Граничні результати для випадкових рекурентних співвідношень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ГРАНИЧНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДЛЯ ВИПАДКОВИХ РЕКУРЕНТНИХ СПІВВІДНОШЕНЬ

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

Негадайлов Павло Анатолійович

Київ - 2010

Aнотація

Негадайлов П.А. Граничні результати для випадкових рекурентних співвідношень. - Рукопис. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.05 - теорiя ймовiрностей i математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

Робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки розв'язків рекурентних співвідношень з випадковими індексами, що природним чином виникають в трьох різних математичних моделях.

В роботі досліджена асимптотична поведінка моменту поглинання та числа нульових стрибків (до поглинання) у випадковому блуканні з бар'єром. Досліджені основні характеристики моделі граток Бернуллі, а саме: встановлений критерій існування граничного розподілу для певним чином нормалізованої та центрованої послідовності, що описує номер останнього зайнятого інтервалу, доведений (при додаткових моментних припущеннях) аналогічний результат для числа зайнятих інтервалів, знайдена асимптотична поведінка числа порожніх інтервалів та числа точок в останньому зайнятому інтервалі. Знайдена асимптотична поведінка хвоста розподілу супремума регулярного мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням. Встановлена швидкість росту величин для нерегулярних мартингалів.

Ключовi слова: випадкові блукання з бар'єром, гіллясте випадкове блукання, мартингал, гратка Бернуллі, рекурентні співвідношення з випадковими індексами.

Aннотация

Негадайлов П.А. Предельные результаты для случайных рекуррентных соотношений. - Рукопись. Дисертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 --- теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2010. Работа посвящена исследованию асимптотического поведения решений рекуррентных соотношений со случайными индексами, которые естественным образом возникают в трех разных моделях.

В работе исследовано асимптотическое поведение моментов поглощения случайного блуждания с барьером. В зависимости от распределения шага случайного блуждания в качестве граничных распределений возникают нормальное распределение, устойчевые распределения, а также распределение экспоненциального интеграла от субординатора. В случае конечного среднего шага случайного блуждания доказан критерий существования предельного распределения для соответствующим образом нормализованной и центрированной случайной величины. При условии, что распределение принадлежит области притяжения устойчивого закона с параметром, найдены первые два члена асимптотического разложения первого и второго моментов, а также асимптотику дисперсии времени поглощения случайного блуждания с барьером. В работе также найдено асимптотическое поведение числа нулевых приростов (до момента поглощения) в случайном блуждании с барьером. В частности, в случае конечного среднего величины доказана слабая сходимость (без нормализации) . В случае, когда шаг случайного блуждания имеет бесконечное среднее, доказан слабый закон больших чисел для этой же последовательности. Хотя полученные результаты носят в основном теоретический характер, в работе рассмотрены примеры практического применения модели случайного блуждания с барьером и описаных выше функционалов.

Следующей схемой, которая рассматривается в работе, является модель решеток Бернулли, которая была введена А. Гнединым в 2004г. Интерес к этой модели объясняется ее связями со случайными композициями, цепями Маркова, которые не возростают, проблемой выбора лидера и другими схемами, которые встечаются в литературе. В этом контексте были исследованы основные характеристики модели, в частности найден (без дополнительных ограничений на распределение шага случайного блуждания) критерий существования предельного распределения для определенным образом нормализованной и центрированной последовательности, которая описывает номер последнего занятого интервала. Доказан (при дополнительных моментных условиях) аналогичный результат для количества занятых интервалов. Найдено асимптотическое поведение числа пустых (до последнего занятого) интервалов и количества точек в последнем занятом интервале. Среди остального, при дополнительных моментых условиях, был установлен более тонкий результат: слабо сходится без нормализации.

Еще оной моделью, которая исследуется в дисертиционной работе, является ветвящееся случайное блуждание. В этом контексте было найдено асимптотическое поведение хвоста распределения супремума регулярного мартингала. Найдена скорость роста величины для нерегулярных мартингалов.

