Геометричні властивості функторів в асимптотичній категорії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики НАН України

УДК 515.12

01.01.04 - геометрія і топологія

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ГЕОМЕТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКТОРІВ В

АСИМПТОТИЧНІЙ КАТЕГОРІЇ

Шукель

Оксана Богданівна

Київ

2009



ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана на кафедрі геометрії і топології

Львівського національного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

декан механіко-математичного факультету

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Протасов Ігор Володимирович,

провідний науковий співробітник кафедри дослідження операцій

Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

кандидат фізико-математичних наук,

Максименко Сергій Іванович,

старший науковий співробітник відділу топології

Інституту математики НАН України.

Захист відбудеться "16" березня 2010 р. о 15 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради - Д 26.206.03

в Інституті математики НАН України

за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3; тел. 234-51-50.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці

Інституту математики НАН України (м. Київ, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий "2" лютого 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Сергейчук В. В.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Асимптотичні властивості метричних просторів вперше почали розглядатись у відомій статті М. Громова [G1], в якій, зокрема, означено поняття асимптотичного виміру метричного простору. Як показано в [G1], асимптотичний вимір є квазіізометричним інваріантом і, як наслідок, асимптотичний вимір скінченнопородженої групи в метриці слів не залежить від вибору системи твірних. Праця М. Громова лягла в основу геометричної теорії груп і дала початок розвитку цього напрямку.

Асимптотичні, або макроскопічні, властивості метричних і, більш загально, грубих просторів у сенсі Дж. Роу [R1] є дуальними до локальних властивостей, що є предметом дослідження загальної (теоретико-множинної) топології. Зростання активності в напрямку вивчення асимптотичних властивостей відбулося за останні два десятиліття. Актуальність поняття грубої структури виявляється, зокрема, в тому, що воно природно виникає в різних областях математики: функціональному аналізі [R1, SY], метричній геометрії [RO], загальній топології [GR], теорії груп [G1] та комбінаториці [PR]. В останньому випадку поняття грубої структури тісно пов'язане з кульовими структурами, означеними І. Протасовим [PC]. Поняття кульової структури є далеким узагальненням поняття метричного простору і дозволяє одночасно поєднати інфінітизимальні та асимптотичні властивості. Кульовим структурам та їх властивостям присвячено багато праць і, зокрема, монографію [PZ].

Важливість розгляду асимптотичних інваріантів груп, метричних та грубих просторів і кульових структур особливо виявляється на прикладі асимптотичної теорії виміру. Так, для груп скінченного асимптотичного виміру доведено гіпотезу Новикова про вищі сигнатури [YU] та ряд інших гіпотез.

Теорія асимптотичного виміру інтенсивно розвивається в різних напрямках. Зокрема, поряд з асимптотичним виміром Громова запроваджено великий [DD] і малий [DZ] індуктивний асимптотичний вимір. Одним з головних результатів асимптотичної теорії виміру є рівність згаданих трьох вимірів (у скінченному випадку). Крім того, А. Дранішніков та М. Зарічний [DZ] довели існування універсального простору для просторів асимптотичного виміру (аналог універсального -вимірного компакта Менгера та універсального простору Небелінга). У теорії асимптотичного виміру, крім названих М. Громова, А. Дранішнікова та М. Зарічного працюють вітчизняні та зарубіжні математики Є. Дидак, Х. Ігес, Дж. Сміт, Г. Белл, Т. Радул та інші.

Водночас тема дисертації пов'язана з геометричними аспектами теорії функторів у топологічних категоріях. Основи загальної теорії функторів у категорії компактів заклав Є. Щепін (1981); він запровадив поняття нормального функтора в категорії компактних гаусдорфових просторів та означив нормальні функтор-степені - простори вигляду (де - нормальний функтор, - метризовний компакт і ), які стали одними з основних геометричних об'єктів топології неметризовних компактів. Задачі збереження нормальними функторами та їх продовженнями на категорії тихоновських просторів деяких геометричних властивостей, зокрема виміру та властивості бути абсолютним екстензором () чи нескінченновимірним многовидом, розглядали В. Федорчук, В. Басманов, А. Чігогідзе, С. Агеєв, С. Богатий, Т. Банах, Т. Радул, М. Зарічний, І. Огородникова, О. Савченко, О. Іванов та інші автори. Так, В. Басманов одержав загальні результати про оцінку виміру просторів вигляду , де - нормальний функтор скінченного степеня, - компактний метричний простір.

