Обчислення частоти і ймовірності подій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1

За допомогою діаграм Ейлера-Венна показати інтерпретацію закону двоїстості де Моргана для довільних множин А і В: «Доповнення суми двох множин дорівнює перерізу їх доповнень. ».

Покажемо за допомогою діаграм суму подій А і В:

Отже її доповнення матиме вигляд:

Подія матиме вигляд: Подія матиме вигляд:

Отже їх добуток виглядатиме так:

Задача №2

Свої умови виконання b різних контрактів пропонують а різних фірм. Кожна фірма може отримати тільки один контракт. Скільки існує способів отримання контрактів фірмами?

Кількістю способів отримання контрактів фірмами буде розміщення з п елементів по т: . п=4, т=3.

^.

Відповідь: 64 способів.

Задача №3

На Нью-Йоркській фондовій біржі брокер повинен придбати пакети акцій різних найбільш популярних компаній. Прогнозовано, що 50 відсотків пакетів є прибутковими. Скільки потрібно придбати пакетів, щоб з ймовірністю не менше, ніж 0,9+0,001а бути впевненим у прибутковості хоча б по одному пакету акцій.

Подія А_і - «прибуток по одному пакету». Нехай ймовірність вигашу по одному пакету акцій дорівнює р= Р(А_і)=0,904. Тобто, ймовіність отримання прибутку хоча б по одному з п придбаних пакетів акцій, а саме ймовірність суми незалежних подій А₁, А₂, А₃, … А_п визначається за формулою:

Р(А₁+А₂+А₃+…+А_п) =1-qⁿ; q=1-p.

За умовою

Логарифмуємо обидві частини нерівності:

Ділимо обидві частини нерівності на lgq<0:

. Тобто необхідно придбати не менше 4-х пакетів акцій, щоб з ймовірністю не менше, ніж 0,904 бути впевненим у прибутковості хоча б по одному пакету акцій.

Відповідь: .

Задача №4

У ліфт 12-поверхового будинку на першому поверсі зайшли а осіб. Кожна з них з рівними ймовірностями виходить на будь-якому поверсі, починаючи з другого. Знайти ймовірності того, що усі пасажири вийдуть на різних поверхах.

Кількістю способів виходу з ліфту 12-поверхового будинку буде розміщення з п елементів по т: . Враховуючи, що на першому поверсі лише заходять, то маємо: п=11, т=4. Отже

Кількістю способів виходу пасажирів на різних поверхах буде розміщення:

Подія А - «Усі пасажири вийдуть на різних поверхах».

Відповідь: ймовірність того, що усі пасажири вийдуть на різних поверхах 0,541

Задача №5

Формування трьохзначного номера облігації, яка виграла, виконується трикратним викиданням із урни одного за другим трьох жетонів із семи, занумерованих під цифрами від 1 до 7. Знайти ймовірність того, що вибраний номер містить цифру а_2.

Подія А - «вибраний номер не містить цифру 1».

.

Одиниця у трицифровому числі може займати три позиції: стояти на першому місці, посередині і в кінці. Тому кількість таких чисел буде:

Відповідь: ймовірність того, що вибраний номер містить цифру 1 складає 0,107.

Задача №6

Ймовірність того, що новий товар А буде користуватись попитом, якщо на ринку буде відсутним схожий товар конкурентної фірми, дорівнює 0,75. Ймовірність того, що новий товар А буде користуватися попитом при наявності конкурентного товару дорівнює 0,38. Ймовірність того, що товар фірми-конкурента з'явиться одночасно з новим товаром А 0,01b. Чому дорівнює ймовірність того, що новий товар А буде більш конкурентноспроможним?

Подія А - «товар користується попитом».

Подія В₁ - «з'явився товар фірми-конкурента». Р(В₁)=0,03; Р(А/В₁)=0,25

Подія В₂ - «товар фірми-конкурента не з'явився». Р(В₂)=0,97; Р(А/В₂)=0,77 ймовірність інтегральний лаплас пуассон

Скористаємося формулою повної ймовірності:

Р(А)=0,03·0,25+0,97·0,77=0,7544

Відповідь: ймовірність того, що новий товар А буде більш конкурентноспроможним становить 0,7544.

Задача №7

База обслуговує а магазинів. Щодня замовлення на товари можуть надходити з ймовірністю 0,8+0,01b від кожного магазину. Знайти найймовірнішу кількість замовлень, які може отримати база у будь-який день, та ймовірність надходження цієї кількості замовлень.

Формула знаходження найймовірнішого числа подій має вигляд:

п=4; р=0,83; q=1-p=0,17

Ймовірність надходження 3-х замовлень знайдемо за формулою Бернуллі:

Відповідь: надійде найймовірніше число замовлень 4 з ймовірністю 0,5514.

Задача №8

Монету підкидають 100 разів. Яка ймовірність того, що загальне число випадань герба буде:

а) дорівнювати 7а;

б) в межах від 5b до 8а разів?

р=0,5; q=0,5.

а) т=28. Оскільки, п>10, а р>0,1 , то варто застосувати локальну теорему Лапласа, що має вигляд:

, де

б) . Використовуємо інтегральну теорему Лапласа:

, де , ,

Р₁₀₀(15; 32)=-0,4998-(-0,5)=0,0002

Відповідь: а) 0,00004; б) 0,0002

Задача №9

Покупці, які придбали товарів у супермаркеті на суму більше, ніж на 1000b грн., підходять до каси у відповідності з розподілом Пуассона, у середньому b осіб на тиждень. Чому дорівнює ймовірність того, що таких покупців за тиждень підійде до каси:

а) не більше ніж три особи;

б) принаймні дві особи;

в) 5 осіб?

, де а=пр

а= 3

а)

Подія А - «таких покупців за тиждень підійде до каси не більше ніж три особи».

Р(А)=Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3)=0,04979+0,14936+0,22404+0,22404=0,64723

б) Подія В - «за тиждень підійде принаймні дві особи».

Подія - «за тиждень підійде не більше 1 особи»

Р(В)=1-Р()=1-(0,04979+0,14936)=1-0,04043=0,80085

в) т=5

Р(5)=0,10082

Відповідь: а) 0,64723; б) 0,80085; в) 0,10082

Задача №10

Судно, яке має три трюми, завантажується в порту пакетованим металопрокатом. При завантаженні ймовірність травмування кожного пакету складає по першому трюму 0,05+0,001а, по другому 0,07+0,001b, по третьому 0,03. При розвантаженні судна у порту призначення, інспектор перевіряє по одному навмання обраному пекету з кожного трюму. Яка ймовірність того, що серед цих трьох пакетів виявиться:

а) принаймні один травмоманий;

б) принаймні один без пошкоджень;

в) два або три без пошкоджень?

р₁=0,054 р₂=0,073 р₃=0,03

q₁=0,946 q₂=0,927 q₃=0,97

а) Подія А - «принаймні один пакет травмований».

Подія - «жодного травмованого пакету».

Р(А)=1-Р()=1-q₁q₂q₃=1-0,850=0,150

б) Подія В - «принаймні 1 не травмований»

Подія - «всі травмовані».

Р(В)=1-Р()=1-р₁р₂р₃ =0,99988.

в) Подія С - «2 або 3 без пошкоджень»

Р(С)= p₁q₂q₃+q₁p₂q₃+q₁q₂p₃+q₁q₂q₃=0,9925

Відповідь: а) 0,150; б) 0,99988; в) 0,9925.

Размещено на Allbest.ru