Режими із загостренням для нелінійних параболічних рівнянь, що вироджуються, із джерелом і неоднорідною щільністю

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

РЕЖИМИ ІЗ ЗАГОСТРЕННЯМ ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ, ЩО ВИРОДЖУЮТЬСЯ, ІЗ ДЖЕРЕЛОМ І НЕОДНОРІДНОЮ ЩІЛЬНІСТЮ

01.01.02 - диференціальні рівняння

МАРТИНЕНКО Олександр Валерійович

Донецьк - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

Тедеєв Анатолій Федорович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, зав. відділом рівнянь математичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Бурський Володимир Петрович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу

кандидат фіз.-мат. наук, доцент

Бокало Микола Михайлович,

Львівський Національний Університет ім. І.Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато проблем у різних галузях науки приводять до вивчення квазілінійних параболічних рівнянь. У першій половині ХХ сторіччя основною сферою застосування таких рівнянь була фізика, однак починаючи з 40-х років, квазілінійні параболічні рівняння починають використовуватися в хімії, біології, економіці, соціології та інших науках для моделювання еволюційних процесів. Значну роль у подібних дослідженнях відіграють рівняння, що припускають розв'язки, які стають нескінченними за скінченний час. Такі розв'язки зазвичай називають режимами із загостренням та кажуть, що розв'язок «вибухає» за скінченний час. Той факт, що таким розв'язкам можна надати фізичного змісту, був відомий досить давно. Однак довгий час вважалося, що необмежені розв'язки важливі лише з теоретичної точки зору, як приклади, що демонструють оптимальність тих або інших умов глобальної розв'язності.

Прикладний інтерес до режимів із загостренням виник у 70-ті роки ХХ сторіччя в зв'язку з вивченням процесів, які відбуваються у високотемпературній плазмі. Пізніше з'ясувалося, що режими із загостренням добре описують динаміку згортання крові, структури, що виникають у лазерній хімії, а також з успіхом застосовуються в соціології та сінергетиці. При цьому необхідно зазначити, що режими із загостренням не враховують усіх факторів, які обмежують зростання розв'язку поблизу часу загострення, тим не менш вони дозволяють зрозуміти найбільш важливі риси системи аж до часу загострення.

Основне питання, що виникає при вивченні режимів із загостреннями, полягає у відшуканні умов на коефіцієнти рівняння, початкові й крайові умови задачі при яких рівняння має необмежені розв'язки. Для рівнянь із джерелом перші результати такого типу були отримані в 1960-і роки в роботах С. Каплана й Х. Фуджити . Зокрема Х. Фуджита розглядав задачу Коші для рівняння й показав, що існування глобальних за часом розв'язків залежить від значення . А саме, був знайдений критичний показник ( - розмірність простору) такий, що при будь-який нетривіальний розв'язок задачі Коші «вибухає» за скінченний час, а при й «досить малій» початковій функції розв'язок існує глобально за часом, причому як показав Х. Левін, «малість» початкової функції є необхідною умовою глобальної розв'язності. Пізніше К. Хаякава досліджував випадок і показав, що він належить до режиму із загостренням. Після робіт Х. Фуджити й К. Хаякави проблема існування глобального розв'язку в рівняннях із джерелом звелася до знаходження критичних показників. Результати такого типу прийнято називати теоремами типу Фуджити, якщо досліджуються випадки , і теоремами типу Фуджити-Хаякави, якщо розгляд охоплює критичний випадок , а сам критичний показник зазвичай називають показником Фуджити.

Вивчення режимів із загостренням у задачі Коші й початково-крайових задач для рівнянь, що мають виродження в головній частині починається в 70-і роки минулого сторіччя. Основні результати з цих напрямків були отримані в роботах О. А. Самарського, В. О. Галактіонова, С. П. Курдюмова, О. П. Михайлова, Ф. Вейсслера, Х. Левіна, П. Сакса, П. Мейера, М. Тсутсумі та інших авторів. Цими авторами розглядалися в основному рівняння типу пористого середовища з виродженням по в головній частині й застосовувалися різні спеціальні методи досліджень, що використовують теореми порівняння, функціонали типу Ляпунова, властивості власних функцій диференціального оператора, що стоїть у головній частині і т.п.