Властивості деяких конкретних функторів у асимптотичних категоріях, зокрема функтора ймовірносних мір, функтора просторів вимірних відображень, степеневого функтора, розглядали А. Дранішніков та М. Зарічний. Природно виникає актуальна задача означення аналога загального поняття нормального функтора в асимптотичній категорії та дослідження властивостей збереження таким функтором різних геометричних властивостей, зокрема асимптотичних вимірів та властивості бути абсолютним екстензором.

Відзначимо також, що, узагальнюючи результати Г. Торуньчика та Дж. Веста [TW], а також М. Зарічного [ZI], В. Федорчук [FT] означив поняття цілком метризовного функтора в категорії компактних метричних просторів. Повна метризація функтора полягає у зіставленні кожній метриці на просторі метрики на просторі , яка задовольняє низку природних властивостей. Цілком закономірно виникає загальна проблема повної метризації функторів, яку можна формулювати також і в некомпактному випадку. Результати, отримані в дисертації, дають відповідь на цю проблему для випадку нормального функтора скінченного степеня в асимптотичній категорії.

Таким чином, дослідження вимірнісних властивостей метричних просторів та збереження їх (функторіальними) конструкціями в асимптотичних категоріях є актуальною задачею. Цьому напрямку відповідає тематика дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано у відповідності до завдань науково-дослідної роботи кафедри геометрії та топології Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка за темами: МТ-224Ф "Тополого-алгебраїчні структури та їх застосування" (номер держреєстрації 0104 U 002128), МГ-100Ф "Асимптотичні властивості аналітичних функцій, випадкових рядів, топологічних і алгебраїчних структур та їх застосування" (номер держреєстрації 0104 U 002127) та теми М/131-2007 "Методи нескінченно-вимірної топології в алгебрі, геометрії та аналізі" (номер держреєстрації 0107 U 010509).

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи: дослідження деяких геометричних властивостей метричних просторів, які зберігаються функторами в асимптотичних категоріях.

Об'єктом дослідження є функтори скінченного степеня, що діють в асимптотичних категоріях.

Предметом дослідження є збереження асимптотичного виміру, а також його модифікацій (асимптотичного виміру Ассуада-Наґати, -контрольованого асимптотичного виміру) та інших асимптотичних властивостей (зокрема, властивість бути абсолютним екстензором) коваріантними функторами в асимптотичних категоріях.

Завданнями дослідження є:

- для функторів скінченного степеня у категорії компактних гаусдорфових просторів та неперервних відображень означити їх аналоги в асимптотичних категоріях; при цьому одержати розв'язок загальної проблеми метризації функторів скінченного степеня;

- дослідити властивість збереження означеними функторами скінченного асимптотичного виміру та його модифікацій (виміру Ассуада-Наґати, -контрольованого виміру);

- дати верхні оцінки асимптотичного виміру просторів вигляду , де --- нормальний функтор скінченного степеня в асимптотичних категоріях;

- дослідити властивість збереження нормальними функторами абсолютних екстензорів у асимптотичних категоріях;

- встановити існування грубих вкладень асимптотично нульвимірних просторів.

Методи дослідження: у дисертацiйнiй роботi використано методи асимптотичної топології та теорії асимптотичного виміру, розвинуті в працях А. Дранішнікова, М. Громова, М. Зарічного та модифіковані автором, а також методи теорії функторів у топологічних категоріях.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше

- означено поняття нормального фінітного функтора скінченного степеня в асимптотичній категорії; розв'язано задачу метризації функторів скінченного степеня у цій категорії;

- для нормального фінітного функтора скінченного степеня доведено властивість збереження скінченних вимірів , та ;

- запропоновано асимптотично нульвимірний аналог берівського простору; наведено приклади існування та неіснування грубих вкладень гіперсиметричних степенів деяких асимптотично нульвимірних просторів (узагальненої послідовності та аналога канторової множини в асимптотичній категорії);

- показано, що функтор -симетричного степеня зберігає клас абсолютних екстензорів для класу метричних просторів скінченного асимптотичного виміру Ассуада-Наґати та скінченного асимптотичного виміру в сенсі Громова.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертації результати мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях із теорії виміру, теорії абсолютних екстензорів та в категорній топології.

