Доказательство как средство математического мышления. Представления о доказательности и эволюция понятия доказательства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

на тему: Доказательство как средство математического мышления. Представления о доказательности и эволюция понятия доказательства



Содержание

Введение

1. Теоретические сведения, связанные с понятием доказательства

1.1 Основные понятия математической логики, связанные с понятием доказательства

1.2 Виды доказательств

2. Понятие доказательства в математике

2.1 История развития понятия доказательства

2.2 Понятие математического мышления, доказательство как средство математического мышления

2.3 Опровержение и ошибки в доказательстве

2.4 Примеры различных видов доказательств

Заключение

Список литературы



Введение

Большую часть знаний об окружающей действительности человек получает с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений, а такими считают рассуждения, построенные по правилам логики. Рассуждения лежат в основе доказательства. математический логика аксиоматический

Понятие доказательства является довольно-таки распространённым во многих областях знания, например, в юриспруденции, филологии, истории, но наиболее тесно понятие доказательства связано с математикой. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

В 1939 году Николя Бурбаки свой трактат «Начала математики» открыл такими словами: «Со времён греков говорить «математика»- значит говорить «доказательство». Таким образом, эти два слова являются почти синонимами.

Отличием математического доказательства от доказательств в других областях знания является то, что в математике порог убедительности значительно выше. Математическое доказательство, в отличие от доказательств в других областях знаний, признаётся эталоном бесспорности. Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Учитывая то, что доказательство занимает такое важное место в математике, данная тема является весьма важной, интересной и актуальной.

Цель курсовой работы: рассмотреть понятие доказательства и историю его развития.



1. Теоретические сведения, связанные с понятием доказательства

1.1 Основные понятия математической логики, связанные с понятием доказательства

Для того чтобы говорить об основных понятиях математической логики, следует дать определение данному термину.

Подобно тому, как умение говорить существовало до возникновения науки грамматики, так и искусство правильно мыслить существовало задолго до появления науки логики.

Математическая логика -- раздел математики, посвящённый изучению способов математических доказательств, математических утверждений, вопросов оснований математики. Математическая логика возникла, в сущности, на стыке двух столь разных наук, как философия, или точнее - философская логика, и математика. И, тем не менее, взаимосвязь новой логики с философией не только не оборвалась, но, напротив, парадоксальным образом даже окрепла. Обращение к философии является необходимым условием прояснения логикой своих оснований. С другой стороны, использование в философии понятий, методов и аппарата современной логики несомненно способствует более ясному пониманию самих философских понятий, принципов и проблем[2].

Основной вопрос математической логики - насколько верно рассуждение, выведенное из сделанных посылок.

Основной задачей логики является отделение правильных способов рассуждения (выводов, умозаключений) от неправильных.

Слово «логика» происходит от греческого «логос», что, с одной стороны, означает «слово» или «речь», а с другой - то, что выражается в речи, т.е. мышление. Появление математической логики уточнило и по-новому осветило понятия и методы традиционной формальной логики, существенно расширило её возможности и сферу применимости. Сегодня математическая логика используется в биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике[8].

Логика является именем особой науки о мышлении, называемой также формальной логикой.

Трудно найти более многогранное и сложное явление, чем человеческое мышление. Оно изучается многими науками, и логика - одна из них. Ее предмет - логические законы и логические операции мышления. Принципы, устанавливаемые логикой, необходимы, как и все научные законы. Мы можем не осознавать их, но вынуждены следовать им.

Формальная логика - наука о законах и операциях правильного мышления.

Теперь раскроем основные понятия математической логики, связанные с понятием доказательства.

Определение доказательства включает два центральных понятия логики: понятие истины и понятие логического следования. Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясным и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным.

Понимание того, что такое математическая истина, вызывает серьёзные затруднения. Ведь математические объекты, в отличие от объектов физических, не присутствуют в природе, они существуют лишь в умах людей. Поэтому говорить, что истина - это то, что соответствует реальному положению вещей, можно, в применении к математическим истинам лишь с натяжкой[13].

