Взаимосвязь методов и средств обучения на занятиях по геометрии в колледжах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Взаимосвязь методов и средств обучения на занятиях по геометрии в колледжах

Введение

обучение колледж геометрия

Геометрия - одна из древнейших наук. Дошедшие до нас из глубины веков источники свидетельствуют о том, что геометрическими фактами человек пользовался еще 2000 лет до н.э. Как наука, геометрия сформировалась в VII-III веках до н.э. в древней Греции. Проблемы обучения геометрии, проблемы методики преподавания геометрии всегда были объектом внимания ученых и педагогов разных стран и народов, начиная с Евклида, Архимеда и др.

Каждый новый этап развития науки вообще, а геометрии в особенности, ставил перед человечеством задачу совершенствования обучения и преподавания. Проблемы методики преподавания геометрии в колледжах стали особенно значимы в наши дни.

«В общей системе математического образования задача развития математических способностей по геометрии занимает одно из важных мест. Необходимость развития математических способностей у учащихся диктуется самой жизнью: с развитием науки и техники растет потребность в квалифицированных рабочих кадрах, техниках, инженерах. Развитие математических способностей повлечет за собой стремление к повышению математической культуры, приведет к увеличению числа любителей математики - будущих специалистов, ученых, исследователей».

Актуальность проблемы все более возрастает в связи с реформой общеобразовательной школы и профессиональных колледжей. Важно, чтобы учащиеся, окончив колледж, знали, к чему способны и шли в высшие учебные заведения с определенными стремлениями и сформировавшимися способностями.

В колледже следует постоянно напоминать, что геометрия находит широкое применение и важно научиться ее использовать в самых разнообразных сферах деятельности. Научные знания надо приобретать не ради их накопления, а ради использования той мощи, которую они дают людям. Необходимо научить самостоятельно мыслить, рассуждать, находить новые пути решения.

В нашей стране очень много делается для стимулирования творческих способностей подрастающего поколения, в частности математических. Математические олимпиады, беседы педагогов, кружки способствуют решению именно этой задачи.

Все исследования по геометрии направлены на решение этой проблемы. Но решение проблемы не может быть полным и считаться обоснованным, если с достаточной ясностью не будет определен сам объект исследования - понятие «математические способности». Основная цель нашей работы - выявление существенных черт математических способностей по геометрии, установление возможности их формирования и на этой основе разработка методики развития математических способностей учащихся в процессе обучения геометрии в колледжах.

Проблеме методики геометрической подготовки учащихся колледжей и посвящена данная работа.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, выводов, заключения и списка используемой литературы.

В первой главе «Научно-теоретические предпосылки использования методов и средств обучения на занятиях геометрии в колледжах» рассматривается классификация методов обучения геометрии, виды, типы и приемы использования средств обучения, а также практическое использование методов и средств обучения на занятиях по геометрии в колледжах.

Во второй главе «Методические приемы использования методов и средств обучения на занятиях по геометрии на 2 курсе колледжа» рассмотрены приемы формирования практических умений и навыков при обучении геометрии на 2 курсе колледжа и динамика развития экспериментальной работы.

Цель исследования состоит в разработке методики использования методов и средств обучения предмету геометрии в колледжах.

Объект исследования данной работы - это процесс изучения учащимся геометрии.

Предметом исследования является изучение методов и средств обучения геометрии в колледже.

Предмет и цель исследования определяют следующие задачи:

1. Анализ вариантов изучения методов и средств обучения

предмету геометрии в колледжах.

2. Описание методов и способов их применения на примере

конкретных геометрических задач.

3. Выделение умений, необходимых для успешного овладения

методов и средств обучения и подбор задач, формирующих

данные умения.

4. Опытная проверка.

Методологическую основу исследования составляет концептуальное положения теории проблемно-развивающего обучения, труды современных ученых-методистов и педагогов: Сирожиддинова А. И, Гайбуллаева Н.Г., Ортикбаева О., Винер Н.Р, Шмидт О.Ю., Атанасян С.Н., Погорелова А.В, Петровского И.Г.

Научная новизна заключается в том, что представленные методы и средства обучения находят применение в практике на занятиях по геометрии.

Апробация выпускной квалификационной работы была проведена в колледже компьютерных технологий г. Навои, а также в виде защиты курсовой работы «Применение векторного метода в школьном курсе геометрии» и статьи на научной конференции «Приемы формирования практических умений и навыков при обучении геометрии на втором курсе колледжа».