Особистий внесок здобувача. Усі основні наведені у роботі результати отримані здобувачем самостійно. У спільній статті з М. Зарічним [4] та спільній статті з Т. Радулом [5] співавторам належить постановка задачі, обговорення результатів та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаціїної роботи доповідалися та обговорювалися на:

- конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені акад. Я. С. Підстригача, Львів (24 - 27 травня 2005 р.);

- міжнародній конференції "Математичний аналіз і суміжні питання", Львів (17 - 20 листопада 2005 р.);

- IV-ій літній школі з алгебри, топології, функціонального та стохастичного аналізу, Львів-Козьова (17 - 29 липня 2006 р.);

- VІ міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, м. Кам'янець-Подільський (1 - 7 липня 2007 р.);

- міжнародній конференції "Algebraic Systems and their Applications in Differential Equations and other domains of mathematics", м. Кишинев, Молдова (21 - 23 серпня 2007 р.);

- міжнародній конференції "Сучасні проблеми механіки та математики", Львів (26 - 29 травня 2008 р.);

- міжнародній конференції "Analysis and Topology", Львів (2 - 7 червня 2008 р.);

- міжнародній конференції "Нескінченновимірний аналіз і топологія", Івано-Франківськ (27 травня - 1 червня 2009 р.);

- конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. С. Підстригача, Львів (25 - 27 травня 2009 р.);

- VІI міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, м. Харків (18 - 23 серпня 2009 р.);

- науковому семінарі з топології у м. Львові (Львівський національний університет ім. Івана Франка, керівники - проф. М. Зарічний, проф. Т. Банах);

- міському алгебраїчному семінарі (Львівський національний університет ім. Івана Франка, керівник - проф. М. Комарницький);

- міському геометричному семінарі кафедри геометрії (Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, керівник - проф. О. Борисенко).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 5 наукових статтях (3 без співавторів) у виданнях, затверджених ВАК України, та 10 тезах доповідей наукових конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, поділених на підрозділи, висновків та списку використаних джерел, який займає 15 сторінок і включає 151 найменування. Загальний обсяг роботи - 127 сторінок.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Розділі 1 подано огляд літератури за темою дисертації, наведено відомості з теорії асимптотичного виміру, теорії функторів в категорії та теорії абсолютних екстензорів.

У Розділі 2 наведено необхідні означення і факти, які використовуються в дисертації: різні означення асимптотичного виміру, властивості асимптотичних вимірів, означення нормального функтора в категорії .

Розділ 3 присвячений побудові аналога поняття нормального функтора скінченного степеня, означеного Є. Щепіним у категорії компактних гаусдорфових просторів та неперервних відображень, у асимптотичних категоріях.

У підрозділі 3.1 описано конструкцію, що ставить у відповідність кожній метриці на множині метрику на множині . Основний результат підрозділу 3.1 полягає у перевірці властивостей метрики та встановленні асимптотичних аналогів деяких аксіом з означення нормального функтора.

Питання метризації загальних функторів вперше розглянуто у статті [FT], де В. Федорчук формулює аксіоматику, якій повинна підпорядковуватися метрика на просторі , для метричного простору , і означує поняття метризовного, рівномірно метризовного і цілком метризовного функторів. В основу означення цих класів функторів беруться властивості конкретних метрик:

- метрики Гаусдорфа (для функтора гіперпростору );

- метрики Фербеека (для функтора суперрозширення );

- метрика Канторовича-Рубінштейна (для функтора ймовірносних мір P).

Однак не було відомо жодної конструкції метрики для загальних функторів. У дисертації задача метризації множин вигляду розв'язується в асимптотичній категорії для фінітних нормальних функторів скінченного степеня.

В теорії функторів, розробленій Є. Щепіним [SH], коваріантний функтор називається нормальним, якщо він задовольняє наступні сім властивостей:

1. неперервний (),

2. зберігає вагу (),

3. мономорфний (тобто зберігає ін'єктивність відображень),

4. епіморфний (тобто зберігає сюр'єктивність відображень),

5. зберігає перетини (),

6. зберігає прообрази (),

7. зберігає точку і порожню множину ().



ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена вивченню деяких геометричних властивостей функторів в асимптотичній категорії. У роботі означено поняття нормального та слабко нормального фінітного функтора скінченного степеня в асимптотичній категорії. Для згаданих функторів розв'язано задачу метризації. У випадку ультраметричних просторів запропоновано модифікацію конструкції метризації, яка зберігає клас ультраметричних просторів. Для нормальних фінітних функторів скінченного степеня доведено властивість збереження скінченних вимірів , , та асимптотичного виміру лінійного типу, а саме наведено точні верхні оцінки для асимптотичних вимірів метричних просторів, що отримуються внаслідок дії таких функторів на асимптотично скінченновимірні простори. Таким чином, одержано результати, що є асимптотичним аналогом теореми Басманова про оцінку лебегового виміру в категорії .