Не существует, далее, единого понятия логического следования. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе бесконечно много, например: «Логическое следование - это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями». Но ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что принято называть «парадоксами логического следования»[2].

Умозаключение - способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходные знания.

Заключение - высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного [10].

Умозаключения бывают разными. В случае, когда заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности, то такое заключение является дедуктивным.

Кроме дедуктивного умозаключения в математике существует понятие неполной индукции.

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определённым свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса[10]. Выводы, полученные с помощью неполной индукции, носят характер предположения, поэтому они нуждаются в доказательстве, либо опровержении.

Аналогия - умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта [10].

Вывод по аналогии, также носит характер гипотезы и нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Высказывания и высказывательные формы.

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным[2].

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.

Но не всякое предложение является высказыванием. К высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла. Не являются высказываниями и предложения, содержащие в себе оценку, например «Математика - скучный предмет», поскольку нет единого мнения о том, истинно данное предложение или ложно.

Высказывательной формой называется предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений. Например, предложение «Число делится на 2» не содержит переменной в явном виде, но тем не менее является высказывательной формой. Оно становится высказыванием, если на место слова «число» подставлять целые числа. Иначе это предложение можно записать так « Число х делится на 2».

Высказывания делятся на элементарные и составные.

Составные высказывания получаются из элементарных при помощи союзов и словосочетаний.

Поиски большей убедительности математических доказательств привели к появлению так называемого аксиоматического метода. Вкратце он состоит в следующем. Выбираются основные положения рассматриваемой математической теории, которые принимаются без доказательств, а из них уже все остальные положения рассматриваемой математической теории, которые принимаются без доказательств, а из них уже все остальные положения выводят чисто логическими рассуждениями. Эти основные положения получили название аксиом, а те, которые из них выводятся, - теорем. Ясно, что всякая аксиома также выводится из списка аксиом, поэтому удобно аксиомы рассматривать как частный случай теорем ( в противном случае слову «теорема» надо было бы дать такое длинное определение: теорема - это то, что выводится из списка аксиом, однако в этот список не входит. В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные, исходные свойства - неформальный аксиоматический метод[13].

Формальный аксиоматический метод отличается от неформального тем, что в нём совершенно чётко перечисляются не только исходные понятия, но и дозволенные способы рассуждения. Точно указываются те логически переходы, которые разрешается делать. Более того: и аксиомы, и разрешённые логические переходы должны быть оформлены таким образом, чтобы первые могли использоваться, а вторые делаться чисто механически. Для этого нужно уметь оперировать с участвующими в доказательствах утверждениями, опираясь только на их внешний вид, а не на содержание[13].

Простейшие правила вывода. С их помощью устанавливается зависимость логической структуры заключения от логической структуры посылок.

Правило заключения (Modus ponens) - первый не подлежащий доказательству силлогизм стоической логики : если A и A>B -- выводимые формулы, то B также выводима. Форма записи: , где A, B -- любые формулы.

Правило отрицания Modus tollens -- второй не подлежащий доказательству силлогизм. «Если есть первое, то есть и второе, но второго нет, следовательно, нет и первого» [11].

Форма записи:

Предикат -- это функция с множеством значений (или {ложь, истина}), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный». Согласно Авиценне предикат - лишь часть содержания субъекта.

С понятием предиката теснейшим образом связано понятие квантора.

Высказывание, заключающееся в том, что предикат P(x) принимает значение только истина на множестве М, называется квантором общности.

х М Р (х)

х R , .

Высказывание, заключающееся в том, что существует хотя бы один элемент х (из области определения М), на котором предикат Р (х) принимает значение «истина», называется квантором существования и обозначается

Р(х), 0.

Выражения вида: хотя бы n, по меньшей мере n, n и только n, называют численными кванторами. Эти кванторы можно выразить через кванторы общности и существования и логические операции над предикатами.

Правило контрапозиции утверждает, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия влечёт отрицание этой посылки.

