференції "Nonlinear partial differential equations", присвяченій 100-річчю від дня народження Ю. П. Шаудера (Львів, 1999 р.), міжнародній конференції "Цілі і мероморфні функції", присвяченій 70-річчю проф. А. А. Гольдберга (Львів, 2000 р.), INTAS Starting meeting "New Trends in Complex Analysis and Potential Theory" (Львів, 2000 р.), міжнародній науковій конференції з комплексного аналізу і теорії потенціалу (Київ, 2001 р.), міжнародній науковій конференції з теорії функцій і математичної фізики, присвяченій 100-річчю Н. І. Ахієзера (Харків, 2001 р.), міжнародній конференції "Функціональний аналіз та його застосування" присвяченій 110-річчю Стефана Банаха (Львів, 2002 р.), другій міжнародній конференції "Mathematical Analysis and Economics" (Суми, 2003 р.), міжнародній конференції "Аналіз і суміжні питання" (Львів, 2005 р.), а також на Львівських міжвузівських семінарах з теорії аналітичних функцій (керівники: проф. А. А. Гольдберг, проф. А. А. Кондратюк та проф. О. Б. Скасків) і з функціонального аналізу (керівники: проф. В. Е. Лянце та проф. О. Г. Сторож), семінарі з комплексного аналізу та теорії потенціалу ІМ НАН України (керівник: доктор фіз.-мат. наук, ст. наук. співробітник Ю. Б. Зелінський), семінарі "Методи теорії функцій та їх застосування" у м. Суми (керівник: проф. К. Г. Малютін), семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Дрогобичі (керівник: проф. Б. В. Винницький).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 35 роботах, з яких 22 (8 без співавторів) - журнальні статті та 13 (7 без співавторів) - матеріали та тези міжнародних конференцій. З них 22 найменування опубліковано у виданнях, включених до переліку ВАК України, у яких слід публікувати матеріали дисертацій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, переліку основних позначень, огляду літератури та основних результатів дисертації, п'ятьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел та одного додатку. Загальний обсяг дисертації - 317 сторінок. Список використаних джерел обсягом 24 сторінки включає 202 найменування.

Здобувач висловлює щиру подяку науковому консультантові проф. А. А. Кондратюку за постановку задач та постійну увагу до роботи та доц. Я. В. Микитюку за корисні консультації з функціонального аналізу.

лебеговий логарифм мероморфний гольдберг



ВИСНОВКИ

Дисертація містить нові науково обгрунтовані та систематизовані теоретичні дослідження з гармонійного аналізу для аналітичних, мероморфних та субгармонійних функцій і його застосувань до вивчення асимптотичного поводження таких функцій та їх інтегральних середніх при наближенні незалежної змінної до межі області їх визначення, а також розподілу їх нулів та полюсів чи мас Ріса. Зміст основних результатів роботи полягає у наступному:

Розроблено принципові положення методу рядів Фур'є для повних логарифмів та логарифмічних похідних мероморфних функцій.

Дано повний опис асимптотичного поводження аргументів та логарифмічних похідних мероморфних в функцій цілком регулярного зростання у розумінні А. А. Кондратюка в метриках лебегових просторів та в термінах їх середніх за площею.

В повному обсязі і в найбільш загальній постановці розв'язано відому проблему А. Зігмунда про опис послідовностей нулів добутків Бляшке з обмеженими інтегральними середніми їх логарифмів. При цьому, розроблено новий метод дослідження розподілу значень нулів добуту Бляшке за модулями і аргументами.

Розроблено основи теорії функцій, спряжених до субгармонійних у крузі.

Розв'язано уточнену задачу А. А. Гольдберга про канонічне зображення мероморфних функцій часткою цілих, а саме, встановлено критерій розв'язності такої задачі в термінах мінімальних мажорант зростання.

Побудовано канонічні інтеграли Вейєрштрасса мінімального зростання із заданою борелевою мірою, маса круга якої має мажоранту нескінченного нижнього порядку, і дано їх застосування до розв'язання узагальненої задачі А. А. Гольдберга про канонічне зображення д-субгармонійних функцій.

Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані у подальших дослідженнях в загальній теорії мероморфних функцій, неванлінновій теорії розподілу значень, теорії функцій цілком рерулярного зростання, теорії потенціалу, теорії інтерполяції функцій, а також при вивченні властивостей функцій з класів Гарді, Неванлінни та Смірнова.