1. Научно-теоретические предпосылки использования методов и средств обучения на занятиях геометрии в колледжах

1.1 Классификация методов обучения, применяемых на занятиях геометрии

«В геометрии применяются различные методы решения задач - это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи».

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры - единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат - это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

В отношении курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий курса математики, а векторный метод широко применяется при решении геометрических задач и доказательства теорем.

Векторный метод - это математический приём решения задач и доказательства теорем, при котором геометрические отношения и понятия формулируются в векторных терминах и дальнейшие рассуждения проводятся с использованием векторных понятий и их свойств.

«Векторный метод обладает широкими возможностями решения аффинных и метрических задач, в содержании которых явно не присутствуют понятия векторной алгебры. В частности, этим методом целесообразно пользоваться при решении следующих видов геометрических задач:

1. Задачи на доказательство параллельности отрезков и прямых.

2. Задачи на доказательство принадлежности нескольких точек одной прямой.

3. Задачи на деление отрезка в данном отношении.

4. Задачи на определение взаимного расположения прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей (вычисление угла, доказательство перпендикулярности).

5. Задачи на вычисление длин отрезков (например, высоты, медианы, биссектрисы треугольника и т.п.).

6. Задачи на вычисление площадей и объёмов некоторых геометрических фигур».

Сущность любого математического метода, в том числе и метода геометрических преобразований, состоит в построении модели одной теории (в нашем случае традиционной евклидовой геометрии) в объектах другой (группы геометрических преобразований).

Например, отношение «точка А принадлежит прямой а» соответствует тому, что композиции центральной симметрии относительно центра А и осевой с осью а, осевой относительно прямой а и центральной с центром А представляют собой одно и то же преобразование плоскости,

Метод геометрических преобразований в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии (например, конгруэнтности, параллельности и т.д.)

При этом его применение обычно предполагает выполнение следующей последовательности шагов: - выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; - выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; - обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования.

Выделенные шаги использования метода геометрических преобразований обусловливают необходимость актуализации основных понятий теории геометрических преобразований и свойств (общих и специфических) отдельных видов преобразований и овладение умением строить образы фигур при том или ином преобразовании.

Метод преобразований решения геометрических задач состоит в том, что, кроме данных в условии задачи фигур, рассматриваются вспомогательные фигуры, полученные из данных фигур или их частей при помощи какого-либо преобразования (параллельного переноса, поворота, симметрии, подобия и т.д.). В этом смысле говорят, что задача решается методом параллельного переноса, методом поворота, методом симметрии и т.д.

1.2 Виды, типы и приемы использования средств обучения

Облегчение восприятия и усвоения учащимися математических знаний может быть достигнуто разумным использованием различных средств и пособий наглядности - моделей, таблиц, чертежей и рисунков, предназначенных для показа с помощью разнообразных проекционных устройств, демонстрацией специальных кинофильмов.

Однако чрезмерно частое использование средств наглядности может привести к задержке развития у учащихся абстрактного мышления, затруднениям при решении задач, требующих развитого пространственного представления.

Естественно, невозможно дать универсальные рецепты «соблюдения меры» в использовании тех или иных средств наглядности. В каждом отдельном случае эта мера определяется практически. Пусть, например, решается некоторая стереометрическая задача в классе. Сначала учащиеся должны самостоятельно вычертить чертеж по условию задачи. Некоторые справляются с этим заданием, другие затрудняются. Используя пространственные представления учащихся, учитель пытается добиться выполнения этого задания, проводя дополнительное объяснение. Для тех, кто все еще не понимает задачу, выполняется чертеж на доске, демонстрируется кадр диафильма или диапозитив или же показывается модель.

В другом случае, когда, например, ученики впервые знакомятся с тем или иным понятием, например геометрическими фигурами, целесообразно провести демонстрацию этих понятий по модели на более раннем этапе изложения. Но учителю не следует стараться любой вопрос, любую задачу подкреплять соответствующей наглядностью в той или иной форме.

В распоряжении учителя математики в настоящее время имеются различные средства наглядности, выпускаемые промышленностью. В этих условиях необходимость в изготовлении самодельных наглядных пособий понемногу уменьшается, но вряд ли отпадет совершенно.