Ключевые слова: случайные блуждания с барьером, ветвящееся случайное блуждание, мартингал, решето Бернулли, рекуррентные соотношения со случайными индексами.

Abstract

Negadailov P.A. Limit results on random recurtions. --- Manuscript. Thesis for a candidate's degree in physics and mathematics by speciality 01.01.05 -- probability theory and mathematical statistics. National Taras Shevchenko University of Kyiv, Kyiv, 2010.

The dissertation is devoted to investigation of asymptotic behavior of solutions to recurrent equations with random indices, which are naturally appear in three different models.

In particular, the asymptotic behavior of absorption times and the number of zero increments in the random walk with a barrier are investigated. Main characteristics of the Bernoulli sieve model are found: we provide a criterion of existence of the limiting distribution for properly normalized and centered (which describes the index of the last occupied interval) in full generality, the same result (under some additional moment conditions) is proved for the number of occupied intervals, we have also found the asymptotic behavior of the number of empty intervals and the number of points in the last occupied interval. We have described the tail behavior of regular martingales, connected to the branching random walk. We have also found the asymptotic behavior of for non-regular martingales.

Keywords: random walk with a barrier, branching random walk, martingale, Bernoulli sieve, recursions with random indices.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Випадкові послідовності, що задовольняють рівності розподілів де випадкова величина (індекс) набуває значень з множини, а вектор не залежить від послідовності, що є копією, називаються рекурсіями з випадковими індексами.

Такі випадкові рекурсії зустрічаються в теорії алгоритмів, теорії коалесцентів з множинними зіткненнями, теорії випадкових дерев, теорії регенеративних комбінаторних структур, в задачах, пов'язаних з ланцюгами Маркова, що не зростають, в задачах, пов'язаних з випадковими блуканнями з бар'єром та багатьох інших розділах теорії ймовірностей. Найбільший внесок у дослідження рекурсій з випадковими індексами був зроблений в роботах О. Гнєдіна, М. Дрмоти, О.М. Іксанова, М. Мьолє, Р. Найнінгера, Л. Рушендорфа, Ф. Флажолє та його школи, С. Янсона. Як відображено у численних публікаціях, останні п'ять років були відмічені спалахом активності навколо рекурсій з випадковими індексами, що свідчить про те, що проблематика, пов'язана з такими рекурсіями, є актуальною.

Дослідження рекурсій з випадковими індексами зазвичай полягає у знаходженні асимптотики моментів та встановленні умов, що забезпечують слабку збіжність відповідним чином нормалізованих та центрованих . Для розв'язання цих проблем були запропоновані (I) метод аналізу сингулярностей твірних функцій (Ф. Флажолє та його школа, М.Дрмота); (II) метод стискаючих відображень (Р. Найнінгер та Л. Рушендорф, У. Рьослер); (III) метод моментів. Жоден з цих підходів не є універсальним. Наприклад, метод (I) потребує знання розподілу вектора у явному вигляді, а невід'ємною складовою застосовності методів (II, III) є наявність принаймні двочленних асимптотичних розкладів моментів. Таким чином, аналіз кожної окремої рекурсії з випадковими індексами вимагає розвинення специфічних методів.

У даній дисертаційній роботі вперше отримано граничні результати для вказаних рекурсій з випадковими індексами, як час поглинання та число нульових приростів до поглинання випадкових блукань з бар'єром, а також для низки функціоналів, що діють на гратках Бернуллі.

Ми використовуємо означення випадкового блукання з бар'єром, запропоноване нещодавно О.М. Іксановим та М. Мьолє (раніше подібні процеси розглядалися К. Хіндерером та Х. Воком). Як показали ці автори, крім того, що випадкові блукання з бар'єром є цікавим математичним об'єктом, що заслуговує на детальне вивчення, вони є зручним допоміжним інструментом при дослідженні асимптотичної поведінки числа зіткнень у бета коалесцентах.