Основні результати дисертації мають завершений вигляд або критеріальний характер. При їх отриманні використовуються класичні та сучасні методи комутативного гармонійного аналізу, теорії функцій комплексної змінної, теорії потенціалу (теорія субгармонійних функцій), математичного і функціонального аналізу та деякі прийоми з робіт А. А. Кондратюка, Д. Майлза і Д. Шейя. Поряд з цим, у дисертації задіяно нові підходи, зокрема, векторнозначний аналог інтерполяційної теореми Марцинкевича та використано нове поняття спряженої до субгармонійної в крузі функції.



ЛІТЕРАТУРА

[Fa] Fatou P. Series trigonometriques et series de Taylor/ P. Fatou // Acta Math. - 1906. - Vol. 30. - P. 335-400.

[Je] Jensen J.L.W.V. Sur un nouvel et important theoreme de la theorie des fonctions/ J. L. W. V. Jensen // Acta Math. - 1899. - Vol. 22. - P. 359-364.

[NeF] Nevanlinna F. Bemerkugen zur Theorie der ganzen Funktionen endlicher Ordnung/ F. Nevanlinna // Soc. Sci. Fenn. Comment. Phys.-Math. -1923. - Vol. 2, № 4. - P. 1-7.

[NeR] Nevanlinna R. Zur theorie der meromorphen Functionen/

R. Nevanlinna // Acta Math. - 1925. - Vol. 46. - P. 1-99.

[Ak] Ахієзер Н.І. Новий вивід необхідних умов приналежності цілої функції цілого порядку до певного типу/ Н. І. Ахієзер // Запис. фіз.-мат. відділення АН УРСР. - 1927. - T. 2, № 3. - C. 29-33.

[RT] Rubel L.A. A Fourier series method for meromorphic and entire functions/ L. A. Rubel, B. A. Taylor // Bull. Soc. Math. France. - 1968. - Vol. 96. - P. 53-96.

[No] Noverraz P. Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques complexes/ P. Noverraz// Ann. Inst. Fourier. - 1969. - Vol. 19, № 2.- P. 419-493.

[Ru] Rubel L.A. A survey of a Fourier series method for meromorphic functions/ L. A. Rubel // Lect. Not. in Math. - 1973. - Vol. 336. - P. 51-62.

[Mi] Miles J. A Fourier series method in value distribution theory/ J. Miles // Fourier Series Methods in Complex Analysis ( Mekrijдrvi, 2005). Univ. Joensuu Dept. Math. Rep. Ser. - 2006. - Vol. 10. - P. 129-158.

[GLO] Гольдберг А. А. Целые и мероморфные функции/ А.А.Гольдберг, Б.Я.Левин, И.В.Островский // Итоги наук и техн. ВИНИТИ. Соврем. проблемы мат. Фундам. напр. - 1990. - Т. 85. - С. 5-186.

[Li] Littlewood J. E. On zeros of the Riemann zeta-function/ J. E. Littlewood // Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1924. - Vol. 22. - P. 295-318.

[To] Townsend D. Comparisons between T(r,ѓ) and total variations of argѓ(reiи) and log|ѓ(reiи)|. D. Townsend // J. Math. Anal. Appl. - 1987. - Vol. 128. - P. 347-361.

[Ed] Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2/ Р.Эдвардс. - Москва: Мир, 1985.

[KK] Калинець Р.З. Про регулярність зростання модуля і аргумента цілої функції в Lp[0,2р]-метриці/ Р. З. Калинець, А. А. Кондратюк // Укр. мат. журн. - 1998. - T. 50, № 7. - С. 889-896.

[Go] Гольдберг А. А. О представлении мероморфной функции в виде частного целых функций/ А. А. Гольдберг // Изв. Высш. Учебн. Завед., Математика. - 1972. - Т. 10. - С. 13-17.

[Ko] Кондратюк А. А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста/ А. А.Кондратюк // Мат. Сборник. - 1978. - Т. 106, № 3. - С. 386-408.

[MS1] Miles J.B. On the growth of meromorphic functions having at least one deficient value/ J. B. Miles, D. F. Shea // Duke. Math. J. - 1976. - Vol. 43, № 1. - P. 171-186.

[MS2] Miles J.B. An extremal problem in value distribution theory/ J. B. Miles, D. F. Shea// Quart. J. Math. Oxford. - 1973. - Vol. 24. - P. 377-383.

[SW] Shea D. F. Growth problems for a class of entire functions via singular integral estimates/ D. F. Shea, S. Wainger // Ill. Jour. Math. - 1981. - Vol. 25, № 1. - P. 41-50.

[Ga] Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции/ Дж. Гарнетт. - Москва: Мир, 1984.

[Fr] Frostman O. Sur les produit de Blaschke/ O. Frostman // Kungl. Fysiografiska Sдllskapets i Lund Fцrhandlingar. - 1942. - Vol. 12, № 15. - P. 169-182.