В міру зростання кількості досліджень відбувалося вдосконалювання методів дослідження. В 1991 році Д. Андреуччі й Е. Ді Бенедетто запропонували досить загальний підхід до дослідження рівнянь із джерелом , заснований на локальних енергетичних оцінках, що дозволило істотно розширити клас задач, що розглядаються. По суті в основі цього підходу лежать ідеї С. Каплана. У дослідженнях З. Джунінга , Д. Андреуччі, А. Ф. Тедеєва й деяких інших авторів запропонований метод розвивався й узагальнювався на більш широкі класи рівнянь, зокрема, такі, що не допускають дворазове застосування формули Гріна в дифузійній частині, як, наприклад, рівняння неньютонівської фільтрації. Д. Андреуччі, А.Ф. Тедеєв вперше отримали теореми типу Фуджити для рівняння з подвійною нелінійністю в головній частині й джерелом, причому умови існування й неіснування глобальних за часом розв'язків сформульовано в термінах інтеграла Діні.

В останні роки підсилився інтерес до рівнянь, що мають коефіцієнти, які вироджуються за часом і просторовими змінними, так у роботах Й. В. Кві, К. Ліу й М. Ванга, Д. Андреуччі й А. Ф. Тедеєва розглядалися рівняння з неавтономним, неоднорідним джерелом . Було показано, що значення показника Фуджити істотно залежить від й . У той же час практично відсутні результати для рівнянь із джерелом, які мають коефіцієнт у параболічному члені, що вироджується за просторовими змінними (такі рівняння зазвичай називають рівняннями з неоднорідною щільністю). Окремі випадки таких рівнянь досліджувалися досить спеціальними методами в роботах З. Тана, К. Г. Ліу й С. П. Курдюмова, Е. С. Куркіної . Перша з них присвячена початково-крайовій задачі Коші-Діріхле для рівняння неньютонівської пружної фільтрації з неоднорідною щільністю й джерелом, у другій роботі за допомогою чисельних методів вивчається рівняння типу пористого середовища з неоднорідною щільністю й джерелом.

При цьому необхідно відзначити, що рівняння з неоднорідною щільністю без джерела досліджені досить добре. Такі рівняння мають ряд властивостей, що не є характерними для рівнянь із однорідною щільністю. Наприклад, у випадку повільної дифузії, за певних умов на щільність і фінітній початковій функції, спостерігається явище руйнування границі носія розв'язку за скінченний час . Також у випадку вагової функції, що досить швидко вироджується на нескінченності змінюється асимптотичне поводження розв'язків: розв'язок наближається до відмінної від нуля сталої при , що, загалом кажучи, не характерно для задачі Коші . Тому природно очікувати появи якісно-нових властивостей розв'язків таких рівнянь у випадку наявності джерела.

В силу всього вищевикладеного уявляється цікавим розглянути в дисертаційній роботі питання про умови існування й неіснування глобальних за часом розв'язків задачі Коші для рівняння з подвійною нелінійністю, джерелом і неоднорідною щільністю.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України. Результати дисертації використано при виконанні державної теми «Задачі з вільними межами, нелінійні вироджені параболічні та еліптичні рівняння, проблеми існування та неіснування розв'язків, властивості сингулярних розв'язків» шифр III-3-04 (1.1.4.3), номер державної реєстрації № 0104U000860.

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження даної дисертації є квазілінійні параболічні рівняння з неоднорідною щільністю й джерелом.

Предмет дослідження - режими із загостренням для квазілінійних параболічних рівнянь із неоднорідною щільністю й джерелом.

