Дифферениальные уравнения и их решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Контрольная работа №5

Задание №1. Найти общие решения дифференциальных уравнений первого порядка:

а)

Решение:

- общее решение уравнения

б)

Решение:

- общее решение уравнения

в)

Решение:

дифференциальный уравнение сходимость вероятность

Задание №2. Решить дифференциальные уравнения второго порядка:

а)

Решение:

б)

Решение:

Задание №3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:

Решение:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частное решение исходного уравнения будем искать по виду его правой части:

Общее решение исходного уравнения найдем по формуле:

Частное решение исходного уравнения найдем, используя начальные условия:

Задание №4. Исследовать на сходимость числовой ряд:

Решение:

Используем предельный признак сравнения. Сравним исходный ряд с расходящимся гармоническим рядом: .

Так как предел существует и конечен, то исходный ряд тоже расходится.

Задание №5. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

Решение:

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1)

2)

Ряд сходится по признаку Лейбница. Проверим ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда:

Применим к этому ряду признак Даламбера:

Ряд сходится. Тогда исходный ряд сходится абсолютно.

Задание №6. Найти область сходимости степенного ряда:

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда по формуле:

Ряд сходится при , то есть - интервал сходимости ряда.

Исследуем ряд на концах интервала сходимости.

При :

Проверим выполнение условий признака Лейбница

1)

2)

Ряд сходится по признаку Лейбница. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда: . Он представляет собой расходящийся ряд Дирихле (). Тогда ряд сходится условно, точка не включается в область сходимости.

При :

По доказанному выше этот ряд расходится. Точка не включается в область сходимости.

- область сходимости ряда

2. Контрольная работа №6

Задача №1. Детали для сборки изготовлены на двух станках, из которых первый производит в четыре раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,005, а в выпуске второго - 0,035. Наудачу взятая деталь, оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

Решение:

Обозначим через А событие - деталь годна для сборки. Можно сделать два предположения: - деталь изготовлена на первом станке, причем ; - деталь изготовлена на втором станке, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет годной, если она была изготовлена на первом станке, .

Условная вероятность того, что деталь будет годной, если она была изготовлена на втором станке, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь, окажется годной для сборки, по формуле полной вероятности равна:

Искомая вероятность того, что эта годная деталь изготовлена на первом станке, по формуле Бейеса равна:

Задача №2. Вероятность получения по лотерее выигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 400 наугад купленных билетов не менее 40 и не более 50 выигрышных?

Решение:

Используем интегральную теорему Лапласа:

Задача №3. Случайная величина Х задана функцией распределения. Найти плотность распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Плотность распределения:

Найдем математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

Задание №4. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по данной корреляционной таблице:

Решение:

Вычислим средние выборочные и :

Найдем среднее значение величины :

Вычислим дисперсии, а затем средние квадратические отклонения:

Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

Выборочное уравнение прямой регрессии на имеет вид:

Задание №5. По заданному распределению выборки при уровне значимости =0,05 установите, пользуясь критерием Пирсона, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.

Решение:

Найдем выборочную среднюю и выборочное среднеквадратическое отклонение:

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что , по формуле:

Составим расчетную таблицу (значения возьмем из таблицы значений функции ):

Сравним теоретические и эмпирические частоты.

а) Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия

.

Из таблицы находим .

б) По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области:

Так как - нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.

Размещено на Allbest.ru