[HK] Хейман У. Субгармонические функции/ У. Хейман, П. Кеннеди. - Москва: Мир, 1980.

[VL] Васильків Я. В. Про мажоранти зростання цілих функцій/ Я. В. Васильків, О. Я. Лизун // Вісн. Львів. у-ту, сер. мех.-мат. - 2001. - Вип. 59. - С. 51-56.

[Lin] Lindelцf E. Sur les fonctions entieres d'ordre entier/ E. Lindelцf // Ann. sci. Йcole norm. supйr. - 1905. - Vol. 22. - P. 365-395.

[Sk] Skoda H. Sous-ensembles analytique odre fini ou infini dans Cn H. Skoda // Bull. Soc. Math. France. - 1972. - Vol. 100, № 4. - P. 353-408.

[Ly] Лизун О.Я. Зображення цілих функцій мінімального зростання канонічним добутком/ О. Я. Лизун // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - T. 45, № 1. - C. 38-41.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Васильків Я.В. Загальна проблема Пелі/ Я. В. Васильків, А. А. Кондратюк, С. І. Тарасюк // Укр. мат. журн. - 1996. - Т. 48, № 1. - С. 25-34.

2. Васильків Я.В. Порівняння характеристик зростання додатних функцій/ Я. В. Васильків, А. А. Кондратюк // Матем. Студії. - 1998. - Т. 10, № 1. - С. 23-32.

2*. Васильків Я.В. Порівняння характеристик зростання додатних функцій: виправлення/ Я. В. Васильків, А. А. Кондратюк // Матем. Студії - 1999. - Т. 12, № 2. - С. 221.

3. Васильків Я.В. Про обмеженість середніх квадратичних логарифмів добутків Бляшке/ Я. В. Васильків, А. А. Кондратюк // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, № 2. - С. 255-259.

4. Васильків Я.В. Інтегральні середні логарифмів добутків Бляшке/ Я. В. Васильків, А. А. Кондратюк // Вісник Львів. у-ту. - 1999. - Вип. 53. - С. 52-61.

5. Васильків Я.В. Асимптотична поведінка логарифмічних похідних та логарифмів мероморфних функцій цілком регулярного зростання в Lp[0,2р]-метриці. Ч. 1/ Я. В. Васильків // Матем. Студії . - 1999. - Т. 12, № 1. - С. 37-58.

6. Васильків Я.В. Асимптотична поведінка логарифмічних похідних та логарифмів мероморфних функцій цілком регулярного зростання в Lp[0,2р]-метриці. Ч. 2/ Я. В. Васильків // Матем. Студії. - 1999. - Т. 12, № \ 2. - С. 135-144.

7. Васильків Я.В. Про обмеженість повної варіації логарифма добутку Бляшке/ Я. В. Васильків // Укр. мат. журн.- 1999. - Т. 51, № 11. - С. 1449-1455.

8. Васильків Я.В. Критерії обмеженості інтегральних середніх логарифмів добутків Бляшке/ Я. В. Васильків, Я. В. Микитюк // Доп. НАН України - 2000. - № 8. - С. 10-14.

9. Васильків Я.В. Зростання інтегральних середніх функцій розподілу послідовностей/ Я. В. Васильків // Вісник Львів. у-ту. - 2000. - Вип. 56. - С. 44-47.

10. Васильків Я.В. Зростання середніх квадратичних мероморфних функцій порядку меншого від одиниці/ Я. В. Васильків, С. І. Тарасюк // Вісник Львів. у-ту. - 2000. - Вип. 58. - С. 15-20.

11. Kondratyuk A.A. Conjugate of subharmonic function/ A. A. Kondratyuk, Ya. V. Vasyl'kiv // Матем. Студії. - 2000. - Т. 13, № 2. - С. 173-180.

12. Vasyl'kiv Ya.V. Growth of square means of arguments, logarithms and logarithmic derivatives

of meromorphic functions of nonintegral order/ Ya. V. Vasyl'kiv // Нелинейные граничные задачи. Сборник научных трудов ИПММ НАН Украины. Вып. 11, 2001 г., Донецк. - 2001, 220 с. - С. 213-218.

13. Васильків Я.В. Про мажоранти зростання цілих функцій/ Я. В. Васильків, О. Я. Лизун // Вісн. Львів. у-ту, сер. мех.-мат. - 2001. - Вип. 59. - С. 51-56.

14. Васильків Я.В. Мінімальні мажоранти зростання субгармонійних в Rm функцій нескінченного порядку/ Я. В. Васильків, С. І. Тарасюк // Вісн. Харківського національного у-ту, Серія "Математика, прикладна математика і механіка". - 2001. - № 514. - С. 177-182.

