Экстремум функции
Аппроксимация данных заданной линейной зависимостью методом наименьших квадратов. Определение ее параметров. Нахождение точек экстремума функции с помощью метода множителей Лагранжа. Исследование функции на экстремум. Изменение диагонали прямоугольника.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.05.2015 |
| Размер файла | 61,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:
Таблица 1
|
x |
11 |
14 |
18 |
21 |
24 |
|
|
y |
4,1 |
6 |
8,5 |
10,2 |
12,3 |
В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
Решение
Найдем необходимые для расчетов суммы , , , . Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы.
Таблица 2
|
№ п/п |
|||||
|
1 |
11 |
4,1 |
121 |
45,1 |
|
|
2 |
14 |
6 |
196 |
84 |
|
|
3 |
18 |
8,5 |
324 |
153 |
|
|
4 |
21 |
10,2 |
441 |
214,2 |
|
|
5 |
24 |
12,3 |
576 |
295,2 |
|
|
88 |
41,1 |
1658 |
791,5 |
Нормальная система имеет вид:
Решая эту систему, находим: , . Следовательно, зависимость между величинами и выражается приближенной формулой . Чтобы установить, какая их двух линий или лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные, проведем следующие вычисления:
Таблица 3
|
№ п/п |
||||||
|
1 |
4,1 |
8,453297 |
5,61 |
18,951192187 |
2,2801 |
|
|
2 |
6 |
8,347253 |
7,26 |
5,509595459 |
1,5876 |
|
|
3 |
8,5 |
8,205861 |
9,74 |
0,086517866 |
1,5376 |
|
|
4 |
10,2 |
8,099817 |
11,81 |
0 |
2,5921 |
|
|
5 |
12,3 |
7,993773 |
14,06 |
18,54359189 |
3,0976 |
|
|
41,1 |
41,1 |
48,48 |
43,0908974 |
11,095 |
Так как , то прямая хуже в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные, чем парабола . Сделаем чертеж.
аппроксимация экстремум функция
Условные обозначения: - экспериментальные данные (исходная таблица).
Задание 2. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа:
при .
Решение
Составляем функцию Лагранжа: . Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений:
Получили одну точку возможного условного экстремума функции: .
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа.
, ,
точка - условный минимум функции.
.
Ответ: .
Задание 3. Исследовать на экстремум функцию .
Решение
1) Найдем критические точки функции:
Таким образом, имеем одну критическую точку .
2) Исследуем полученную точку на достаточность условий экстремума. Находим
.
Для точки : и , следовательно, точка - точка локального максимума функции.
.
Ответ: .
Задание 4. Одна сторона прямоугольника a=12 см, другая b=16 cм. Как изменится диагональ прямоугольника, если обе стороны укоротить на 1 мм?
Решение
По теореме Пифагора можем записать:
,
где a=12 см, b=16 cм, Дa=Дb= -1 мм= - 0,1 см
Изменение диагонали прямоугольника приближенно заменим ее дифференциалом:
Значит,
Следовательно, диагональ прямоугольника уменьшится на 0,14 см или 1,4 мм.
Ответ: диагональ прямоугольника уменьшится на 1,4 мм.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.
презентация [112,6 K], добавлен 17.09.2013Экстремум функции: максимум и минимум. Необходимое условие экстремума. Точки, в которых выполняется необходимое условие. Схема исследования функции. Поиск критических точек функции, в которых первая и вторая производная равна нулю или не существует.
презентация [170,6 K], добавлен 21.09.2013Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Нахождение экстремумов функций методом множителей Лагранжа. Выражение расширенной целевой функции. Схема алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с методом безусловной минимизации. Построение линий ограничений.
курсовая работа [259,9 K], добавлен 04.05.2011Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.
контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009Аппроксимация функции y = f(x) линейной функцией y = a1 + a2x. Логарифмирование заданных значений. Расчет коэффициентов корреляции и детерминированности. Построение графика зависимости и линии тренда. Числовые характеристики коэффициентов уравнения.
курсовая работа [954,7 K], добавлен 10.01.2015Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011