Мета дисертації - отримати умови існування й неіснування глобальних за часом розв'язків задачі Коші для параболічних рівнянь із неоднорідною щільністю й джерелом наступного вигляду

, (1)

, (2)

де (повільна дифузія), .

Іншими цілями дисертаційної роботи є встановлення регулярності й апріорних оцінок поблизу часу загострення розв'язків рівнянь (1) і (2).

Для досягнення поставлених цілей у дисертації вирішено наступні задачі.

1. Отримано значення критичних показників типу Фуджити для рівнянь (1) і (2) у випадках , , і доведено, що при будь-який нетривіальний розв'язок задачі Коші «вибухає» за скінченний час, а при й «досить малій» початковій функції розв'язок існує глобально за часом.

2. Встановлено неперервність за Гельдером розв'язків достатньо широкого класу квазілінійних параболічних рівнянь, що вироджуються, з неоднорідною щільністю.

3. Отримано універсальні оцінки розв'язку задачі Коші для рівняння (1) поблизу часу загострення.

Методи дослідження. Основним методом дослідження в даній дисертаційній роботі є метод енергетичних оцінок, який бере свій початок у Е. Де Джорджи й надалі був вдосконалений у роботах О. О. Ладиженської, В. А. Солонникова, Н. М. Уральцевої , Д. Андреуччі, Е. Ді Бенедетто , Д. Андреуччі, А. Ф. Тедеєва.

При доведенні глобальної розв'язності використовується метод апроксимації задачі Коші за допомогою початково-крайових задач Коші-Діріхле.

Для дослідження регулярності розв'язків використовуються підходи, розвинені в роботах Е. Ді Бенедетто , М. Порціо, В. Веспрі , І.І. Скрипніка й С. Бонафеде .

Результати про неіснування в цілому за часом розв'язків задачі Коші отримано за допомогою розвитку методу, запропонованого Д. Андреуччі, А.Ф. Тедеєвим і незалежно від них З. Джунінгом. Ключовий момент цього методу - множення на пробну функцію у від'ємному степені.

Наукова новизна отриманих результатів. Вперше встановлено умови існування й неіснування в цілому за часом розв'язків задачі Коші для параболічних рівнянь, що вироджуються, з неоднорідною щільністю й степеневим джерелом. При цьому новизна отриманих результатів полягає не тільки в тім, що відомі результати переносяться на більш загальні класи рівнянь, а й в одержанні нових ефектів, нехарактерних для рівнянь із однорідною щільністю.

Також, уперше доведено неперервність за Гельдером розв'язків досить широкого класу нелінійних параболічних рівнянь із неоднорідною щільністю в параболічній частині. Хоча доказ цього результату є методологічно близьким роботі І.І. Скрипніка й С. Бонафеде, однак вимагає істотно іншої техніки.

Отримано універсальну оцінку розв'язку, що «вибухає», поблизу часу загострення. До цього часу такі оцінки були відомі тільки для рівнянь із однорідною щільністю.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація носить в основному теоретичний характер. Досліджувані в роботі рівняння виникають при описі багатьох явищ в природничих та гуманітарних науках, тому отримані результати можуть бути використані при вивченні прикладних проблем, що моделюються нелінійними еволюційними задачами.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані автором самостійно й опубліковані в 6 роботах. Роботи [1]-[3] написані в співавторстві з А.Ф. Тедеєвим. У даних роботах А.Ф. Тедеєву належать постановка задач і вибір методу дослідження, здобувачеві належать доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на міжнародній конференції «Nonlinear Partial Differential Equations» (Ялта, 2007 р.); всеукраїнській науковій конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченій 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського, Донецьк, 2006; спільному семінарі відділів нелінійного аналізу, рівнянь з частинними похідними та рівнянь математичної фізики ІПММ НАНУ(керівники д.ф.м.н., О.А. Ковалевський, д.ф.м.н., професор А.Є. Шишков, д.ф.м.н. А.Ф. Тедеєв), 2008.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 6 роботах. З них 4 у наукових виданнях, які входять до переліку ВАК України, 2 у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із списку позначень та умовних скорочень, вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновку і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації ? 121 сторінка. Список використаних джерел займає 12 сторінок та включає 99 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета й задачі дослідження, вказано на зв'язок дисертації з науково-дослідною роботою відділу рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України, де вона була виконана, відзначена новизна основних результатів, їх практичне значення, а також апробація.