15. Васильків Я.В. Один критерій скінченності л-типу субгармонійних на площині функцій/ Я. В. Васильків // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, № 4. - C. 7-11.

16. Kondratyuk A.A. Growth majorants and quotient representations of meromorphic functions/ A. A. Kondratyuk, Ya. V. Vasyl'kiv // Comp. Meth. and Func. Theory. - 2001. - V. 1, № 2. - P. 595-606.

17. Васильків Я.В. Узагальненні умови Ліндельофа скінченності л-типу субгармонійної функції/ Я. В. Васильків, А. А. Кондратюк// Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 2. - С. 276-279.

18. Васильків Я.В. Мінімальні мажоранти зростання цілих функцій і зображення часткою мероморфних/ Я. В. Васильків, А. А. Кондратюк // Доп. НАН України. - 2002. - № 4. - C. 7-11.

19. Васильків Я.В. Про зростання субгармонійних в функцій нескінченного порядку/ Я. В. Васильків // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 9. - С. 1279-1284.

20. Васильків Я.В. Канонічний інтеграл Вейєрштрасса для субгармонійних функцій нескінченного порядку/ Я. В. Васильків, Ю. С. Процик// Вісн. Харківського національного у-ту. Серія "Математика, прикладна математика і механіка". - 2002. - № 542. - С. 118-130.

21. Васильків Я.В. Зауваження до умов скінченності л-типу цілої функції/ Я. В. Васильків // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Т. 45, № 1. - C. 7-10.

22. Vasylkiv Ya. V. On boundedness of integral means of Blaschke product logarithms / Ya. V. Vasylkiv, A. A. Kondratyuk, S. I. Tarasyuk // Math. Modelling and Analysis. - 2003. - Vol. 8, № 3. - P. 259-265.



АНОТАЦІЯ

Васильків Я.В. Розвиток методів гармонійного аналізу дослідження асимптотичних властивостей мероморфних та субгармонійних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2008.

У дисертації розроблено принципові положення методу рядів Фур'є для повних логарифмів та логарифмічних похідних мероморфних функцій та основи теорії функцій, спряжених до субгармонійних в крузі. За допомогою цього, дано повний опис асимптотичного поводження аргументів та логарифмічних похідних мероморфних функцій цілком регулярного зростання у розумінні А. А. Кондратюка в інтегральних метриках; в повному обсязі і в найбільш загальній постановці розв'язано відому проблему А. Зігмунда опису послідовностей нулів добутків Бляшке з обмеженими інтегральними середніми їх логарифмів; встановлено критерій розв'язності уточненої задачі А. А. Гольдберга про канонічне зображення мероморфних функцій часткою цілих; побудовано канонічні інтеграли Вейєрштрасса мінімального зростання із заданою борелевою мірою, маса круга якої має мажоранту нескінченного нижнього порядку і дано їх застосування до розв'язання узагальненої задачі А. А. Гольдберга про канонічне зображення д-субгармонійних функцій.

Ключові слова: аналітична функція, мероморфна функція, субгармонійна функція, добуток Бляшке, канонічний інтеграл Вейєрштрасса, метод рядів Фур'є, комутативний гармонійний аналіз, цілком регулярне зростання, асимптотичне поводження, неванліннова теорія, канонічна факторизація.



ABSTRACT

Vasyl'kiv Ya.V. Development of the harmonical analysis methods for the investigation of asymptotic properties of meromorphic and subharmonic functions. - Manuscript.

Thesis for Doctor of Physics and Mathematics degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2008.

The Fourier series method for the logarithms and the logarithmic derivatives of meromorphic functions is developed. The foundations of the theory of functions conjugated to subharmonic in a star domain are maid. The complete description of asymptotic behaviour of arguments and logarithmic derivatives of meromorphic functions of completely regular growth in the sense of A. A. Kondratyuk in integral metrics is given. The well-known problem of A. Zygmund on characterization of zero sequences of Blaschke products with bounded integral means of their logarithms is solved. The representation problem for meromorphic functions as quotients of entire functions without common zeroes, so-called canonical quotient representations, are considered. It is shown that this problem reduces to the study of growth majorant properties of entire functions with restrictions on their zero quantities. The canonical Weierstrass integrals of minimal growth are constructed under some conditions on Borel measures. Their applications to solving of generalized A. A. Gol'dberg's problem on canonical representation of д-subharmonic functions are given.

Key words: analytic function, meromorphic function, subharmonic function, Blaschke product, canonical Weierstrass integral, Fourier series method, commutative harmonical analysis, completely regular growth, asymptotical behaviour, Nevanlinna theory, canonical factorization.

Размещено на Allbest.ru