Во-первых, изготовление некоторых средств наглядности может быть легко связано с решением ряда вычислительных и геометрических задач и проводиться лабораторно. В этом случае нельзя пренебрегать обучающей функцией этой работы. Мы имеем в виду прежде всего изготовление разнообразных многогранников, тел вращения и особенно их разверток. Важность умения практически рассчитать развертку совершенно очевидна.

Во-вторых, «номенклатура» наглядных пособий, которые могут быть легко изготовлены на месте, всегда шире, чем фабричных, и в значительной мере зависит от вкусов, взглядов умений самого учителя. В преподавании математики можно выделить следующие средства наглядности:

а) модели и макеты;

б) (настенные) таблицы;

в) диапозитивы (слайды), кодограммы и дидактические материалы для эпипроектирования; г) диафильмы;

д) кинокольцовки, кинофрагменты и кинофильмы.

Средствами наглядности могут служить также разнообразные геометрические, вычислительные и измерительные приборы, которые мы специально рассматривать не будем. Хотя различные средства наглядности обладают большим сходством дидактических функций, можно заметить и некоторые особенности в практическом использовании каждого из них.

«Плоские и объемные модели хорошо известны каждому преподавателю математики. Они представляют собой натуральные объекты для наблюдения и непосредственного изучения и применяются во всех классах. Эффективность применения моделей становится особенно ясной, если вспомнить такие образцы, как шарнирные параллелограмм и ромб, равносоставленные фигуры, треугольник, основание которого сохраняется постоянным, а вершина перемещается параллельно основанию (стороны его образуются резиновой нитью или шнуром) - в планиметрии, динамические модели тел вращения, модели многогранников, различные стереометрические наборы, прозрачные и полупрозрачные модели сечений, вписанных и описанных тел и т.д. - в стереометрии, модель термометра - для демонстрации свойств целых чисел и т.д.»

Настенные таблицы по математике используются для решения различных дидактических задач, но основная их особенность - возможность размещения на стенах классной комнаты на длительное время. Многократное их использование обеспечивает более глубокое запоминание содержащегося в них материала, с одной стороны, и дает возможность быстро навести необходимую справку - с другой.

Между диапозитивами и диафильмами много общего. Диафильм, разрезанный на отдельные кадры (слайды), представляет собой основу диапозитива. Но если диапозитивы можно демонстрировать в любой последовательности, которая часто определяется самим ходом учебного процесса, то последовательность демонстрации кадров диафильма является значительно более жесткой. В соответствии с этим диафильмы целесообразнее использовать при изложении материала, требующего определенной логической последовательности, в частности при изложении различных теоретических положений, а также при решении постепенно усложняющихся и тесно между собой связанных задач практического характера. Диапозитивы используются в тех случаях, когда последовательность их применения определяется в ходе работы - например, при решении некоторой задачи обнаружилось незнание учащимися некоторых свойств, которые легко усматриваются с помощью диапроектирования. Тут же извлекается соответствующий диапозитив и демонстрируется. Если намечалось решить несколько тесно связанных между собой задач, но в ходе работы оказалось, что ученики усвоили метод их решения раньше, чем предполагалось, то соответствующие слайды пропускаются. Число диафильмов и наборов диапозитивов, выпускаемых промышленностью, неуклонно увеличивается.

С помощью эпископов могут демонстрироваться непрозрачные чертежи, рисунки, записи и т.д. Слабая освещенность в этих проекционных устройствах требует специального затемнения помещения. В этом смысле применение новых проекционных устройств для демонстрации материалов на прозрачной подложке имеет значительные преимущества, хотя и не заменяет возможностей эпипроекционных устройств.

В последнее время появились новые проекционные устройства - o кодоскопы. Помимо значительно более яркого изображения, кодоскоп имеет ряд важных особенностей и преимуществ, резко отличающих его от проекционных устройств других типов.

Прежде всего, кодоскоп допускает демонстрацию разнообразнейших материалов на прозрачной подложке, в том числе текста и рисунков, заранее заготовленных или наносимых учителем на прозрачную карточку или ленту непосредственно на уроке, в процессе изложения, причем учитель при этом обращен лицом к классу, а изображение проектируется на переднюю стенку класса или непосредственно на классную доску (желательно, окрашенную в светлые тона).

Заранее заготовив изображение основных фрагментов некоторого чертежа и спроектировав его на доску, учитель может уже на доске дочертить недостающие его части, сечения, списанные фигуры и т.д., чем достигается важный педагогический эффект.

