Розподіл деяких функціоналів від поля Ченцова

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Розподіл деяких функціоналів від поля Ченцова

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Круглова Наталія Володимирівна

Київ - 2010

Анотація

Круглова Н.В. Розподіл деяких функціоналів від поля Ченцова. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

У дисертації знайдено точний розподіл максимуму поля Ченцова на ламаних з точками злому.

Узагальнено перетворення Дуба на випадок гауссівських полів.

Розглянуто ймовірності, пов'язані зі звуженням -вимірного поля Ченцова на поверхні. Досліджено розподіл максимуму поля Ченцова на кривих.

Знайдено оцінки ''хвоста'' розподілу максимуму поля Ченцова на ламаній з однією точкою злому. Досліджено асимптотичну поведінку розподiлу максимуму поля Ченцова на ламаних з точками злому. Показано, що асимптотика залежить від розміщення точок злому.

Ключові слова: поле Ченцова, розподiл максимуму, гауссiвський процес.

гауссівський поле ченців теорема

Аннотация

Круглова Н.В. Распределение некоторых функционалов от поля Ченцова. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2010.

Задача нахождения распределения максимума поля Ченцова на единичном квадрате до сих пор не решена. Поэтому исследование распределений максимума сужения поля Ченцова на некоторые множества и нахождение оценок таких распределений интересовали многих специалистов в области случайных процессов. Подобными задачами занимались С. Парк и С. Параньяп, Д. Скоуг, В.И. Питербарг, И.И. Клесов.

В основном, рассматривалось сужение поля Ченцова на ломаные с одной точкой излома, которая находится выше прямой, соединяющей точки (0,1) и (1,0).

В диссертации найдено точное распределение максимума поля Ченцова на ломаных с точками излома. Решена задача о нахождении точного распределения максимума поля Ченцова с линейным сдвигом на ломаных с точками излома.

Обобщены преобразования Дуба на случай гауссовских полей.

Рассмотрены вероятности, связанные с сужением -мерного поля Ченцова со сдвигом на поверхности. Исследована задача нахождения распределения максимума поля Ченцова на кривых.

Найдены оценки «хвоста» распределения максимума поля Ченцова на ломаной с одной точкой излома. Исследовано асимптотическое поведение распределения максимума поля Ченцова на ломаных с точками излома. Показано, что асимптотика зависит от расположения точек излома.

Исследован интеграл от поля Ченцова по кривой.

Ключевые слова: поле Ченцова, распределение максимума, гауссовский процесс.

Abstract

Kruglova N.V. On the distribution of some functionals of the Chentsov random field. -- Manuscript.

The thesis is for obtaining a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2010.

In this thesis exact distribution of the maximum of the Chentsov field on polygonal lines with several points of break is investigated.

Doob's transformations on the case of the Gaussian fields are generalized.

The probabilities connected with the restriction of the - dimensional Chentsov field on a surface are considered. Distribution of the maximum of the restriction of the Chentsov field on curves is investigated.

Estimations of the tail of distribution of the maximum of the Chentsov field on polygonal line with one point of break are found. It is investigated asymptotic behaviour of distribution of the maximum of the Chentsov field on polygonal lines. It is proved, that asymptotic behaviour depends on the location of points of break.

Key words: Chentsov random field, distribution of the maximum, Gaussian process.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Широке практичне застосування набули розподiли функцiоналiв вiд вiнерiвського процесу. На сучасному етапi розвитку теорiї гауссiвських процесiв iнтенсивно дослiджуються вiнерiвськi поля. Теорiя гауссiвських випадкових процесiв та полів була створена у роботах багатьох фахiвцiв, серед них Н. Вінер, П. Леві, Дж. Дуб, К. Ферник, С. Берман, І.А. Iбрагiмов, Ю.А. Розанов, А.В. Скороход, Ю.К. Бєляєв, М.Й. Ядренко, М.М. Ченцов, В.І. Пiтербарг, В.В. Булдигiн, Ю.В. Козаченко та iншi.