Гратка Бернуллі -- це схема розміщення Карліна у випадковому середовищі, що визначається послідовністю незалежних та однаково розподілених випадкових величин . Назва "гратка Бернуллі" була введена до ймовірнісного вжитку О. Гнєдіним у 2004 році. З точки зору застосувань гратки Бернуллі цікаві тим, що вони визначають модель випадкової композиції з чудовими властивостями узгодженості. Якщо розподіл є виродженим у точці , то гратки Бернуллі з'являються у класичній задачі вибору лідера або, еквівалентно, у задачах, пов'язаних з максимумами виборок з геометричного розподілу. Тому цей випадок отримав значну увагу і розглядався у роботах А. Кнопфмахера, Г. Лушара, Х. Махмуда, Х. Продінгера, Д. Філла, П. Хіценко, В. Шпанковски, С.Янсона та багатьох інших. Якщо має бета розподіл з параметрами та , то існує тісний зв'язок між гратками Бернуллі та циклами випадкових підстановок. Випадкові підстановки детально вивчалися у роботах Р. Арратіа, А. Барбура, С. Таваре та інших. У даній дисертаційній роботі розв'язано декілька відкритих проблем, пов'язаних з гратками Бернуллі, у яких розподіл не припускається відомим в явному вигляді.

Гіллясті випадкові блукання, що є узагальненнями процесів Гальтона-Ватсона, вперше вивчалися Д.Ф.К. Кінгманом та Д. Біггінсом у 70-х роках 20-го сторіччя і з того часу стали популярним об'єктом досліджень теорії випадкових процесів та прикладної ймовірності. Принципово важливі результати, що сприяли розвиненню сучасного розуміння гіллястих випадкових блукань, були отримані у роботах Г. Альсмайєра, Д. Біггінса, О.М. Іксанова, А. Киприаноу, У. Рьослера та інших. Відомо, що мартингали, пов'язані з гіллястими випадковими блуканнями, задовольняють рекурентні співвідношення, що відображають внутрішню рекурсивну структуру цих гіллястих процесів. У даній дисертаційній роботі вперше знайдено асимптотику хвоста розподілу супремуму мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у відповідності до плану наукових досліджень кафедри дослідження операцій факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми "Розробка теорії і програмного забезпечення стохастичних моделей, теорії алгебраїчних систем та аналіз перспектив їх застосувань. Розробка та впровадження інформаційних технологій в освіті" (2006-2010 рр.), НДР №06 БП015-06, номер держреєстрації 0106U004352.

Підготовка дисертаційної роботи була частково підтримана грантом DFG (організація наукових досліджень Німеччини) № 436UKR 113/93/0-1, проект "Стохастичні нерухомі точки" (2007-2010 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є встановлення граничних результатів для випадкових рекурентних співвідношень, пов'язаних з випадковими блуканнями з бар'єром, з гратками Бернуллі та з гіллястими випадковими блуканнями. Об'єктом дослідження є випадкові рекурентні співвідношення, пов'язані з випадковими блуканнями з бар'єром, з гратками Бернуллі та з гіллястими випадковими блуканнями. Предметом дослідження є слабка збіжність, а також асимптотика моментів випадкових рекурентних співвідношень, пов'язаних з випадковими блуканнями з бар'єром, з гратками Бернуллі та з гіллястими випадковими блуканнями.

Крім стандартного ймовірнісного апарату, у дисертаційній роботі використовуються методи:

* теорії відновлення та теорії випадкових блукань (усі розділи);

* теорії правильної зміни (усі розділи);

* теорії мартингалів з дискретним часом (розділ 4).

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи є новими. Зокрема:

* вперше встановлено низку результатів про слабку збіжність двох функціоналів, що діють на випадкових блуканнях з бар'єром;

* вперше знайдено асимптотику дисперсії моментів поглинання випадкових блукань з бар'єром;

* вперше встановлено результати про слабку збіжність номера останнього зайнятого інтервалу, числа порожніх інтервалів та числа точок у останньому зайнятому інтервалі гратки Бернуллі; узагальнено та покращено результат про слабку збіжність числа зайнятих інтервалів гратки Бернуллі;

* вперше встановлено результат про асимптотичну поведінку розподілу супремуму рівномірно інтегровного мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням;

* вперше отримано результат про швидкість зростання в середньому функціонала від нерівномірно інтегровного мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням.