Промышленность уже выпускает наборы дидактических материалов для кодоскопов (назовем их кодограммами), кодограммы легко могут быть изготовлены и на месте. Важной особенностью кодоскопа является возможность наложения нескольких кодограмм друг на друга, чем достигается эффект присутствия при построении и создаются большие возможности для составления' условий задач на комбинации геометрических тел, на графическое решение уравнений и их систем, на построение сечений и т.д. Представляет интерес и возможность смещения кодограмм друг относительно друга при их совмещенном показе, например при изложении тем о геометрических преобразованиях.

Новые возможности достигаются при использовании кодоскопа в ходе, опроса учеников. Нескольким ученикам раздаются прозрачные карточки, на которых шариковыми ручками или специальными карандашами ученики записывают ответы. После этого записи учеников демонстрируются через кодоскоп перед всем классом. Если при этом окажется, что требуется внести исправления, ученик возвращается со своей кодограммой на место, где и устраняет недочеты.

Недостаточное количество кодоскопов может быть уже сейчас частично компенсировано довольно простой переделкой в кодоскоп эпидиаскопа. Там, где нужно продемонстрировать некоторое математическое свойство в динамике, в процессе изменения некоторого объекта, незаменимой является кинокольцовка, кинофрагмент, кино-фильм. Число дидактических материалов, выпущенных для кино-проектирования, также довольно значительно. Некоторые неудобства причиняет необходимость затемнения помещения при кино-демонстрации. Оно устраняется частично применением «дневных экранов» и «дневных киноустановок». Следует помнить общее правило: кинодемонстрация органически вписывается в урок, если она длится недолго. В этом смысле кинокольцовки и короткие кинофрагменты предпочтительнее кинофильмов. Желательно также наличие наиболее характерных кадров кинофрагментов в виде отдельных слайдов - для продолжительной демонстрации их с помощью статических проекторов. Сочетание статического и динамического показа во многих случаях обеспечивает более высокий уровень усвоения.

Некоторые перспективы в области преподавания математики имеет учебное телевидение. Так, телевидение возможно применять для организации серии учебных телепередач с участием наиболее квалифицированных преподавателей одновременно для ряда школ и классов. Отметим, что в течение самого последнего времени в школу начинают проникать замкнутые, т.е. не имеющие выхода в эфир, телевизионные системы. Эти устройства имеют большое будущее для распространения передового опыта, проведения педагогических исследований и т.д., а также в преподавании физики, химии и других дисциплин. Предполагается, что высшей формой организации использования разнообразных технических средств обучения со временем станет школьный технический центр, оборудованный замкнутой телевизионной системой. Из этого центра будет, в частности, удобно организовать показ кинокольцовок, фрагментов и т.д. непосредственно на экранах телевизоров, расположенных в классных комнатах. В этом случае отпадает проблема затемнения и транспортировки из класса в класс кинопроекционных устройств.

1.3 Практическое использование методов и средств обучения на занятиях по геометрии в колледжах

На современном этапе ускоренного социально-экономического развития нашей страны общественный труд превращается в творчество масс. Поэтому в учебный процесс должны вводиться такие методы обучения, которые воспитывают у учащихся творческую инициативу, активизируют преобразующую и познавательную деятельность, вырабатывают потребность в труде и связывают обучение с научными основами современного производства. В основе таких методов обучения лежит принцип единства теории и практики.

Связь теории с практикой - это не только привлечение некоторого практического материала, иллюстрирующего теорию, но и показ учащимся объективности научных теорий, вооружение их знаниями, умениями, навыками, необходимыми для самостоятельного решения вопросов, выдвигаемых практической жизнью.

Если познание не возникает из живого созерцания, то абстрактное мышление не имеет конкретной почвы. Конкретная реальная почва необходима не только на начальной ступени абстрактного мышления, но и на любой его ступени, потому что и на высоких ступенях абстрактного мышления не должна теряться связь с реальной действительностью. Если теоретические понятия не имеют жизненно содержательной основы, то трудно выполним заключительный этап познания - этап интерпретации.

Жизненно содержательная основа познания - необходимый этап в развитии познавательной деятельности личности, в формировании материалистического мировоззрения и убеждённости.

Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов:

1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;

2) преобразование аналитического выражения;

3) обратный перевод, т.е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.

Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом.

Пример №1. Сколько решений имеет система уравнений.

Решение:

1 этап: на геометрическом языке в данной задаче требуется найти, сколько точек пересечения имеют фигуры, заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе - уравнением параболы.

2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения.

3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.

Пример №2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.