Розподіл максимуму поля Ченцова на - вимірних кубах є важкою та досі не розв'язаною задачею. Тому цікавою є також задача знаходження максимуму звуження поля Ченцова на певні множини. C. Парк i C. Параньяп одержали розподiл супремуму двопараметричного поля Ченцова на ламаних з однiєю точкою злому. Це дозволило знайти нижню оцінку для розподiлу супремуму по всьому квадрату.

І.І. Клесов досліджував задачу знаходження максимуму звуження поля Ченцова зі зсувом на ламаних з однією точкою злому. Для інших множин аргументів задача знаходження точного розподілу максимуму практично не розглядалась.

Основним завданням дисертацiйної роботи є дослiдження розподiлу максимуму поля Ченцова на кривих i поверхнях та знаходження точного розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних з довільною кількістю точок злому. Результати роботи узагальнюють результати, отриманi Дж. Дубом, С. Парком i С. Параньяпом та І.І. Клесовим.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної теми №2200Ф кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей фізико-математичного факультету Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут" ”Дослiдження актуальних проблем теорiї випадкових процесiв, математичного аналiзу та крайових задач математичної фiзики” (номер державної реєстрації № 0109U001227).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є дослідження властивостей поля Ченцова, зокрема, знаходження розподілів функціоналів від поля, вивчення асимптотичної поведінки таких розподілів. Основними задачами дисертаційної роботи є:

· знаходження розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних і кривих;

· дослідження ймовірностей, пов'язаних зі звуженням поля Ченцова на поверхні;

· узагальнення перетворень Дуба;

· дослідження асимптотичної поведінки розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних.

Об'єктом дослідження є двопараметричне поле Ченцова.

Предметом дослідження є розподіл максимуму поля Ченцова на ламаних, кривих i поверхнях та асимптотична поведінка розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних.

Методика дослідження. У роботi використано методи стохастичного аналізу, запропонованi Дж. Дубом, С. Парком i С. Параньяпом. При дослiдженнi асимптотики застосовано методи В.І. Пiтербарга i В.Р. Фаталова.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі отримані результати є новими. Основні результати, отримані у дисертаційній роботі такі:

- знайдено точний розподiл максимуму поля Ченцова на ламаних з n точками злому;

- дослiджено задачу знаходження розподiлу максимуму звуження поля Ченцова зi зсувом на поверхню та на криві;

- узагальнено перетворення Дуба на випадок полiв, теорему Парка і Параньяпа про розподіл звуження поля Ченцова на ламані з однією точкою злому;

- наведено асимптотичну формулу «хвоста» розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних з n точками злому, знайдено оцінки розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних з однією точкою злому;

- досліджено інтеграл від поля Ченцова по кривій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отриманi в дисертацiї, мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосованi в рiзних галузях природничих та соцiальних наук, зокрема, у теорiї турбулентностi, метеорологiї, гiдрологiї, геофiзицi, радiофiзицi, економiцi, фiнансах, статистицi та iнших галузях, в яких використовуються методи теорiї випадкових процесiв.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував чотири роботи в фахових виданнях, дві з яких разом з науковим керівником професором Клесовим О.І., в яких Клесову О.І. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Дві роботи опубліковані автором самостійно.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах:

· кафедри математичного аналiзу та теорiї ймовiрностей фiзико-математичного факультету Нацiонального технiчного унiверситету України "Київський полiтехнiчний iнститут" (м.Київ, 2007 р., 2008 р., 2009 р.);

· кафедри теорiї ймовiрностей, статистики та актуарної математики механiко-математичного факультету Київського Нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (м.Київ, 2010 р.);

· вiддiлу теорiї випадкових процесiв Iнституту математики НАН України (м.Київ, 2010 р.);

· кафедри теоретичної та прикладної статистики механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, 2010),

а також на наукових конференціях:

· International conference "Skorokhod Space. 50 years on" (м. Київ, 17-23 червня, 2007);

· XII мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (м.Київ, 15-17 травня, 2008 р.);

· Конференцiя "Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та сумiжнi питання на честь 90-рiччя з дня народження Йосипа Iллiча Гiхмана (1918-1985)"(м. Умань, 24-26 травня, 2008 р.);

· "Мiжунiверситетська наукова конференцiя з математики та фiзики для студентiв та молодих вчених" (м.Київ, 21-22 травня, 2009 р.);

· International conference "Stochastic Analysis and Random Dynamics"(м. Львів, 14-20 червня, 2009);

· XIII мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (м.Київ, 13-15 травня, 2010 р.).

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, визначено об'єкт, предмет, мету та задачі дослідження; висвітлено методи, наукову новизну, теоретичне та практичне значення дослідження, особистий внесок здобувача, апробацію отриманих результатів.

В огляді літератури висвітлено деякі результати щодо схожих проблем за тематикою даної роботи та споріднених питань.

В першому розділі наведено означення і теореми, що використовуються при доведенні основних результатів.

Позначимо .

Означення 1.8 Дійсне сепарабельне гауссівське поле називається полем Ченцова, якщо воно задовольняє такі умови:

1) якщо і , то ;

2) для всіх ;

3) для всіх та .

В другому розділі знайдено точний розподіл максимуму поля Ченцова на ламаних з точками злому (теореми 2.2, 2.5), розв'язано задачу знаходження максимуму звуження поля Ченцова на ламану з однією точкою злому на прямокутнику (теорема 2.4). Знайдено точний розподіл максимуму поля Ченцова зі зсувом на ламаних (теорема 2.3). Показано, що результати теореми Парка і Параньяпа є частинним випадком теореми 2.2 при (наслідок 2.1). Розглянуто приклади застосування теореми 2.4, що відповідають різноманітним розташуванням точки злому.

Нехай

Розглянемо кусково-лінійну функцію

де - індикаторна функція інтервала . Нехай ламана має точок злому з координатами відповідно та задається рівнянням:

Теорема 2.2 Нехай - це поле Ченцова на одиничному квадраті. Нехай ламана має точок злому з координатами відповідно та задається рівнянням (14). Нехай координати цих точок задовольняють умови (11)-(12). Позначимо Нехай . Тоді для будь-якого

де - щільність гауссівського розподілу з параметрами та .

Позначимо , .

Теорема 2.3 Нехай - це поле Ченцова на одиничному квадраті, . Нехай ламана має точок злому з координатами відповідно та задається рівнянням (14). Нехай координати цих точок задовольняють умови (11)-(12). Позначимо Нехай . Тоді

де - щільність гауссівського розподілу з параметрами та .

Розглянемо прямокутник і ламану , яка задається рівнянням (17).

Теорема 2.4 Нехай - це поле Ченцова на прямокутнику. Нехай ламана має одну точку злому з координатами та задається рівнянням (17). Тоді

Нехай

Теорема 2.6 Нехай це стандартне поле Ченцова на одиничному квадраті. Нехай ламана має точок злому з координатами відповідно і починається з точки , закінчуючись в точці . Нехай координати цих точок задовольняють умови (22)-(23). Позначимо Нехай . Тоді

де - щільність гауссівського розподілу з параметрами та .

В третьому підрозділі другого розділу знаходяться точні розподіли звуження поля Ченцова на ламані з однією точкою злому. Розглянуті задачі не досліджувалися попередниками.

В четвертому підрозділі другого розділу знайдено математичне сподівання і дисперсію максимуму звуження поля Ченцова на ламані з однією точкою злому.

У першому підрозділі третього розділу досліджується задача знаходження розподілу максимуму звуження поля Ченцова на криві. Докладно вивчається випадок трипараметричного поля (теорема 3.1), а потім результати узагальнюються на випадки поля більшої розмірності (теорема 3.2). Розглянуто приклади використання теорем, що відповідають різним видам кривих.