Доведений у даній дисертації результат про слабку збіжність числа зайнятих інтервалів гратки Бернуллі вказує п'ять режимів збіжності, що відрізняються нормуючими та центруючими константами та/або граничними законами, один з яких був описаний в роботі О. Гнєдіна(2004). В той час, як наші доведення є суто ймовірнісними, підхід згаданої статті був аналітичним і базувався на отриманні асимптотичних розкладів моментів.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатiв. Отримані результати носять в основному теоретичний характер. Вони доповнюють та розвивають існуючі результати із теорії випадкових блукань з бар'єром, гіллястих випадкових блукань та теорії ігор. Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх застосування до розв'язків деяких задач, що виникають у математичній фізиці, математичній біології, теорії алгоритмів, страховій справі, фінансовій математиці, економіці, математичній статистиці та інших галузях.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації отримані автором особисто. З статей, написаних у співавторстві, до дисертації включені лише результати автора.

В статті [1] О.М. Іксанову належить остання версія доведення теореми 1, в статті [4] автору належать варіанти доведення основних результатів, в статті [5] О.М. Іксанову належить постановка задачі та ідея її розв'язання.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на міжнародній конференції "Modern problems and new trends in probability theory" (Чернівці, 2005 р.), дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2008), міжнародній конференції "Fifth Colloquium on Mathematics and Computer Science" (Блаубойрен, Німеччина, 2008 р.), міжнародних конференціях "Problems of decision making under uncertainties" (Бердянськ, 2005 р.; Киів, 2006 р.; Східниця, 2006 р.; Новий Світ, 2007 р.; Рівне, 2008 р.; Кам'янець-Подільський, 2009 р.).

Також матеріали дисертаційного дослідження доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах відділу теорії ймовірностей Інституту математики університету міста Кіль (Німеччина), відділу випадкових процесів Інституту математики НАН України, кафедри дослідження операцій та кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Т. Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи викладено у 4 статтях [1, 2, 3, 4], надрукованих у провідних наукових фахових виданнях України (які входять до переліку ВАК) та інших країн. Частина результатів міститься у статті [5], що вийшла у періодичному електронному іноземному виданні.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та окреслено методи дослідження, зазначено наукову новизну роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури за тематикою дисертації, порівняно результати, отримані у дисертації, з відомими раніше, та згадано роботи інших авторів, чиї результати використано у тексті.

Другий розділ присвячено дослідженню асимптотичної поведінки функціоналів, що визначені на випадкових блуканнях з бар'єром.

В підрозділі 2.1 дається означення та приклади застосування випадкових блукань з бар'єром.

Розділ 2 присвячений встановленню граничних результатів для послідовностей.

Теорія відновлення дає підстави очікувати, що асимптотичні поведінки послідовностей та подібні. Схожість граничних поведінок та добре висвітлюються асимптотичними властивостями їх різниці. Зокрема, було встановлено таке:

(а) Якщо, то послідовність слабко збігається. Тому, , підхожим чином нормалізована та центрована, слабко збігається тоді і тільки тоді, коли те саме справджується і для.

(б) Припустимо тепер, що.

(б1) Якщо, де -- функція, що повільно змінюється на , та якщо слабко збігається до деякого, то, що доводить, що також слабко збігається до того ж самого.

Таким чином, у випадках (а) та (б1) асимптотичні поведінки (у розумінні слабкої збіжності) послідовностей та однакові.

(б2) Якщо для деякого та функції, що повільно змінюється на, , та слабко збігається до деякого, то слабко збігається до деякого. Незважаючи на те, що аргументи, що використовувались у пунктах (а) та (б1), не працюють, було доведено, що слабко збігається до деякого розподілу.

У випадку (б2) слабка асимптотична поведінка визначається не лише поведінкою. У цьому випадку на неї приблизно в однаковій мірі впливають поведінки та недострибу. Цей факт може бути пояснений так. Ймовірність одного великого стрибка випадкового блукання у порівнянні з випадками (а) та (б1) є значно більшою, а тому момент першого перевищення рівня наступає значно "швидше". Як наслідок, вплив на кількості стрибків, за час, поки пересувається від точки до, стає значним.