Решение:

Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А (0,0) и В (а, 0). Точка М (х, у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ²⁼МВ². Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем

АМ²=x²+y², MB²=(x-a)²+y².

Тогда

х²+у²=(х-а)² + у²

Равенство х²+у²=(х-а)²+у² и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).

На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаем соотношение .

На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние , т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.

Для разработки методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.

Задача №1. В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD - медиана. Докажите, что

.

Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох - прямая АС (рис. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(умение оптимально выбирать систему координат, т.е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).

В выбранной системе координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А (0,0), D(,0) и С (b, 0)

(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:

х²+у²=с², (x-b)²+y²=a² (1)

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

По той же формуле

. (2)

Используя формулы (1) находим х и у.

Они равны:

; .

Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим

.

.

(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)

Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.

Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А.

(умение оптимально выбирать систему координат).

Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А (0,0), В (а, 0).

(умение находить координаты заданных точек)

Точка М (х, у) принадлежит искомому множеству тогда только тогда, когда AM²-MB²=b² где b - постоянная величина

(умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).

Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:

, ,

(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами), или . Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние .

(умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)

Нетрудно видеть, что и для решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, которое является обратным к умению составлять уравнения конкретных фигур.

Выделенные умения являются основой при решении и более сложных задач.

Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.

Направим оси координат по меньшей диагонали и одному из оснований (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(умение оптимально выбирать систему координат).

Тогда точка А имеет координаты (0,0), точка В - (а, 0), точка С - (0, c), точка D - (b, c).

(умение находить координаты заданных точек)

Пусть и острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма равна . Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его можно вычислить 2 способами. Первый - из прямоугольного треугольника АВС по формуле находим

.

Второй способ из прямоугольного треугольника ACD:

.

Отсюда получили, что

(1)

Из равенства (1) находим отношение : оно равно

-,

так как .

Выразим . Он равен

,

исходя из этого, пользуясь зависимостью (1), получаем

.

(умение выразить недостающие координаты через уже известные величины)

Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.

(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)

Она равна .

Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:

1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;

2. стоить точку по заданным координатам;

3. находить координаты заданных точек;

4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

5. оптимально выбирать систему координат;

6. составлять уравнения заданных фигур;

7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;

8. выполнять преобразование алгебраических соотношений.

Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:

1) задачи на построение точки по ее координатам;

2) задачи на нахождение координат заданных точек;

3) задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;

4) задачи на оптимальный выбор системы координат;

5) задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;

6) задачи на определение фигуры по ее уравнению;

7) задачи на преобразование алгебраических равенств;

Рассмотрим теперь решение задач с помощью векторов.

Задача 1.

Даны два вектора AB и CD, причем А (-1; 2; 4), В (-4; 5; 4), С (-1; -2; 2) и D (2; 1; 5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = (-3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

АВ х СD = (-3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее и означает, что АВ СD.

Задача 2.

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:

ВС = а, СА = в, АВ = с

(рис. 4). Тогда

АD = АВ + ВD = АВ += с +

аналогично определяются и другие медианы:

ВЕ = а + , СF = в +

Так как, в силу условия замкнутости

ВС + СА + АВ = а + в + с =0,

то мы имеем:

АD + ВЕ + СF = (с + ) + (а + ) + (в + ) = (а + в + с) = х 0 = 0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор В₁С₁ = ВЕ и от точки С₁ - вектор С₁D₁ = СF, мы получим.

А₁В₁ + В₁С₁ + С₁D₁ = АD + ВЕ + СF = 0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А₁В₁С₁D₁ является замкнутой, т.е. точка D₁ совпадает с А₁.

Таким образом, мы получаем треугольник А₁В₁С₁ (рис. 5), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 3.

Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

с² = а² + в² - 2 ав х соs С (теорема косинусов)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Положим: а = СВ, в = СА, с = АВ (рис. 6).

Тогда с = а - в, и мы имеем

(учитывая, что угол между векторами а и в равен С):

с² = (а - в)² = а² - 2 ав + в² = а² - 2 ав х соs С + в².

Задача 4.

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение.

Пусть четырехугольник АВСD - параллелограмм (рис. 7). Имеем векторные равенства

АВ + AD = АС, АВ - АD = DВ.

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

АВ² + 2 АВ х АD + АD² = АС², АВ² - 2АВ х АD + АD² = DВ²

Сложим эти равенства почленно. Получим:

2АВ² + 2 АD² = АС² + DВ².