.

Правило силлогизма или цепного заключения : если формулы P

окажутся выводимыми, то применив правило заключения к последней формуле, мы найдём, что формула также выводима [9].

. 

Существуют также правила: введения дизъюнкции: ;

удаления дизъюнкции: ;

введения конъюнкции: ;

удаления конъюнкции: ;

перестановки посылок: .

Зная основные правила вывода, можем поговорить о видах доказательств.

1.2 Виды доказательств

Доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство - это цепочка умозаключений, причём заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой из последующих умозаключений[10].

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство умозаключения о том, что 6<8.

В доказательстве различаются тезис - утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) - те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства. Задача доказательства - исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса.

Следует заметить, что математическое доказательство - это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определённом порядке. Самый естественный способ доказать, что объект с заданными свойствами существует, - это его указать, назвать, построить (и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами). Чтобы доказать, например, что уравнение имеет решение, достаточно указать какое-то его решение. Такие доказательства существования чего-нибудь называются прямыми или конструктивными[13]. В них, основываясь на некотором истинном предложении и с учётом условия теоремы, строится цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводит к истинному заключению. Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того факта, что искомый объект существует, происходит без прямого указания такого объекта[13]. При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса[2].

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того, чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

Примером косвенного доказательства является метод от противного.

Данный метод основан на законе контрапозиции, то есть вместо прямой доказывается теорема противоположная обратной: .

Для доказательства предполагаем, что верно утверждение противоположное заключению теоремы. Приходим к тому, что это утверждение противоречит условию, то есть верно . Приходим к противоречию с условием.

Таким образом, косвенное доказательство проходит следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

Так же разновидностью данного метода является сведение к абсурду - Логический закон противоречия говорит о недопустимости одновременного утверждения и отрицания. Абсурдное высказывание представляет собой прямое нарушение этого закона.

(P) .

Принцип Дирихле.

Данный приём назван по имени знаменитого немецкого математика XIX века

Петера Густава Лежёна Дирихле. Вот общая формулировка этого принципа:

Если имеется n ящиков, в которых находятся в общей сложности, по меньшей мере, n+1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат, по меньшей мере, два предмета.

Доказательство с помощью силлогизма.

Пусть есть теорема P, можно подобрать такое утверждение R, что возможно доказать две следующих теоремы :

1)

2).

Тогда по правила силлогизма верна и теорема .

Принцип полной дизъюнкции.

Пусть справедливы теоремы: , , …, и из посылок

, , …, хотя бы одна выполняется, следствия , , …, попарно взаимоисключают друг друга, тогда все обратные теоремы верны.

Метод индукции.

Индукция - это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. В полной индукции заключение с необходимостью, а не с некоторой вероятностью вытекает из посылок. Эта «индукция» является, таким образом, разновидностью дедуктивного умозаключения. Множество А состоит из элементов , , …, . имеет признак В, имеет признак В, значит, все элементы от до имеют признак В, следовательно, все элементы множества А имеют признак В.

Методы доказательства теорем в логике предиката.

Наиболее часто используемые приёмы логических рассуждений были разработаны Аристотелем и называются Аристотилевы силлогизмы.

1. Все М являются К, все К являются N, следовательно, все М являются N.

,

2. Никакое P не является M, некоторое S является M,значит, некоторое S не является P.

Таким образом, нами были рассмотрены основные понятия математической логики, относящиеся к определению доказательства и виды доказательств. Как мы можем видеть, понятие доказательства прошло длительный путь своего развития. Им занимались: Аристотель - основатель логики как науки (разработал Аристотилевы силлогизмы), в III в до н.э. Евклид пытался разработать теорему аксиом, в 1939 году Николя Бурбаки (на самом деле такого математика не существовало, это коллективный псевдоним группы математиков) в своём трактате, подобно грекам, практически отождествил понятия « математика» и «доказательство». Поэтому далее логично будет подробнее поговорить об истории развития данного понятия.