В підрозділі 2.3 доведено, що в залежності від хвоста розподілу кроку випадкового блукання з'являється декілька різних нормалізацій та відповідних граничних розподілів для послідовності. Серед них стійкі розподіли (включаючи нормальні) та розподіли експоненціальних інтегралів від субординаторів.

Теорема 4. Якщо, то такі твердження рівносильні.

* Існують послідовності, та такі, що, при, слабко збігається до невиродженого та власного ймовірнісного розподілу.

* Для деякого і функції, що повільно змінюється.

Якщо, i виконується з, то, а, де невід'ємна послідовність задовольняє умову, а граничний розподіл є нормальним з нульовим середнім і дисперсією.

У випадку нескінченного середнього наступний результат встановлює умови, які гарантують, що послідовність, певним чином нормалізована та центрована, слабко збігається.

В цих двох теоремах асимптотична поведінка така ж, як і поведінка , часу першого проходження через позицію у звичайному випадковому блуканні. Наступний результат розглядає випадок нескінченного середнього та встановлює умови, які гарантують, що, певним чином нормалізована (без центрування), слабко збігається.

За умови, що розподіл випадкової величини належить області притягання стійкого закону з параметром, теорема 11 вказує перші два члени асимптотичного розкладу першого та другого моментів, а також асимптотику дисперсії часу поглинання випадкового блукання з бар'єром.

Відомо, що в умовах теорем 4 та 5 слабка асимптотична поведінка послідовностей та є однаковою. Тому цікавою задачою є дослідження асимптотичної поведінки їх різниці, що розв'язується в розділі 2.5.

У випадку скінченного середнього величини теорема 13 встановлює слабку збіжність (без нормалізації) числа нульових приростів до поглинання. У випадку, коли крок випадкового блукання має нескінченне середнє, теорема 14 доводить слабкий закон великих чисел для тієї ж послідовності.

В третьому розділі встановлена асимптотична поведінка основних характеристик моделі граток Бернуллі. Гратка Бернуллі -- це модель розміщення, що може бути реалізована так. Нехай -- випадкове блукання, що стартує в нулі і має кроки, розподілені як, де випадкова величина приймає значення з відкритого інтервалу, а -- вибірка розміру з експоненційного розподілу з одиничним середнім, яка не залежить від випадкового блукання. Додатна напівпряма розбивається на інтервали послідовними точками випадкового блукання, а потім на неї кидаються точки. Позначимо через порядкові статистики експоненційної вибірки.

Надалі вважаємо, що розподіл є неарифметичним. Інтервал називається зайнятим, якщо він містить принаймні одну експоненційну точку, та порожнім, в протилежному випадку. Розділ 3 присвячений дослідженню таких функціоналів, визначених на гратці Бернуллі:

*, тобто є номером самого правого зайнятого інтервалу;

* не містить жодної експоненційної точки , тобто є кількістю порожніх інтервалів серед перших ;

* {не містить експоненційних точок} тобто є кількістю зайнятих інтервалів;

*, таким чином є кількістю експоненційних точок в останньому зайнятому інтервалі,

Підрозділ 3.2 встановлює зв'язок моделі граток Бернуллі з іншими схемами, випадковими рекурсіями та ланцюгами Маркова. Підрозділ 3.3 присвячений асимптотичній поведінці номеру останнього зайнятого інтервалу. В теоремі 16 у повній загальності встановлено критерій існування граничного розподілу для певним чином нормалізованої та центрованої послідовності.

Теорема 16. Наведені умови є еквівалентними.

* Існують числові послідовності, де та, такі, що при слабко збігається до невиродженого та власного ймовірнісного розподілу.

* Розподіл або належить області притягання стійкого закону, або слабко змінюється на .