У першому розділі наводиться огляд літератури по темі дисертації.

У другому розділі розглядається наступний клас нелінійних параболічних рівнянь із неоднорідною щільністю:

, (3)

,

де - довільна область в , - невід'ємна, локально інтеґровна в , функції , задовольняють умові Каратеодорі. Крім того, від коефіцієнтів (3) зажадаємо виконання наступних умов:

А₁) для деякого , тобто для довільної кулі виконується нерівність

,

де стала не залежить від й ,

А₂) Знайдеться таке, що для довільних , виконується нерівність

,

де , стала не залежить від , і ,

А₃) ,

А₄) ,

А₅) .

В умовах А₂)- А₅) , , - додатні сталі, , . Для функцій , , поставимо наступну умову

,

де

, ,

, , , .

Усюди далі величини , , , , , , , , , , , будемо називати параметрами рівняння (3).

Зауваження 1. Умови А₁), А₂) задають досить широкий клас функцій. Зокрема, якщо функція задовольняє добре відомій умові

, (4)

то безпосередньо можна перевірити, що

, тобто виконана умова А₁),

виконано умову А₂).

У свою чергу, як легко бачити, умову (4) задовольняє наприклад, функція при , , , якщо і , якщо . гельдер квазілінійний параболічний

Визначення 1. Будемо казати, що є узагальненим розв'язком (або просто розв'язком) рівняння (3) в , якщо

,

і для будь-якої компактної області й довільних виконано інтегральну тотожність

для будь-якої пробної функції такої, що

, .

Нехай - параболічна межа циліндра .

Основний результат другого розділу дисертації містить у собі наступна

Теорема 1. Нехай - локально обмежений слабкий розв'язок рівняння (3) і виконані умови А₁)- А₅). Тоді знайдуться сталі та такі, що для довільної компактної області й будь-якої пари точок справедливо

.

Тут постійна Гельдера залежить від параметрів рівняння, відстані від D до межі , норми і , а показник залежить лише від параметрів рівняння, норми і .

Якщо , то не залежить від .

У підрозділі 2.1 викладаються допоміжні твердження (вагові аналоги класичних нерівностей і властивості функцій, що задовольняють умовам А₁), А₂)), які є необхідними для доказу теореми 1.

У підрозділі 2.2 доводиться теорема 1.

У третьому розділі дисертації знайдено умови існування й неіснування невід'ємних розв'язків наступної задачі:

, (5)

, , ,

, . (6)

На показники, коефіцієнти й початкову функцію задачі (5), (6) накладаються наступні обмеження:

, , , (7)

або , , (8)

, . (9)

Введемо поняття узагальненого розв'язку, для чого помітимо, що задача (5), (6) припускає еквівалентний запис

,

,

де , , .

Визначення 2. Будемо казати, що є узагальненим розв'язком (або просто розв'язком) задачі (5), (6) в , якщо

, , ,

при

і виконана інтегральна тотожність

для довільної пробної функції .

Введемо позначення

, , ,

, .

Умови глобальної розв'язності задачі (5), (6) містяться в двох наступних теоремах.

Теорема 2. Нехай або , , і

,

де й - досить мале число, що залежить лише від параметрів рівняння.

Тоді задача (5), (6) має глобальний за часом розв'язок й справедливі оцінки

,

,

де залежить лише від параметрів рівняння.

Теорема 3. Нехай , , , і

, ,

де й - досить мале число, що залежить лише від параметрів рівняння.

Тоді задача (5), (6) має глобальний за часом розв'язок й справедливі оцінки

,

,

де залежить лише від параметрів рівняння.