Розглянемо криву в , задану рівняннями:

Функції - неперервні на інтервалі , причому , , . Позначимо через звуження поля на криву .

Лема 3.3 Нехай звуження поля Ченцова на криву , задану рівняннями.

1) Нехай функції ,, такі, що для деякого функції зростають, а функції не зростають. Тоді для , де і .

2) Нехай всі функції зростають.

Тоді для , де і .

3) Нехай всі функції спадають.

Тоді для , де і .

Лема 3.4 Припустимо, що виконуються умови леми 3.3. Нехай - неперервна строго монотонно зростаюча функція, де і визначені у лемі 3.3. Позначимо через обернену до функцію. Тоді випадкові процеси і стохастично еквівалентні.

Теорема 3.2 Припустимо, що виконуються умови лем 3.3 та 3.4. Нехай - - параметричне поле Ченцова на , а крива задана рівняннями (38). Нехай функції , , , такі самі, як у лемах 3.3 та 3.4. Позначимо , . Тоді

В другому підрозділі третього розділу узагальнено перетворення Дуба на випадок полів. Розглянуто задачу знаходження розподілу максимуму звуження поля Ченцова зі зсувом на поверхню (теорема 3.3). Наведено приклади використання теореми.

Лема 3.5 Нехай - це гауссівське випадкове поле з для всіх , і такою коваріаційною функцією:

для всіх : Нехай функції зростаючі і неперервні для всіх . Якщо обернена до , , функція, тоді поле



стохастично еквівалентне - параметричному полю Ченцова .

Лема 3.6 Нехай - це гауссівське випадкове поле з для всіх , і такою коваріаційною функцією:

для всіх : Нехай функції спадаючі і неперервні для всіх . Якщо обернена до , , функція, тоді поле

стохастично еквівалентне - параметричному полю Ченцова .

Нехай функції такі, що для всіх , виконуються нерівності:

,

і зберігається рівність:

де , - деякі незростаючі функції. Позначимо і , . Позначимо , де і . Нехай - це -параметрична поверхня , , що задається рівняннями:

де , для всіх .

Теорема 3.3 Нехай - це стандартне випадкове поле Ченцова на одиничному квадраті . Позначимо звуження деякої неперервної функції на поверхню через . Якщо для всіх існують обернені функції до функції , тоді

В третьому підрозділі третього розділу розглядається криволінійний інтеграл від функцій від поля Ченцова.

У четвертому розділі досліджується асимптотична поведінка максимуму поля Ченцова на ламаних.

В першому підрозділі четвертого розділу знайдено оцінки «хвоста» розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних з однією точкою злому (теорема 4.1), наведено асимптотичну формулу (наслідок 4.1). В теоремі 4.2 представлено узагальнення цих результатів на випадок ламаних з декількома точками злому.

Теорема 4.1 Нехай - це стандартне поле Ченцова на одиничному квадраті, а ламана має одну точку злому з координатами , при чому і . Позначимо області в :

1) Якщо , тоді

де

2) Якщо , тоді

3) Якщо , тоді

Наслідок 4.1

1) Якщо , тоді

(40)

2) Якщо , тоді

(41)

3) Якщо , тоді

(42)

де константи , , , , , визначені у теоремі 4.1.

Для позначимо через , , гауссівський процес з наступними властивостями:

1) для всіх ;

2) для всіх .

Позначимо:



Теорема 4.2 Нехай - це поле Ченцова на одиничному квадраті і ламана має точок злому ,..., с координатами відповідно. Припустимо, що координати точок злому задовольняють умови теореми 2.2. Позначимо умови:

а протилежну їй умову

Позначимо

Позначимо області



Нехай , .

Тоді

при .

В другому підрозділі четвертого розділу досліджується асимптотична

поведінка розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних з однією точкою злому при малих відхиленнях.