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Задача 5.

Даны три точки: А (1; 1), В (-1; 0), С (0; 1). найдите такую точку D (х; y), чтобы векторы АВ и СD были равны.

Решение.

Вектор АВ имеет координаты -2, -1. Вектор СD имеет координаты х - 0, y -1. Так как АВ = СD, то х - 0 = -2, y -1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х = -2, y = 0.

Задача 6.

Даны два вектора АВ и СD, причем А (-1; 2; 4), В (-4; 5; 4), С (-1; -2; 2), D (2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = (-3; 3; 0) и СD (3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

AB х CD = (-3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее означает, что АВ перпендикулярно СD.

Рассмотренные выше примеры задач показывают, что векторный метод является весьма мощных средством решения геометрических и многих физических (и технических) задач.

Метод преобразований можно эффективно использовать при решении задач на вычисление, доказательство и построение. Рассмотрим применение подобия плоскости, в частности гомотетии, при решении задач элементарной геометрии.

Преобразование плоскости называется подобием, если существует такое число k0, что для любых точек А и В и их образов А1 и В1 выполняется равенство А1В1=kАВ. Число k называется коэффициентом подобия.

Преобразование плоскости называется гомотетией с центром М0 и коэффициентом kо, если каждой точке М плоскости ставится в соответствие точка М1 так, что М0М1=kМ0М. При k0 гомотетия называется положительной, а при k0 - отрицательной. Гомотетия с коэффициентом k является подобие с коэффициентом подобия |k|. Из определения гомотетии следует, что точка и ее образ в данной гомотетии лежат на одной прямой с центром гомотетии.

При решении задач чаще всего используется гомотетия. Отметим ее основные свойства. Так всякая гомотетия с коэффициентом k1 переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии - в себя. Гомотетия переводит отрезок в отрезок, середину отрезка - в середину отрезка, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость, угол - в равный ему угол, перпендикулярные прямые - в перпендикулярные прямые.

Задача №1.

Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей и точку пересечения прямых, соединяющих боковые стороны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение. Пусть дана трапеция АВСД, у которой АВ // СД, АВСД, О=АСВД, Р=АДСВ; М, Н - середины оснований АВ и СД (рис. 8.). Надо доказать, что точки О и Р лежат на прямой МН. Рассмотрим сначала гомотетию с центром в точке О и коэффициентом k1=-ДС:АВ. Н0k1:АС, ВД. Значит Н0k1:АВСД. Тогда Н0k1:МН. Следовательно, точка О принадлежит прямой МН. Затем рассмотрим гомотетию с центром в точке Р и коэффициентом k2=ДС:АВ. Нpk2:АД, ВС. Значит Нpk2:АВСД. Тогда Нpk2:МН. Следовательно, точка Р принадлежит прямой МН.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №2. Через середину каждой из сторон треугольника проведена прямая, параллельная биссектрисе противолежащего угла. Доказать, что эти прямые проходят через одну точку.

Решение. Пусть дан треугольник АВС (рис. 9), у которого А1, В1, С1 - середины сторон ВС, АС, АВ; АА2, ВВ2, СС2 - биссектрисы, а А1А3 // АА2, В1В3 // ВВ2, С1С3 // СС2. Надо доказать, что прямые А1А3, В1В3, С1С3 проходят через одну точку. Обозначим через М точку пересечения медиан треугольника АВС и рассмотрим гомотетию с центром в точке М и коэффициентом k=-1/2.

Нм-1/2:АА1, ВВ1, СС1.

Значит Нм-1/2: треугольник АВСтреугольникк А1В1С1.

Тогда Нм-1/2:АА2А1А3, ВВ2В1В3, СС2С1С3.

Следовательно, прямые А1А3, В1В3, С1С3 проходят через одну точку, так как биссектрисы АА2, ВВ2, СС2 треугольника АВС проходят через одну точку.