Зауваження 2. Отримана в теоремі 3 оцінка значно поліпшує результати Г. Рейєса й Х. Вазкеса, які досліджували рівняння (5) без джерела при й одержали оцінку розв'язку зі сталою, яка залежить від початкової функції.

Умови неіснування розв'язку в цілому за часом дає

Теорема 4. У кожному з наступних випадків

1) або , ,

2) , , ,

будь-який нетривіальний розв'язок задачі (5), (6) «вибухає» за скінченний час, тобто знайдуться значення й такі, що , і має місце співвідношення

при .

Зауваження 3. Використовуючи нерівність Гельдера, легко впевнитись у тому, що в умовах теореми 4 поряд з величиною «вибухає» будь-яка норма при .

У підрозділах 3.1 й 3.2 доводяться теореми 2 й 3 про глобальну розв'язність за допомогою методу локальних енергетичних оцінок. У підрозділі 3.3 методом множення на функцію у від'ємному степені доводиться теорема 4.

В четвертому розділі дисертації розглядається наступна задача Коші:

, (10)

, , ,

, . (11)

На показники, коефіцієнти й початкову функцію задачі (10), (11) накладаються обмеження (7)-(9).

Поняття узагальненого розв'язку задачі (10), (11) вводиться цілком аналогічно визначенню 2.

Сформулюємо умови існування глобального за часом розв'язку задачі (10), (11) для чого введемо позначення

, , .

Теорема 5. Нехай , , і

,

де й - досить мале число, що залежить лише від параметрів рівняння.

Тоді задача (10), (11) має глобальний за часом розв'язок й справедливі оцінки

,

,

,

де залежить лише від параметрів рівняння.

Умови глобальної нерозв'язності задачі (10), (11) вдається одержати для більш широкого діапазону зміни параметра , ніж у теоремі 5. Роль критичних показників Фуджити тут будуть відігравати функції й змінної , які вводяться наступним чином. Нехай , тоді при позначимо

а при

, якщо ,

Теорема 6. В кожному з наступних випадків

1) , , ,

2) ,

будь-який нетривіальний розв'язок задачі (10), (11) «вибухає» за скінченний час, тобто знайдуться значення й такі, що , і має місце співвідношення

при .

Зауваження 4. Критичний показник , що виникає у визначенні й , відіграє досить важливу роль і характеризується тим, що також, як у теоремі 6, при переході через відбувається якісна зміна деяких властивостей рівнянь із неоднорідною щільністю. Наприклад, при розв'язки мають кінцеву швидкість поширення збурень, а при збурення поширюються з нескінченною швидкістю.

Добре відомо, що при розв'язки рівняння (10) поблизу часу загострення успадковують властивості розв'язків звичайного диференціального рівняння , тобто при поводяться як . Таким поводженням поблизу часу загострення характеризуються й розв'язки рівняння (5). Однак для (10) це не має місця. У цьому випадку справедлива

Теорема 7. Нехай , - розв'язок рівняння (10), що існує при , і виконані умови

, .

Тоді для всіх справедлива оцінка

,

де залежить лише від параметрів рівняння, а показники й визначаються наступним чином

, .

У підрозділі 4.1 доводиться теорема 5. При цьому, незважаючи на певну схожість дослідження, рівняння (10) вимагає набагато більш тонких і трудомістких підходів, ніж (5). З евристичної точки зору це пов'язано з «неузгодженістю» параболічного члена із джерелом за просторовими змінними, тобто джерело не «відчуває» виродження при . Виникаючими технічними труднощами пояснюється й те, що в теоремі 5 глобальна розв'язність отримана тільки для , а випадок поки що залишається недослідженим.

У підрозділі 4.2 доводиться теорема 6. Так само, як і при доведенні теореми 4, тут використовується метод множення рівняння на функцію у від'ємному степені, однак у даній ситуації цей підхід вимагає певних змін, що пов'язано зі збіжністю інтегралів від у точці .