Для функтора -симетричного степеня в дисертації наведено оригінальне доведення оцінки асимптотичного виміру, що використовує техніку ліпшицевих кообмежених відображень в рівномірні поліедри. Аналоги результатів про оцінку виміру одержано також і для асимптотичних вимірів Ассуада-Наґати та лінійного типу.

В роботі окремо досліджено функтор n-гіперсиметричного степеня в асимптотичних категоріях, описано асимптотично нульвимірний аналог берівського простору та наведено приклади існування чи неіснування грубих вкладень гіперсиметричних степенів деяких асимптотично нульвимірних просторів (узагальненої послідовності та аналога канторової множини в асимптотичній категорії).

Доведено, що функтор -симетричного степеня зберігає клас абсолютних екстензорів для класу просторів скінченного асимптотичного виміру Ассуада-Наґати та скінченного асимптотичного виміру в сенсі Громова. Отримано асимптотичний аналог класичної теореми Яворовського про збереження класу абсолютних екстензорів у класі метричних компактів.

У дисертаційній роботі використано методи асимптотичної топології та теорії асимптотичного виміру, а також методи теорії функторів в категорії компактів та інших топологічних категоріях. Результати, описані у дисертації, можуть застосовуватись у подальших дослідженнях із теорії виміру, теорії абсолютних екстензорів та в категорній топології.

Автор висловлює подяку науковому керівникові професору

М. Зарічному за пильну увагу до роботи.



ЛІТЕРАТУРА

[B1] Басманов В. Н. Размерность и некоторые функторы с конечными носителями / В. Н. Басманов // Вестник МГУ. Сер. матем. и мех. - 1981. - № 6. - С. 48-50.

[BA] Басманов В. Н. Ковариантные функторы, ретракты и размерность / В. Н. Басманов // ДАН СССР. - 1983. - Т. 271, № 5 - С. 1033-1036.

[D] Дранишников A. Н. Асимптотическая топология / A. Дранишников // УМН. - 2000. - Т. 55, № 6 (336) - С. 71-116.

[ZI] Заричный M. M. Итерированные суперрасширения / M. M. Заричный // Общая топология. М. : Изд-во МГУ. - 1986. - Т. 167. - С. 45-59.

[FT] Федорчук В. В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов / В. В. Федорчук // Извест. АН СССР. - Сер. матем. - 1990. - Т. 54, № 2. - С. 396-417.

[SH] Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов / Е. В. Щепин // УМН. - 1981. - Т. 36, № 3. - С. 3-62.

[BD] Bell G. C. Asymptotic dimension / G. C. Bell, A. N. Dranishnikov // Topology and its Applications. - 2008. - V. 155. - P. 1265-1296.

[DD] Dranishnikov A. On asymptotic inductive dimension / A. Dranishnikov // JP J. Geom. Topol. - 2001. - V. 1, № 3. - P. 239-247.

[DZ] Dranishnikov A. Universal spaces for asymptotic dimension / A. Dranishnikov, M. Zarichnyi // Topology and its Applications. - 2004. - V. 140, № 2-3. - P. 203-225.

[DS] Dranishnikov A. N. On asymptotic Assouad-Nagata dimension / A. N. Dranishnikov, J. Smith // Topology and its Applications. - 2007. - V. 154, № 4. - P. 934-952.

[H] Higes J. Theoria de la dimension en espacions metricos : MS Thesis (Dimension theory on metric spaces) J. Higes. - Departamento de Geometria y Topologia. Universidad Computense de Madrid, 2006. - 116 p.

[G1] Gromov M. Asymptotic invariants for infinite groups / M. Gromov // Geometric Group Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press. - 1993. - V. 182, № 2. - P. 1-295.

[GR] Grave A. Asymptotic dimension of coarse spaces / A. Grave // J. Math. (New York). - 2006. - № 12. - P. 249-256.

[PC] Protasov I. Combinatorial size of subsets of groups and grahps / I. Protasov. - Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т матем. НАН України. - 2002. - С. 76-85.

[PR] Protasov I. Ball Structures and Colorings of Graphs and Groups / I. Protasov, T. Banakh. - Lviv: VNTL, 2003. - V. XI. - 148 p.

[PZ] Protasov I. General Asymptology / I. Protasov, M. Zarichnyi. - Lviv: VNTL, 2007. - V. XII. - 219 p.