Висновки

В роботі знайдено точний розподіл максимуму поля Ченцова на ламаних з точками злому. Досліджено різні випадки розміщення точок злому. Узагальнено теорему С. Парка і С. Параньяпа про розподіл максимуму поля Ченцова на ламаних з однією точкою злому.

Узагальнено теорему І. І. Клесова про розподіл максимуму поля Ченцова з лінійним зсувом на ламаних з однією точкою злому на випадок ламаних з точками злому.

Узагальнено перетворення Дуба на випадок гауссівських полів.

Досліджено ймовірності, пов'язані зі звуженням -вимірного поля Ченцова на поверхні. Досліджено розподіл максимуму поля Ченцова на кривих.

Знайдено оцінки ''хвоста'' розподілу максимуму поля Ченцова на ламаній з однією точкою злому. Досліджено асимптотичну поведінку розподiлу максимуму поля Ченцова на ламаних. Показано, що асимптотика залежить від розміщення точок злому.

Досліджено інтеграл від поля Ченцова по кривій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Клесов О.І. Розподiл функцiоналiв типу максимуму для двопараметричного поля Ченцова./ О. І. Клесов, Н. В Круглова// Науковi вiстi НТУУ "КПI". - 2007. - № 4. - с. 136-141.

2. Клесов О. І. Розподiл функцiоналiв типу максимуму для поля Ченцова в / О. І. Клесов, Н. В Круглова // Науковi вiстi НТУУ "КПI". - 2007. - № 6. - с. 145-150.

3. Kruglova N.V. Distribution of the maximum of the Chentsov random field/ N.V. Kruglova// Theory of Stochastic Processes. - 2008. -№ 1. - p.76-81.

4. Круглова Н. В. Асимптотична поведінка розподілу максимуму поля Ченцова на ламаних/ Н. В. Круглова// Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2009. - № 81. - с. 88-101.

5. Klesov O.I Distribution of the maximum of the Chentsov random field/ O.I Klesov, N.V. Kruglova// materials of the International Conference |"Skorokhod Space. 50 years on"|, (17-23 June, 2007) / Institute of Mathematics of National academy of Sciences of Ukraine. - Kyiv, Ukraine, 2007. - P. 122.

6. Клесов О. І. Розподіл максимуму звуження поля Ченцова на криву/ О. І. Клесов, Н. В. Круглова// матеріали конференції |"Сучасні проблеми теорії ймовірностей та суміжні питання. На честь 90-річчя з дня народження Йосипа Ілліча Гіхмана (1918-1985)"|, (24-26 травня 2008 р.) / Донецький національний університет. - Донецьк, 2008. - C. 37.

7. Круглова Н.В. Розподіл максимуму звуження на поверхню поля Ченцова./ Н.В. Круглова// матеріали |"Дванадцятої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука"|, (15-17 травня 2008 р.) Т. 2. / Національний технічний університет України «КПІ». - Київ: ТОВ «Задруга», 2008. - C. 77.

8. Круглова Н.В. Асимптотична поведінка звуження поля Ченцова на ламані./ Н.В. Круглова// матеріали |"Міжуніверситетської наукової конференції з математики та фізики для студентів та молодих вчених"|, (21-22 травня 2009 р.) / Національний технічний університет України «КПІ». - Київ, 2009. - C. 28.

9. Kruglova N.V. On the asymptotic behavior of the restriction of the Chentsov random field/ N.V. Kruglova// materials of the International Conference |"Stochastic Analysis and Random Dynamics"|, (June 14-20) / Institute of Mathematics of National academy of Sciences of Ukraine. - Kyiv, Ukraine, 2009. - P. 128.

10. Круглова Н.В. Асимптотична поведінка розподілу поля Ченцова на ламаних./ Н.В. Круглова// Матеріали |"Тринадцятої міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука"|, (13-15 травня 2010 р.) Т. 3. / Національний технічний університет України «КПІ». - Київ, НТУУ, 2010. - C. 66.

Размещено на Allbest.ru