2. Понятие доказательства в математике

2.1 История развития понятия доказательства

Историю развития понятия доказательства нельзя проследить без развития логики как науки.

Логика - одна из самых старых наук. Ее богатая событиями история началась еще в Древней Греции и насчитывает две с половиной тысячи лет. В конце прошлого - начале нынешнего века в логике произошла научная революция, в результате которой в корне изменились стиль рассуждений, методы, и наука как бы обрела второе дыхание. Теперь логика - одна из наиболее динамичных наук, образец строгости и точности даже для математических теорий.

Говорить о логике и легко, и одновременно сложно. Легко потому, что ее законы лежат в основе нашего мышления. Интуитивно они известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно. В этом смысле логика общеизвестна[2].

История логики охватывает около двух с половиной тысячелетий. «Старше» формальной логики, пожалуй, только философия и математика.

В длинной и богатой событиями истории развития логики отчетливо выделяются два основных этапа. Первый - от древнегреческой логики до возникновения во второй половине прошлого века современной логики. Второй - с этого времени до наших дней.

На первом этапе, обычно называемом традиционной логикой, формальная логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных еще Аристотелем. Это дало повод немецкому философу И.Канту в свое время придти к выводу, что формальная логика является завершенной наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг. Кант не заметил, что еще с XVII в. стали назревать предпосылки для научной революции в логике. Именно в это время получила ясное выражение идея представить доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике.

Данная идея связана главным образом с именем немецкого философа и математика Г.Лейбница. По Лейбницу, вычисление суммы или разности чисел осуществляется на основе простых правил, принимающих во внимание только форму чисел, а не их смысл. Результат вычисления однозначно предопределяется этими, не допускающими разночтения правилами, и его нельзя оспорить. Лейбниц мечтал о времени, когда умозаключение будет преобразовано в вычисление. Идеи Лейбница не оказали, однако, заметного влияния на его современников. Энергичное развитие логики началось позже, в XIX в.

Немецкий математик и логик Г.Фреге в своих работах стал применять формальную логику для исследования оснований математики. Фреге был убежден, что «арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никакого обоснования». Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал последнюю. Логическая теория Фреге - провозвестник всех нынешних теорий правильного рассуждения.

Среди российских учёных вклад в развитие логики внесли : П.С.Порецкий, Н.А.Васильев, А.Н.Колмогоров, В.А.Гливенко, А.А. Макаров и другие.

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал: «Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости».

Нельзя не согласиться с учёным, ведь действительно понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено. В странах Древнего Востока (Вавилоне, Древнем Египте, Древнем Китае) решение математических задач приводилось, как правило, без обоснования и было догматичным. Первые математические доказательства, в современном их понимании, приписывают древнегреческим мыслителям Фалесу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII - VI веках до н.э. возник обычай сопровождать математический факт его обоснованием. Появилась потребность не просто сообщать данный факт, но и убеждать слушателя в его истинности, то есть проводить доказательство. По-видимому, сама идея необходимости убеждать слушателей появилась в дискуссиях, в народных собраниях и в судах. Таким образом, логическое доказательство становится основным методом установления истины. В это время были построены первые математические теории и математические модели мира, которые имели вполне современный вид, то есть строились из конечного числа посылок с помощью логических умозаключений.

Древнегреческие доказательства были, можно сказать, безупречны с современной точки зрения. Положение вещей стало меняться с XVII века, когда в математику вошли переменные величины, а вместе с ними - представление о предельном переходе. С сегодняшней точки зрения эти понятия и представления не были достаточно чёткими, а потому и относящиеся к ним доказательства XVII и XVIII веков кажутся теперь нетрогими. Замечательно, однако, что эти нестрогие доказательства приводили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал современной математики. Примечательно то, что доказательства, содержащиеся в трудах Евклида и Аристотеля не потеряли своей убедительности за прошедшие тысячи лет.

2.2 Понятие математического мышления, доказательство как средство математического мышления

Мышление в общем смысле - есть процесс обобщённого и опосредованного отражения действительности в её существенных связях и отношениях.

