Импульсная переходная функция

Размещено на http://www.allbest.ru/

Весовая функция -- математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры.

Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Весовая функция -- это реакция системы на единичный импульс.

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а) б) в) показаны три импульса, имеющих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрелкой, высота которой равна единице (рисунок г).

Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевидно, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бесконечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал - единичный импульс или дельта-функцию Дирака ?(t). Это идеальный (невозможный в реальной жизни) сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0, где он уходит к бесконечность, причем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t). Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t, кроме нуля, где она обращается в бесконечность.

Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) так же называется импульсной характеристикой и обозначается w(t):

Импульсная характеристика определяется при нулевых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.

Рассматривая дельта-функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единичной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.

Пусть ширина прямоугольного импульса равна ?, а высота - 1/ ?. Такой импульс можно представить в виде разности двух ступенчатых сигналов

x(t) = [1(t) ?1(t ??)],

где 1(t ??) - это единичный ступенчатый сигнал, который приходит в момент t = ? , то есть, смещен по времени на ? (рисунок)

Так как для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, сигнал на выходе будет равен разности реакций системы на входы 1(t) и 1(t ??) , умноженной на коэффициент 1/ ? . Учитывая, что реакция на сигнал 1(t) - это переходная функция h(t) , получаем

y(t) = [h(t) ? h(t ??)].

Переходя к пределу при ? > 0 , находим, что импульсная характеристика

как оказывается, равна производной от переходной функции. Наоборот, переходная функция - это интеграл от импульсной характеристики на интервале от 0 до t:

h(t) =

Дифференцируя переходную характеристику звена первого порядка, получаем соответствующую импульсную характеристику:

Другое название импульсной характеристики - весовая функция. Это название связано с тем, что для произвольного входного сигнала x(t) выход системы y(t) при нулевых начальных условиях вычисляется как интеграл

весовой функция импульс дискретный

Недостатки:

Импульсная характеристика дает неполную информацию об объекте, поскольку не учитывает ненулевые начальные условия.

В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невозможно получить на реальном устройстве, поэтому снять импульсную характеристику системы, строго говоря, экспериментально не удается.

Размещено на Allbest.ru