Задача №3. В сегмент вписаны две окружности g1 (О1, r1) и g2 (О2, r2). Одна из них g1 касается дуги и основания сегмента соответственно в точках А и В, другая g2 - точках С и Д (рис. 10). Доказать, что положение точки пересечения прямых АВ и СД не зависит от выбора окружностей g1, g2, вписанных в сегмент.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение. Пусть дана окружность g (О, r) и дан сегмент с основанием ЕН. Рассмотрим сначала гомотетию с центром в точке А и коэффициентом k1=r/r1. НАk1:О1О, g1g, ЕНL1. По свойству гомотетии прямая L1 должна быть параллельна прямой ЕН и лежать в полуплоскости, определяемой прямой ЕН и точкой О. Так как ЕН касается окружности g1 в точке В, то прямая L1 должна касаться окружности g в точке К, где К=НАk1 (В) и К принадлежит прямой АВ. Затем рассмотрим гомотетию с центром в точке С и коэффициентом k2=r/r2. Нсk2:О2О, g2g, ЕНL2. По свойству гомотетии прямая L2 должна быть параллельна прямой ЕН и лежать в полуплоскости, определяемой прямой ЕН и точкой О. Так как ЕН касается окружности g2 в точке Д, то прямая L2 должна касаться окружности g в точке Р, где Р=Нсk2 (Д) и Р принадлежит прямой СД. Но в полуплоскости, определяемой прямой ЕН и точкой О, можно построить только одну касательную к окружности g (О, r), параллельную прямой ЕН. Значит прямые L1 и L2 совпадают (L1L2L), а также совпадают и точки К и Р (КРМ). Точка М получится как точка пересечения прямых АВ и СД и будет точкой касания прямой L и окружности g (О, r). Так как положение точки М зависит только от положения прямой ЕН, от положение точки пересечения прямых АВ и СД не зависит от выбора окружностей g1, g2, вписанных в сегмент.

Рассмотрим применение простейших движений плоскости, таких как параллельный перенос, симметрия и вращение (поворот) при решении задач элементарной геометрии на вычисление и доказательство.

При решении задач используются основные свойства движения. Так, всякое движение переводит:

· прямую в прямую, а параллельные прямые - в параллельные прямые,

· отрезок - в отрезок, а середину отрезка - в середину отрезка,

· луч - в луч,

· угол - в равный ему угол,

· точки, не лежащие на одной прямой - в точки, не лежащие на одной прямой,

· полуплоскость - в полуплоскость.

Задача №1.

В четырехугольнике ABCD (рис. 11) AB = , BC = 3, CD = 2, BAD = CDA = 60. Найти углы ABC и BCD.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение. Рассмотрим параллельный перенос на вектор .

Получим равнобедренную трапецию ABED, у которой AB = ED = , а ABE =120. Тогда CE = CD - ED = .

В треугольнике BCE имеем 9 = x2 + 3 - 2xCos60 (по теореме косинусов), где BE = x.

Отсюда x2 - x - 6 = 0 и x = 2. Замечая, что BE2 = BC2 + CE2, получим BCD = 90, а CBE = 30. Тогда ABC = 120 + 30 = 150.

Задача №2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть A1, B1, C1 - середины сторон треугольника ABC (рис. 2), O1, О2, O3 - центры окружностей, вписанных в треугольники AC1B1, C1BA1, СВА1. Найти углы треугольника O1O2O3, если AB = 4, AC = 4, BAC = 30.

Решение

Сначала по теореме косинусов найдем сторону BC треугольника ABC: BC=4.

Следовательно, треугольник ABC будет равнобедренным и BCA=30. Рассмотрим параллельный перенос на вектор. Так как:AB1, B1C, C1A1, то отображает треугольник AB1C1 в треугольник B1CA1. Тогда :O1O3. Отсюда следует, что O1O3||AC. Аналогично рассмотрим параллельный перенос на вектори параллельный перенос на вектор .

:O1O2 O1O2||AB, :O3O2O2O3||BC.

Тогда O2O1O3=BAC=30, O1O3O2 = BCA = 30, а O3O2O1=180-230=120.

Задача №3.

Прямая, проходящая через середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD, не являющего трапецией, образует со сторонами AD и CD равные углы. Доказать, что AD = CB.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Пусть M и H - середины сторон AB и CD (рис. 13). Рассмотрим сначала параллельный перенос на вектор и параллельный перенос на вектор . : D H, A A1, AD||A1H, AD = A1H; :C H, BB1 BC ||B1H, BC=B1H. Так как по условию 1=2, а 1 =3 и 2=4 как накрестлежащие углы, то 3=4.

Затем рассмотрим центральную симметрию относительно точки M. Так как ZM: AB, то луч AA1 отобразится в луч BB1, так как AA1 ||BB1||DC. ZM: A1B1, так как AA1 = DH = HC = BB1. В треугольнике A1B1H медиана MH является биссектрисой. Следовательно, треугольник A1B1H равнобедренный, т.е. A1H=B1H. Тогда и AB = CB.