Выделяют три вида мышления:

- наглядно-действенное;

- наглядно-образное;

- словесно - логическое, к данному типу как раз и относится математическое мышление.

К формам мышления относятся:

Понятие - форма мышления, отражающая существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений, выраженная словом или группой слов.

Суждение - форма мышления, отражающая связи между предметами и явлениями; утверждение или отрицание чего-либо.

Умозаключение - форма мышления, при которой на основе нескольких суждений делается определённый вывод.

Аналогия - форма мышления, в которой на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

К мыслительным операциям относят:

Анализ - мыслительная операция расчленения сложного объекта на составляющие его части или характеристики.

Синтез - мыслительная операция, позволяющая в едином аналитико- синтетическом процессе мышления переходить от частей к целому.

Сравнение - мыслительная операция, основанная на установлении сходства и различия между объектами.

Абстрагирование - мыслительная операция, основанная на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечение от других, несущественных, свойств.

Обобщение - мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Конкретизация - процесс восстановления в мышлении объективной целостности, существующей через связи единичных вещей.

К сожалению, единого мнения по вопросу определения понятия математического мышления в психолого-педагогической и методической литературе нет.

При его характеристике возникают сложные вопросы о взаимосвязи этого понятия с понятиями мышление вообще и конкретные виды мышления.

Одни исследователи считают, что математического мышления как такового, обладающего своими специфическими формами мыслительных действий, нет; своеобразие такого мышления связано, по их мнению, лишь с характером собственно математического материала. Другими словами, представители первого подхода отрицают специфику математического мышления (Л.С. Трегуб, Г. Фрейдепталь и др.).

Так, Л.С. Трегуб полагает, что демонстрация единых принципов человеческого познания означает, что нет особых методов математического мышления, своеобразного по методу и по способу своего функционирования. З.И. Слепкань считает неправомерными попытки введения этого понятия с выделением в нем своих особенностей и компонентов и его отождествление с логическим мышлением, а Г. Фрейдепталь пишет, что пока невозможно убедительно раскрыть суть математического мышления.

Вот что о данном термине говорил Г. Вейль: «Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире -- в физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе»[1].

Второй подход представлен исследованиями Ж. Пиаже и его сторонников. Согласно этим ученым, под математическим мышлением понимается собственно логико-математическое мышление, имеющее так называемые "абстракции действия".

Л. К. Максимов считает, что хотя методы математического мышления сейчас широко применяются в других науках и имеют статус общих методов познания, все-таки оно имеет свои особенности, которые отличают его от мышления в других научных областях. Специфику математического мышления следует искать не в его методах, а в его объектах, - так как первые порождаются вторыми, а также в своеобразии его предметного содержания.

Также можно сказать, что под математическим мышлением понимается, прежде всего, форма, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики.

Математическому мышлению свойственны те качества, которые присущи научному мышлению, т.е. гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность.

Можно выделить следующие признаки математического мышления:

--доминирование логической схемы рассуждения;

--лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

--четкая расчлененность хода рассуждения;

--точность символики.

Основным определяющим признаком культуры математического мышления считается полноценность аргументации, которая предполагает:

--освоение идеи доказательства;

--умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий);

--умение работать с теоремами (понимать их логическое строение, сущность прямой и обратной теорем и т.д.);

--владение общими логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

--владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

Совершенно очевидно, что логика, а, следовательно, и доказательство, теснейшим образом связаны с понятием математического мышления. Вспомним высказывание Джона Локка: «Логика - анатомия мышления». Являясь основой мышления, логика посредством доказательств, рассуждений, умозаключений способствует развитию математического мышления.

2.3 Опровержение и ошибки в доказательстве

Важно уметь не только доказать правильное положение, но и опровергнуть ошибочное. Операция опровержения столь же распространенна, как и операция доказательства, и является как бы зеркальным отображением последней.