[R1] Roe J. Index Theory, Coarse Geometry, and Topology of Manifolds / J. Roe. - Washington, DC: Conf. Board Math. Sci. - 1996. - V. 90.

[RO] Roe J. Lectures on coarse geometry / J. Roe // Univerity Lecture series, AMS, Providence, RI. - 2003. - V. 31. - 175 p.

[SY] Skandalis G. The coarse Baum-Connes conjecture and groupoids. / G. Skandalis, J. L. Tu, G. Yu // Topology. - 2002. - V. 41, № 4. - P. 807-834.

[TW] Torunczyk H. Hilbert space limit for the iterated hyperspace functor // H. Torunczyk, J. A. West // Proc. Amer. Math. Soc. - 1983. - V. 89, № 2. - P. 329-335.

[YU] Yu G. The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension / G. Yu // Annals of Math.(2). - 1998. - V. 147, № 5. - P. 191-226.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Шукель О. Гiперсиметричнi степенi i асимптотично нульвимiрнi простори / О. Шукель // Вiсник ЛНУ. Cер. мех.-матем. - 2006. - Вип. 66. - С. 214-224.

2. Shukel' O. Funсtors of finite degree and asymptotic dimension zero / О. Shukel' // Матем. Студії. - 2008. - Т. 29, № 1. - C. 101-107.

3. Shukel' O. Asymptotic dimension of symmetric powers / O. Shukel', M. Zarichnyj // Матем. вісник НТШ. - 2008. - Т. 5. - С. 304-311.

4. Шукель О. Симетричні степені та абсолютні екстензори в асимптотичній категорії / О. Б. Шукель // Прикладні проблеми механіки та математики. - 2008. - Т. 6. - С. 91-97.

5. Radul T. Functors of finite degree and asymptotic dimension / T. Radul, O. Shukel' // Матем. Студії. - 2009. - Т. 31, № 2. - C. 204-206.

6. Шукель О. Б. Функтори скінченного степеня в категорії метричних просторів і грубі вкладення / О. Б. Шукель // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача, 24-27 травня 2005 р.: тези допов. - Львів, 2005. - C. 243-244.

7. Shukel' O. On coarse embeddings and anti-Cantor set // O. Shukel' // Analysis and related topics: International Conf., 20-24 лист. 2005 р.: abstracts - Львів, 2005. - P. 99.

8. Shukel' O. Some Geometric Properties of Functors in the Asymptotic Category / O. Shukel' // Алгебра, топологія, функціональний та стохастичний аналіз: матер. VI літн. школи, 17-29 лип. 2006 р.: тези допов. - Львів-Козьова, 2006. - С. 167.

9. Shukel' O. Functors in the asymptotic category and asymptotically zero-dimensional spaces / O. Shukel' // VI Міжнар. алгебр. конф. в Україні, 1-7 лип. 2007 р.: тези допов. - Київ-Кам'янець-Подільський, 2007. - С. 192-193.

10. Shukel' O. On asymptotic dimension of symmetric powers of metric spaces / O. Shukel'// Algebraic Systems and their Applications in Differential Equations and other domains of mathematics: International Conference, August 21-23, 2007: abstracts - Chisinau, Moldova, 2007. - P. 120-121.

11. Shukel' O. Asymptotic Assouad-Nagata dimension of symmetric powers / O. Shukel' // Сучасні проблеми механіки та математики: міжнар. конф., 26-29 трав. 2008 р.: тези допов. - Львів, 2008 . - Т. 3. - С. 219-220.

12. Shukel' O. Absolute extensors and functors in the asymptotic category / O. Shukel' // Analysis and Topology: Intern. Conference, June 2 - 7, 2008: abstracts - Lviv, 2008. - P. 65.

13. Шукель О. Б. Деякі геометричні властивості функтора симетричного степеня в асимптотичній категорії / О. Б. Шукель // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. С. Підстригача, 25-27 травня 2009 р.: тези допов. - Львів, 2009. - С. 186-188.

14. Radul T. Functors of finite degree and asymptotic dimension / T. Radul, O. Shukel' // Нескінченновимірний аналіз та топологія: міжнар. наук. конф., 27 травня - 1 червня 2009 р.: тези допов. - Івано-Франківськ, 2009. - С. 125-126.

15. Shukel' O. Asymptotic dimension of linear type and functors in the asymptotic category / O. Shukel' // International algebraic conference in Ukraine, 18-23 August 2009: Abstract of talks. - Kharkov, 2009. - P. 129-130.