У підрозділі 4.3 за допомогою підходу, розробленого А.Ф.Тедеєвим і Д.Андреуччі, доводиться теорема 7.

Зауваження 5. Всі твердження, сформульовані в теоремах 2-7, узагальнюють добре відомі результати для рівнянь (5), (10) при , зокрема, отримані критичні показники , при збігаються з показником Фуджити для (5), (10) при .

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглянуто квазілінійне параболічне рівняння з неоднорідною щільністю й джерелом.

У розділі 2 встановлено локальну неперервність за Гельдером узагальнених розв'язків широкого класу нелінійних параболічних рівнянь із вимірними коефіцієнтами й неоднорідною щільністю, що задовольняють досить широким вимогам. Модельним представником такого класу є, зокрема, рівняння з подвійною нелінійністю й степеневою функцією щільності. Отриманий результат узагальнює класичні результати Е. Ді Бенедетто, М. Порціо й В. Веспрі з регулярності рівнянь, що вироджуються.

У розділі 3 досліджено задачу Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю, степеневою неоднорідною щільністю й неоднорідним джерелом. Уперше для таких рівнянь отримано умови глобального існування й неіснування за часом у термінах критичного показника типу Фуджити, який для таких рівнянь, взагалі кажучи, залежить від характеру виродження вагової функції. У випадку існування глобального розв'язку отримано точну оцінку поводження розв'язку при великих значеннях часу. Причому, для вагової функції, що досить швидко спадає на нескінченності, отримано універсальну (тобто незалежну від початкової функції) оцінку розв'язку.

У розділі 4 вивчено задачу Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю, степеневою неоднорідною щільністю й джерелом (однорідним), що істотно відрізняється від рівняння з неоднорідним джерелом, розглянутого в розділі 3, як властивостями, так і методами, що використовуються для дослідження. Тут, також було вперше отримано умови глобального за часом існування й неіснування розв'язків у термінах критичного показника типу Фуджити й точні оцінки поводження глобальних розв'язків для великих значень часу. У випадку неіснування глобального за часом розв'язку отримано універсальну оцінку поблизу часу загострення.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мартыненко А.В. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2007. - Т. 47, № 2. - C. 245-255.

2. Мартыненко А.В. О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2008. - Т. 48, № 7. - C. 1214-1229.

3. Мартыненко А.В. Регулярность решений вырождающихся параболических уравнений с неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко, А.Ф. Тедеев // УMB - 2008. - Т. 5, № 1. - C. 116-145.

4. Мартыненко А.В. Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником / А.В. Мартыненко // Труды ИПММ - 2008. - Т. 16, № 1. - с 136-151.

5. Мартыненко А.В. Режимы с обострением для квазилинейного параболического уравнения с источником и неоднородной плотностью / А.В. Мартыненко // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченої 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського. - Донецьк, ДонНУ, 2006. - С. 87-88.

6. Martynenko A.V. A Fujita type result for a quasilinear parabolic equa\-tion with a source term and an inhomogeneous density / A.V. Martynenko // Book of abstracts. International conference «Nonlinear partial differential equations». - Yalta, September 10-15, 2007. - P. 44.

АНОТАЦІЇ

Мартиненко О.В. Режими із загостренням для нелінійних параболічних рівнянь, що вироджуються, із джерелом і неоднорідною щільністю - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. -- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2008 р.

У дисертації вивчається задача Коші для параболічних рівнянь, що вироджуються, з неоднорідною щільністю й джерелом.

Для параболічних рівнянь із подвійною нелінійністю в головній частині, неоднорідною щільністю й степеневим джерелом (як однорідним, так і неоднорідним) уперше отримано умови існування й неіснування розв'язків глобально за часом. У випадку існування глобального розв'язку отримано точну оцінку поводження розв'язку для великих значень часу. Причому, для функції щільності, що досить швидко спадає на нескінченності, отримано універсальну (тобто незалежну від початкової функції) оцінку розв'язку. У випадку неіснування глобального за часом розв'язку отримано універсальну оцінку поблизу часу загострення у випадку однорідного джерела.