Опровержение - это рассуждение, направленное против выдвинутого тезиса и имеющее целью установление его ложности или недоказанности.

Наиболее распространенный прием опровержения - выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что если даже одно-единственное логическое следствие некоторого положения ложно, то ложным является и само положение.

Другой прием установления ложности тезиса - доказательство истинности его отрицания. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верным является отрицание тезиса, вопрос об истинности самого тезиса автоматически отпадает[2].

Если тезис выдвигается с каким-то обоснованием, операция опровержения может быть направлена также против обоснования. В этом случае нужно показать, что приводимые аргументы ложны или несостоятельны.

Ошибочность аргументов выявляется так же, как и ошибочность тезиса: выведением из них следствий, оказывающихся в итоге несостоятельными, или доказательством утверждений, противоречащих аргументам.

Следует иметь в виду, что дискредитация доводов, приводимых в поддержку какого-то положения, не означает еще неправильности самого этого положения. Утверждение, являющееся по сути дела верным, может отстаиваться с помощью случайных или слабых аргументов. Выявив это, мы показываем именно ненадежность предполагаемого обоснования, а не ошибочность опирающегося на него утверждения[2].

Опровержение может быть направлено, наконец, на саму связь аргументов и тезиса. В этом случае надо показать, что тезис не вытекает из доводов, приведенных в его подтверждение. Если между аргументами и тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью приводимых аргументов. Из этого не вытекает, конечно, ни то, что аргументы ошибочны, ни то, что тезис ложен.

Логическая культура предполагает не только умение рассуждать последовательно и доказательно, с соблюдением требований логики, но и способность обнаруживать в рассуждении логические ошибки и подвергать их квалифицированному анализу.

Такие ошибки многообразны по сути. Рассмотрим наиболее характерные и часто встречающиеся.

Доказательство представляет собой логически необходимую связь аргументов и выводимого из них тезиса. Ошибки в доказательстве подразделяются на относящиеся к аргументам, к тезису и их связи.

Ошибки в отношении аргументов. Наиболее частой является содержательная ошибка - попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов (посылок). Законы логики гарантируют истинное заключение, только когда все принимаемые посылки верны. Если хотя бы одна из них ошибочна, уверенности в истинности выводимого тезиса нет, а значит, нет и доказательства. Неверное положение делает несостоятельным всякое доказательство, в котором оно используется. Употребление ложных, недоказанных или непроверенных аргументов нередко сопровождается оборотами: «как известно», «давно установлено», «совершенно очевидно», «никто не станет отрицать» и т.п.

Довольно распространенной ошибкой является круг в доказательстве: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за предпосылку доказательства принимается то, что еще нужно доказать, доказываемая мысль выводится из самой себя и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Эту ошибку иногда так и называют: порочный круг.

Избежать ошибок, связанных с аргументами доказательства, помогает выполнение следующих трех простых требований:

* в качестве аргументов следует использовать только истинные утверждения;

* их истинность должна устанавливаться независимо от тезиса;

* в своей совокупности аргументы должны быть достаточными для того, чтобы из них с логической необходимостью вытекал тезис.

Последнее требование показывает, что принцип «Чем больше аргументов, тем лучше» не всегда оправдывает себя. Дело не в количестве доводов, а в их силе и их связи с отстаиваемым тезисом. Если последний вытекает из одного-единственного истинного положения, то оно вполне достаточно для его доказательства. Как говорит латинская пословица: «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству»[2].

Характерной ошибкой является подмена тезиса, замещение его в ходе доказательства каким-то другим, чаще всего близким ему по форме или содержанию положением. Эта ошибка ведет к тому, что явно высказанный тезис остается без доказательства, но вместе с тем создается впечатление, будто он надежно обоснован.

Потерянная логическая связь. Если хотя бы одна из посылок доказательства неверна, оно теряет силу, в сущности, его нет. Оно может не состояться и по причине формальной ошибки. Она имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из принятых посылок.