Задача №4.

Даны две окружности 1 (O1, r) и 2 (O2, r), пересекающиеся в точках M и H (рис. 14). Прямая , параллельная прямой O1O2, пресекает окружность 1 в точках A и B, а окружность 2 в точках C и D. Доказать, что величина угла AMC не зависит от положения прямой , если лучи AB и CD сонаправлены и прямая пересекает отрезок MH.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение: Пусть прямая 1 также удовлетворяет условиям задачи. Докажем, что AMC=A1MC1. Так как AMC=AMA1+A1MC, а A1MC1=A1MC+CMC1 то надо доказать, что AMА1 =СMC1. Рассмотрим параллельный перенос на вектор . :1 (O1, r) 2 (O2, r). Тогда :MM1, AC, A1C1. Значит :AMA1CM1C1. Следовательно, AMA1=CM1C1. Но CM1C1=CMC1 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CC1. Тогда AMA1=CMC1=AMC=A1MC1.

Задача 5.

Доказать, что точки, симметричные ортоцентру треугольника ABC относительно прямых AB, AC, BC, принадлежат описанной около треугольника ABC окружности.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Пусть окружность (O, r) описана около треугольника ABC, а H - его ортоцентр, т.е. H - точка пересечения высот треугольника ABC (рис. 15). Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой BC. SBC: BB, CC, HH1. Значит SBC: CHCH1, BHBH1, СHBCH1B. Следовательно, СHB =СH1B. Так как в четырехугольнике AC1HB1

AC1H=AB1H=90, то BAC+С1HB1=180. Тогда в четырехугольнике ABH1C имеем BAC+BH1C=BAC+BHC+BAC+C1HB1=180, т.е. точка H1 принадлежит окружности (O, r). Аналогично, рассматривая SAB и SAC, получим, что точки H2 и H3 принадлежат окружности (O, r).

Задача №6. Точки C1 и С2 являются образами вершины С треугольника ABC при симметрии относительно прямых. Содержащих биссектрисы углов BAC и ABC (рис. 16).Доказать, что середина отрезка C1C2 есть точка касания вписанной в треугольник окружности и сторон AB.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Пусть 1 и 2 - прямые, содержащие биссектрисы углов BAC и ABC, а H, K, M - точки касания вписанной окружности (O, r) со сторонами AB, BC, AC. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой 1. S1: ACAB, CC1. Следовательно, C1AB. Так как O1, то 1 - ось симметрии окружности . Тогда S1: MH. Так как S1: CC1, MH, то S1: CMC1H. Следовательно, CM = C1H.

Аналогично, рассматривая осевую симметрию относительно прямой 2, получим CK = C2H. По свойству касательных, проведенных из внешней точки C к окружности , имеем CM=CK. Тогда C1H=C2H, причем точки C1, C2, H принадлежат прямой AB. Следовательно, H - середина отрезка С1С2.

Задача №7. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC, ABC = 30. На стороне BC взята точка D так, что бы AC: BD = : 1. Найти угол DAC (рис. 17).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение. Рассмотрим осевую симметрию относительно серединного перпендикуляра MH к стороне AB. SMH:BA, DD1, MM. Значит SMH:BDAD1, MBDMAD1. Следовательно, BD=AD1, DD1||AB, MAD1=MBD=30. Так как BAC=BCA=75, то D1AC=45. По условию AC:BD=:1. Тогда AC:AD1=:1. На прямых AC и AD1 построим точки C2 и D2 такие, что AC2=, AD2=1. Тогда в треугольнике AC2D2 имеем

D2C22=AC22+AD22-2AC2AD2Cos45 =1.

Отсюда D2C2=1, т.е. треугольник AD2C2 является равнобедренным, а это значит, что AC2D2=45, AD2C2=90.

Так как треугольники ACD1 и AC2D2 подобны, (D1AC - общий, AC:AD1=AC2:AD2=:1), то ACD1=45, AD1C=90. Так как DD1||AB, D1DC=ABC=30, то DCD1=BCA - D1CA=75-45=30.

Следовательно, в равнобедренном треугольнике CD1D CD1D = 120. Тогда AD1D=360 - (90 +120) = 150. Так как AD1=D1C=DD1, то в равнобедренном треугольнике AD1D

D1AD=(180-150):2=15.

Получим DAC=D1AC+D1AD=45+15=60.

Размещено на Allbest.ru