Встановлено локальну неперервність за Гельдером узагальнених розв'язків широкого класу нелінійних параболічних рівнянь із вимірними коефіцієнтами й неоднорідною щільністю.

Ключові слова: задача Коші, двічі нелінійні параболічні рівняння, що вироджуються, неоднорідна щільність, режим із загостренням, проблема Фуджити, степеневе джерело, неперервність за Гельдером.

Мартыненко А.В. Режимы с обострением для нелинейных вырождающихся параболических уравнений с источником и неоднородной плотностью - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2008.

В диссертации изучается задача Коши для параболических вырождающихся уравнений с неоднородной плотностью и источником. Рассмотрены вопросы, связанные с глобальной разрешимостью, регулярностью и поведением решений при больших значениях времени.

Для уравнений с двойной нелинейностью в главной части, неоднородной плотностью и степенным неоднородным источником впервые получены условия глобального существования и несуществования по времени в терминах критического показателя типа Фуджиты, который для таких уравнений, вообще говоря, зависит от характера вырождения весовой функции. В случае существования глобального решения получена точная оценка поведения решения при больших значениях времени. Причем, для функции плотности, достаточно быстро убывающей на бесконечности, получена универсальная (т.е. не зависящая от начальной функции) оценка решения.

Изучена задача Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью, степенной неоднородной плотностью и источником (однородным), которое существенно отличается от уравнения с неоднородным источником, как свойствами, так и методами, используемыми для исследования. Здесь, также впервые получены условия глобального по времени существования и несуществования решений в терминах критического показателя типа Фуджиты и точные оценки поведения глобальных решений при больших значениях времени. В случае несуществования глобального по времени решения получена универсальная оценка вблизи времени обострения.

При исследовании вышеуказанных уравнений используются различные модификации классических методов. Так для доказательства глобальной разрешимости применяется метод локальных энергетических решений, а получение условий неограниченности произвольного неотрицательного решения осуществляется при помощи метода умножения на пробную функцию в отрицательной степени.

Установлена локальная непрерывность по Гельдеру обобщенных решений широкого класса нелинейных параболических уравнений с измеримыми коэффициентами и неоднородной плотностью, удовлетворяющей достаточно общим требованиям. Модельным представителем такого класса является, в частности, уравнение с двойной нелинейностью и степенной функцией в качестве плотности. Полученный результат обобщает классические результаты Э. Ди Бенедетто, М.Порцио и В. Веспри по регулярности решений вырождающихся уравнений.

Ключевые слова: задача Коши, дважды нелинейные вырождающиеся параболические уравнения, неоднородная плотность, режим с обострением, проблема Фуджиты, степенной источник, непрерывность по Гельдеру.

Martynenko A.V. Blow up for nonlinear degenerate parabolic equations with source term and inhomogeneous density - Manuscript.

Thesis for a candidate degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.02 - differential equations. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2008.

The thesis is devoted to the study the Cauchy problem for degenerate parabolic equations with a source term and inhomogeneous density.

The conditions of existence and nonexistence of global in time solutions to the doubly nonlinear parabolic equations with inhomogeneous density and power source term (inhomogeneous and homogeneous as well) were found for the first time. In case of the global in time solvability sharp estimates of solutions for a large time were obtained. Moreover, these estimates are universal (i.e. independent of the initial function) provided the density decreases fast enough at infinity. In the blow up case the estimate of solutions near the blow up time was obtained.

The local Hцlder continuity of generalized solutions to a wide class of nonlinear parabolic equations with measurable coefficients and inhomogeneous density was established.

Keywords: Cauchy problem, doubly nonlinear degenerate parabolic equation, inhomogeneous density, blow up, Fujita problem, power source, Hцlder continuity.

Размещено на Allbest.ru