Размещено на http://allbest.ru

Исследование тройного интеграла

Введение

интеграл цилиндрический координата

Изучить методы решения задач по теме «Вычисления тройного интеграла в цилиндрической системе координат».

1. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат

Тройной интеграл

Основные определения.

Функция И = f (x, y, z) непрерывна в некоторой замкнутой пространственной области объема.

1) Разобьем область объема сеткой поверхностной на элементарные области . Обозначим через объем каждой элементарной области, через - диаметр каждой элементарной области, .

2) Выберем в каждой области точку и найдем значение .

3) Составим интегральную сумму

(*)

Если существующий предел интегрируемой суммы (*), при n>? (max ), таким образом, что область объема стягивается в точку, то этот предел называется тройным интегралом от функции И = f (x, y, z) по области V и обозначает , заменим выражение , следующим выражением , тогда получим

(1)

Теорема и свойства тройного интеграла.

Если функция непрерывна в области V, то предел (1) существует и не зависит от способа разбиения области V на элементарные области , ни от выбора точек .

Свойства интеграла:

1⁰ ;

2⁰ ;

3⁰ Пусть область , тогда ;

4⁰ Пусть функция , тогда , если функция в области V, то тройной интеграл от функции будет иметь следующий вид , аналогично если функция ;

5⁰ ;

6⁰ Пусть точки , тогда оценка тройного интеграла.

7⁰ Если непрерывна в области V, то существует точка принадлежащая области V, такая что , - среднее значение функции в области V.

Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат.

Для упрощения вычисления тройного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. замена переменных в тройном интеграле.

Определим замену следующим образом:

Пусть , где ,, имеют непрерывные частные производные по всем переменным в некоторой области принадлежащая .

Если существует отличный от нуля

,

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

(2)

Положение точки М в пространстве могут определить три координаты , где длина радиус вектора проекции точки М на плоскость ХОY;

аппликата точки М;

угол между осью ОХ и радиус вектором;

цилиндрические координаты точки М.

, .

Формула перехода от декартовой системе координат к цилиндрической системе координат примет следующий вид:

, тогда

Формула перехода от декартовой системе координат к цилиндрической системе координат примет следующий вид:

,

если , то получим следующее выражение:

,

следовательно, переход от декартовой системы координат к цилиндрической системе координат полезен в том случае если область интегрирования V цилиндр или ее часть.

Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла по области следующего вида:

Размещено на http://allbest.ru

Перейдем в ЦСК

,

из данных условий видно, что интеграл можно записать следующим образом

2 Практическая часть

2.1 Изменить порядок интегрирования

2.2 Вычислить

Размещено на http://allbest.ru

,где

.

2.3 Вычислить

Размещено на http://allbest.ru

,где

2.4 Вычислить

где

2.5 Вычислить

,где

2.6 Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

2.7 Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

2.8 Пластина D задана ограничивающими ее кривыми, µ - поверхностная плотность. Найти массу пластины.

В ПСК

2.9 Пластина D задана неравенствами, µ - поверхностная плотность. Найти массу пластины

Перейдем в ПСК

.

2.10 Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

.

2.11 Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Перейдем в ПСК

.

2.12 Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Тело ограничено снизу поверхностью

и сверху

.

2.13 Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Перейдем в ЦСК

2.14 Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Найдем пересечение

Область ограничена:

Перейдем в ЦСК

2.15 Найти объем тела, заданного неравенствами

Перейдем в ССК

2.16 Тело V задано ограничивающими его поверхность, µ - плотность. Найти массу пластинки

Перейдем в ЦСК

Заключение

В ходе выполнения работы изучены методы решения задач по теме «Вычисления тройного интеграла в цилиндрической системе координат».

Список использованных источников

1 Сборник заданий по высшей математике. Под ред. Л.А. Кузнецова, Лань, 2008, Издание 11-е

2 Высшая математика. (В 3-х томах). Под ред. Бугрова Я.С., Никольского С.М., М.: Дрофа, 2004

3 Руководство по решению задач по математическому анализу. Под ред. Запорожец Г.И., 1966

Размещено на Allbest.ru