Лучшее средство предупреждения формальных ошибок - изучение теории умозаключения, знание законов логики и совершенствование практических навыков их применения[2].

2.4 Примеры различных видов доказательств

В данном пункте приведём примеры доказательств, описанных в пункте 1.2 нашей работы.

1. Метод от противного.

Данный пример встречается в «Началах» Евклида и в современных школьных учебниках. Пусть дан треугольник и два его неравных угла. Требуется доказать утверждение А: против большего угла лежит большая сторона. Делаем противоположное предположение В: сторона, лежащая в треугольнике против большего угла, меньше или ровно стороне лежащей против меньшего угла. Предположение В вступает в противоречие с ранее доказанной теоремой о том, что в любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а если стороны неравны, то против большей стороны лежит больший угол. Значит, предположение В неверно, а верно утверждение А. Интересно, что прямое (то есть не «от противного») доказательство теоремы А оказывается намного более сложным.

2.Сведение к абсурду. Представим себе, что на некотором острове живут только рыцари и лжецы. Причем лжецы всегда только лгут, а рыцари всегда говорят только правду. Приехавший на остров человек встречает двух местных жителей и спрашивает, кто они такие. На что один из них отвечает: «По крайней мере, один из нас лжец». Необходимо узнать, кем является отвечавший.

Предположим, что он является лжецом. Суждение «Ответивший - лжец» обозначим А. Но тогда он сказал неправду, следовательно, ни один из них не является лжецом, и оба они - рыцари. Мы получили противоречие: отвечавший в одно и то же время рыцарь (В) и не рыцарь (). Значит, наше предположение неверно, и тот, кто отвечал, на самом деле является не лжецом, а рыцарем.

3. Принцип Дирихле.

В самолёте летит 380 пассажиров. Докажите, что какие-то два из них отмечают свой день рождения в один и тот же день года. Рассуждаем так. Всего имеется 366 (включая 29 февраля) возможных дат для празднования дня рождения. А пассажиров больше; значит, не может быть, чтобы у всех у них дни рождения приходились на различные даты, и непременно случится так, что какая-то дата является общей по крайней мере для двух человек. Ясно, что этот эффект будет обязательно наблюдаться, начиная с 367 пассажиров. А вот при 366 пассажирах не исключено, что даты (числа и месяцы) их дней рождения будут для всех различны, хотя это и чрезвычайно маловероятно. (Кстати, теория вероятностей учит, что если случайно выбранная группа людей состоит более чем из 22 человек, то более вероятно, что у кого-нибудь из них будет общий день рождения, нежели что у всех у них дни рождения приходятся на разные дни года.)

Как известно, в общем виде данный принцип можно записать так: если имеется n ящиков, в которых находятся в общей сложности, по меньшей мере, n+1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат, по меньшей мере, два предмета. Чтобы увидеть как приведённая формулировка используется в данном примере, нужно мысленно представить себе 366 ящиков и написать на каждом одну из 366 дат года, а затем, мысленно же, разместить по ящикам 380 пассажиров, помещая каждого пассажира в ящик с его датой рождения. Тогда в каком-то из ящиков окажется более одного пассажира, и у этих пассажиров будет общий день рождения[2].

4.Доказательство с помощью силлогизма.

Если треугольник равносторонний, то все его угла равны. Если все углы равны, то каждый из них равен 60, значит, если треугольник равносторонний, то все его углы равны 60.

5. Принцип полной дизъюнкции.