Підрозділи 3.5 та 3.6 присвячені дослідженню асимптотичної поведінки числа зайнятих інтервалів та кількості експоненційних точок у останньому зайнятому інтервалі. Зокрема встановлені наступні результати

Четвертий розділ розглядає асимптотичну поведінку мартингалів, що визначені на гіллястому випадковому блуканні. В підрозділі 4.1 дані означення гіллястого випадкового блукання та сформульований основний результат розділу.

Нехай -- точковий процес на з точками, де величина може бути детермінованою або випадковою, скінченною або нескінченною з додатною ймовірністю. Гіллястим випадковим блуканням будемо називати послідовність точкових процесів, де для борелівської множини

Послідовність - невід'ємний мартингал, що є основним об'єктом дослідження розділу 4.

Позицію індивідуума у гіллястому випадковому блуканні будемо позначати через, номер покоління, якому належить, - через.

Теорема 26 встановлює асимптотику хвоста розподілу випадкової величини у випадку рівномірно інтегровних (регулярних) мартингалів.

Припускаючи, що мартингал є рівномірно інтегровним і, отже, збігається в середньому до випадкової величини в підрозділі 4.2 встановлені деякі властивості та його зв'язок з випадковими рядами.

Лема 28. Якщо збігається в середньому до випадкової величини , то знайдуться константи.

Наслідок. Для довільного тоді і тільки тоді, коли.

Лема 29. Припустимо, що мартингал збігається в середньому до випадкової величини. Позначимо через випадкову величину з розподілом.

В підрозділі 4.3 присвячений доведенню основного результату четвертого розділу (теорема 26).

Нам невідомі результати про асимптотичну поведінку нерегулярних мартингалів, пов'язаних з ГВБ. Частково заповнюючи цю прогалину, у підрозділі 4.4 ми досліджуємо швидкість зростання величин для нерегулярних мартингалів. Твердження такого роду можна розглядати як аналоги результатів про існування моментів, де -- гранична випадкова величина для регулярного мартингалу. В роботі О. Іксанова (2007) був встановлений критерій регулярності мартингалу, згідно з яким умова гарантує, що мартингал не є рівномірно інтегровним. Тоді збігається майже напевно до, тому прямує до нескінченності при. Теорема 30 досліджує швидкість зростання величин для нерегулярних мартингалів.

Користуючись нагодою, автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові, доктору фізико-математичних наук, професору Олександру Маратовичу Іксанову за постановку розглянутих в дисертації наукових проблем, постійну увагу, цінні поради та підтримку в роботі.

асимптотичний поведінка бар'єр мартингал

Висновки

Отримані в даній дисертаційній роботі результати розв'язують ряд відкритих задач відносно асимптотичної поведінки функціоналів, що природним чином виникають в трьох різних схемах випадкових процесів: випадкових блуканнях з бар'єром, схемі "граток Бернуллі" та гіллястих випадкових блуканнях, де кількість нащадків одного індивідуума може бути нескінченною з додатною ймовірністю:

Встановлено асимптотичну поведінку функціоналів, пов'язаних з випадковими блуканнями з бар'єром і основні характеристики моментів поглинання.

В залежності від поведінки хвоста розподілу кроку випадкового блукання доведено низку тверджень про слабку збіжність часу поглинання випадкового блукання з бар'єром.

У випадку, коли середнє кроку випадкового блукання скінченне, доведена слабка збіжність без нормалізації числа нульових приростів (до поглинання) випадкового блукання з бар'єром. У випадку, коли крок випадкового блукання має нескінченне середнє, для тих же випадкових величин встановлено слабкий закон великих чисел.

У випадку, коли середнє кроку випадкового блукання скінченне, встановлено перші два члени асимптотичних розкладів середнього та другого моменту часу поглинання випадкового блукання з бар'єром. Це дозволило знайти асимптотику дисперсії часу поглинання.

Досліджена модель граток Бернуллі, яку можна інтерпретувати як схему розміщення куль по нескінченній послідовності урн з випадковими ймовірностями попадання кулі до кожної урни і знайдена слабка асимптотична поведінка основних функціоналів цієї моделі. При цьому встановлений зв'язок функціоналів, що досліджувались, з рекурсіями з випадковими індексами. Зокрема,

- у повній загальності встановлений критерій існування граничного розподілу для певним чином нормалізованої та центрованої послідовності, що описує номер останньої зайнятої урни. В явному вигляді вказані коефіцієнти нормування та центрування та відповідні їм граничні розподіли.

