Математический анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО Уральский государственный экономический университет

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

По дисциплине: «Математический анализ»

Вариант№4

Выполнил студент:

УК-14 Юг учебной группы

Таданов Дмитрий Федорович

2015 год



Задание 1. (тема 1) Пределы функции

интеграл сходимость даламбер дифференциальный

а)

Решение:

,

т.к. максимальная степень х в числители 2 (х²

b)

Решение:

Неопределенность вида 0/0

c)

Решение:

Неопределенность вида (1^?). Используем второй замечательный предел

Задание 2. (тема 3) Исследование функций

y = x² + x

1. Найдем область определения функции (-?; +?)

2. Исследуем на четность функцию

y (-x) = (-x)2 + (-x) = x2 - x.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. y (-x) ? y (x), y (-x) ? -y (x)

3. Находим вертикальные асимптоты к графику функции. Точек разрыва нет, поэтому вертикальной асимптоты нет.

4. Исследуем поведение функции на бесконечности

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции



y' = (x² +x)'= 2x +1

y' = 0 если 2x +1 =0, 2х = -1, х = - критическая точка

Производная меняет знак с “-” на “+”, значит при х =- будет минимум функции.

y _min = y ( =

y _min

6. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции, для этого вычислим вторую производную

y” = (2х +1)' = (2x)' + (1)' = 2

При любых х у” > 0, следовательно функция выпукла вниз.

7. Находим точки пересечения с осями координат.

Полагаем х = 0, тогда у = 0,Y = 0, тогда х2 + х = 0 х = 0 или х = -1

8. Строим график

Дополнительные точки (-2;2) (1;2)

Задание 3. (тема 4) Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование ;

б) замены переменной dx;

в) интегрирование по частям .

Решение а:

Решение б:

Пусть

Продифференцируем

,

3 x^-1-1 dx=dt

Решение в:

Воспользуемся формулой

Пусть

du=d(4-x)

du=-dx

v=



Задание 4. (тема5) Определенный интеграл

4.1 вычислить определенный интеграл

Воспользуемся формулой

Пусть ln x = u, тогда

dv=x²dx,

d(ln x)=du

4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

Ответ: S

Задание 5. (тема 6) Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость

а) ,

Интервал сходится

б)

Интеграл от разрывной функции х= -2

Несобственный интеграл II рода площадь высокой криволинейной трапеции

Интеграл сходится

Заданием 6. (тема 7) Ряды

6.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость

Решение

Воспользуемся признаком Даламбера



U_n =(n+1)*0,8ⁿ

U_n+1 = (n+1+1)*0,8ⁿ⁺¹=(n+2)*0,8ⁿ⁺¹

Ряд сходится по признаку Даламбера.

6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда

Решение

Данный ряд сходится к области

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости при х=-9; получаем ряд

Знакочередующийся ряд сходится по принципу Лейбница.

При х=-1

Ответ:

Задание 7. (тема8) Функции нескольких переменных

Исследовать функцию двух переменных на экстремум:

1) Найдем частные производные

2) Решим систему и найдем критические точки

х=0, у - любое у2

Ответ:

Задание 8 (тема 9) Решение дифференциальных уравнений

8.1 Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

Решение:

Проинтегрируем уравнение с разделенными переменными.

Произвольную, постоянную запишем тоже в виде логарифма, для удобства.

Знак «-»: -ln



Найдем постоянную интегрирования С, используя начальные уравнения:

8.2 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Решение: однородное уравнение

Решение уравнения ищем в виде:

Т.к искомая функция имеет вид , то получим 2 частных решения

Эти частные решения можно заменить следующими

Уравнение будет иметь вид

Находим частные решения

Подставляем в *

Ответ:

Размещено на Allbest.ru