В школьном курсе геометрии доказываются следующие теоремы: «Квадрат длины стороны, лежащей против острого угла треугольника, меньше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника"; "Квадрат длины стороны, лежащей против прямого угла треугольника, равен сумме квадратов длин двух других сторон этого треугольника" (теорема Пифагора); "Квадрат длины стороны, лежащей против тупого угла треугольника, больше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника". Проанализируем данные утверждения в аспекте применимости к ним данного принципа. Введем следующие обозначения для высказываний:

"В треугольнике угол острый";

"В треугольнике угол прямой";

"В треугольнике угол тупой";

"";

"";

"",

где -- длины сторон треугольника; -- его угол, лежащий против стороны длины а. Тогда сформулированные три теоремы можно записать символически:



Ясно, что из трех посылок этих утверждений, по меньшей мере, одна истинна (угол в треугольнике непременно должен быть либо острым, либо прямым, либо тупым), а следствия попарно исключают друг друга. Поэтому заключаем, что истинны и все три обратные импликации:

Например, теорема , обратная теореме Пифагора, читается так: "Если в треугольнике квадрат длины некоторой стороны равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный, причем прямым углом является угол, лежащий против первой стороны".

6. Метод индукции.

При n = 1 равенство примет вид 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

.

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

получим

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

7. Методы доказательства теорем в логике предиката.

А) Все ромбы являются параллелограммами, у всех параллелограммов противолежащие углы равны, значит, у всех ромбов противолежащие углы раны.

Б) Никакой квадрат не является окружностью. Фигура F является квадратом, следовательно, фигура F не является окружностью.



Заключение

Мы пришли к выводу о том, что тенденция включать математическую логику в число математических дисциплин и видеть в ней только теорию математического доказательства является ошибочной. На самом деле задачи логики гораздо шире. Она исследует основы всякого правильного рассуждения, а не только строгого математического доказательства, и ее интересует связь между посылками и следствиями в любых областях рассуждения и познания.

Нами были рассмотрены основные виды математических доказательств, их примеры. Была изучена эволюция понятия доказательства.

Также мы выяснили, что в доказательствах могут существовать ошибки, и, следовательно, некоторые доказательства можно опровергнуть.

Подводя итог работы, можем сказать, что такие понятия как логика, доказательство являются достаточно сложными, объёмными. Они имеют связь с философией. Вместе с тем, они составляют основу математического мышления, как части мышления вообще. Нельзя не согласиться с тем, что данные понятия являются не просто научными терминами, так как мы сталкиваемся с ними не только в своей интеллектуальной деятельности, но и в повседневной жизни: рассуждаем; приходим к каким-либо выводам; споря с кем-то, аргументируем свою точку зрения, то есть, приводим доказательства.



Список литературы

1. Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. И нем. / Под ред. Б.В. Бирюкова и А. Н. Паршина. - М.: Наука,1989. - 400с.

2. Ивин А.А. Логика / А.А. Ивин. - М.: Высш. школа,2004. - 304с.

3.Ивин А. А. Словарь по логике / А.А. Ивин, А.Л. Никифоров. - М.: ВЛАДОС, 1997. - 384 с.

4. Кондаков Н.И. Введение в логику/ Н.И. Кондаков - М.: Наука, 1967. - 467с.

5. Максимов Л.К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения / Л.К. Максимов // Вопросы психологии. - 2002. -№ 2.

6. Марков А.А. Элементы математической логики / А.А. Марков. - Изд-во МГУ,1984. - 80с.

7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Э. Мендельсон. - М.: Наука, 1971. - 320с.ил.

8. Никольская И.Л. Математическая логика: Учебник / И.Л. Никольская. -М.: Высш. школа,1981. -127с.,ил.

9.Новиков П.С. Элементы математической логики / П.С. Новиков. -М.: Наука, 1973. - 400с.,ил.

10. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л.П. Стойлова. - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 424с.

11.Стяжкин Н. И. Формирование математической логики / Н.И. Стяжкин. -М.: Наука,1967. - 508с.

12. Попов П. С. История логики нового времени / П.С. Попов. -М.: Изд-во МГУ, 1960. -265с.

13.Успенский В.А. Простейшие примеры математических доказательств / В.А. Успенский.- М.: Изд-во МЦНМО, 2009. -56с.

14. Шень А. Математическая индукция / А. Шень. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 36 с.

15. История математики В 3 т. Т. 1. С древнейших времён до нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - 353с.

16. История математики В 3 т. Т. 2. С древнейших времён до нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - 303с.

Размещено на Allbest.ru