АНОТАЦІЯ

Шукель О.Б. Геометричні властивості функторів в асимптотичній категорії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і топологія. - Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

Дисертація присвячена дослідженню геометричних властивостей функторів в асимптотичній категорії. Означується поняття нормального фінітного функтора скінченного степеня в асимптотичній категорії і розв'язується задача метризації множин вигляду в асимптотичній категорії для такого функтора . Доведено, що розглядуваний функтор зберігає клас метричних просторів скінченного асимптотичного виміру. Наведено оцінку асимптотичного виміру просторів вигляду .

Запропоновано приклади існування та неснування грубих вкладень гіперсиметричних степенів асимптотично нульвимірних просторів.

Доведено, що функтор -симетричного степеня зберігає клас абсолютних екстензорів для класу просторів скінченного асимптотичного виміру Ассуада-Наґати та скінченного асимптотичного виміру в сенсі Громова. фінітний асимптотичний метризація нульвимірний

Ключові слова: асимптотична категорія, нормальний функтор, метричний простір, абсолютний екстензор, асимптотичний вимір, асимптотичний вимір Ассуада-Наґати.



АННОТАЦИЯ

Шукель О. Б. Геометрические свойства функторов в асимптотической категории. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

Диссертация посвящена изучению геометрических свойств функторов в асимптотической категории. Определяется понятие нормального финитного функтора конечной степени в асимптотической категории и решается задача метризации множеств вида в асимптотической категории для такого функтора . Определенная в диссертации метрика согласуется с метрикой Хаусдорфа на гиперсимметрических степенях и совпадает с естественной метрикой на симметрических степенях метрических пространств. Для ультраметрических пространств предложена модификация конструкции метризации, которая сохраняет класс ультраметрических пространств.

Доказано, что рассматриваемый функтор сохраняет класс метрических пространств конечной асимптотической размерности. Приведена оценка асимптотической размерности пространств вида . Полученные результаты переносятся на асимптотические размерности Ассуада-Нагаты и линейного типа. В случае функтора -симметрической степени приводится доказательство оценки асимптотической размерности, которое использует технику липшицевых коограниченных отображений в равномерные полиэдры.

Полученные результаты являются асимптотическим аналогом теоремы Басманова об оценке лебеговой размерности в категории компактов и непрерывных отображений.

Отдельно рассматривается функтор гиперсимметрической степени и его свойства в асимптотической категории. Доказано, что функтор является нормальным функтором в категориях Дранишникова и Роу. Приводится пример пространства нулевой асимптотической размерности, которое можно рассматривать как асимптотический аналог пространства Бэра. Рассматривается вопрос сохранения грубых вложений для функтора . Приводятся примеры существования и несуществования грубых вложений пространств нулевой асимптотической размерности.

Доказано, что функтор -симметрической степени сохраняет класс абсолютных экстензоров для класса пространств конечной асимптотической размерности Ассуада-Нагаты и конечной асимптотической размерности в смысле Громова. Этот результат является асимптотическим аналогом теоремы Яворовского о сохранении класса абсолютных экстензоров в классе метрических пространств.

Ключевые слова: асимптотическая категория, нормальный функтор, метрическое пространство, абсолютный экстензор, асимптотическая размерность, асимптотическая размерность Ассуада-Нагаты.



ABSTRACT

Shukel' O. B. Geometric properties of functors in the asymptotic category. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Science degree on the speciality 01.01.04 - geometry and topology. - Institute of Mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2009.

The thesis is devoted to the investigation of geometric properties of functors in the asymptotic category. The notion of normal finite functor of finite degree in the asymptotic category is defined and the problem of metrization of spaces of the form for such a functor is solved. It is proved that the considered functor preserves the class of metric spaces of finite asymptotic dimension. An estimate is given for the asymptotic dimension of the spaces of the form .

It is proved that the functor of -symmetric power preserves the class of spaces of absolute extensors for the class of spaces of finite asymptotic Assouad-Nagata dimension and the finite asymptotic dimension in the sense of Gromov.

Key words: asymptotic category, normal functor, metric space, absolute extensor, asymptotic dimension, asymptotic Assouad-Nagata dimension.

Підписано до друку 16.12.2009 р. Формат 6090/16.

Папір офсетний. Ум. друк. арк. 1. Тираж 100. Зам. № 412.

Видавничий центр ЛНУ ім. Ів. Франка. 79000 Львів, вул. Дорошенка, 41.

Размещено на Allbest.ru