- За додаткового моментного припущення аналогічний результат доведено для числа зайнятих урн.

- За того ж моментного припущення показано, що число порожніх урн, що розташовані зліва від самої правої зайнятої урни, слабко збігається.

- За природних припущень знайдено слабку граничну поведінку числа куль в останній зайнятій урні.

* Встановлено асимптотичну поведінку мартингалів, пов'язаних з гіллястим випадковим блуканням, у якому число безпосередніх нащадків одного (кожного) індивідуума не припускається майже напевно скінченним. Зокрема,

- знайдено асимптотику хвоста розподілу супремуму мартингалу , пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням;

- встановлено зв'язок між мартингалами та рівностями розподілів спеціального вигляду;

- визначено порядок зростання величин для нерегулярних мартингалів , пов'язаних з гіллястим випадковим блуканням, за мінімальних моментних умов.

Cписок опублікованих праць за темою дисертації

1. Іксанов О.M. Про супремум мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням / О.M. Іксанов, П.А. Негадайлов // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2006. - № 74. - C. 44-51.

2. Негадайлов П.А. Асимптотичні результати для моментів поглинання випадкових блукань з бар'єром / П.А. Негадайлов //Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2008. - № 79. - C. 114-125.

3. Негадайлов П.А. Про моменти поглинання у випадковому блуканні з бар'єром / П.А. Негадайлов //Вісник Київського університету, серія фіз. мат. науки. - 2008. - № 4. - C. 149-152.

4. Gnedin A. The Bernoulli sieve revisited / A. Gnedin, A. Iksanov, P. Negadajlov [та ін.] // Annals of Applied Probability. - 2009. - V. 19, No. 4. - P. 1634-1655.

5. Iksanov A. On the number of zero increments of random walks with a barrier[Електронний ресурс] / A. Iksanov, P. Negadajlov // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Proceedings Series. - 2008. - V. AG. - P. 247-254.

6. Іксанов О.М. Про поведінку хвоста розподілу однієї випадкової величини, пов'язаної з гіллястим випадковим блуканням / О.М. Іксанов, П.А. Негадайлов // International conference. Problems of decision making under uncertainties. - Бердянськ. - 2005. - С. 159-160.

7. Іксанов О.М. On the supremum of a martingale related to the branching random walk / О.М. Іксанов, П.А. Негадайлов // International conference. Modern problems and new trends in probability theory. - Чернівці. - 2005. - С. 96.

8. Іксанов О.М. Про поведінку хвостів розподілів операторів від мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням / О.М. Іксанов, П.А. Негадайлов // International conference. Problems of decision making under uncertainties. - Східниця. - 2006. - С. 64.

9. Іксанов О.М. Про операторне перетворення мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням / О.М. Іксанов, П.А. Негадайлов // International conference. Modern stochastics: theory and applications. - Київ. - 2006. - С. 34-35.

10. Іксанов О.М. Про моменти поглинання у випадковому блуканні з заборонами. / О.М. Іксанов, П.А. Негадайлов // Problems of decision making under uncertainties. - Чернівці. - 2007. - С. 130-132.

11. Негадайлов П.А. Про нульові стрибки у випадковому блуканні з заборонами / П.А. Негадайлов // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2008 р. - C. 94.

12. Негадайлов П.А. Асимптотична поведінка числа нульових приростів у випадковому блуканні з заборонами / П.А. Негадайлов // Міжнародна конференція "Прoблеми прийняття рiшень в умовах невизначеностi". - Київ - Рiвне. - 2008 р. - С.173-174

13. Негадайлов П.А. Поведінка нерегулярного мартингалу, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням / П.А. Негадайлов // Problems of decision making under uncertainties (PDMU-2009). - Кам'янець - Подільський. - 2009. - C.85-86

Размещено на Allbest.ru