Однозначные ветви многозначных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образованя и науки Республики Казахстан Костанайский государственный университет им.А.Байтурсынова.

Кафедра информатики и математики

Реферат

На тему : «Однозначные ветви многозначных функций.Функция щ=.Функция щ=».

Выполнил:Сальник Ю, 3 курс,

5В060100-математика

Проверил: Ысмагул Р.С

Кандидат физико-математических наук,доцент

Костанай, 2014

Содержание

1. Однозначные ветви многозначных функций

2. Функция щ=

3. Функция щ=

Заключение

1. Однозначные ветви многозначных функций

Для того, чтобы к многозначным функциям можно было применять понятия и результаты полученные для однозначных функций, нужно уметь выделять однозначные ветви этих функций. Вот каким образом это обычно достигается.

Пусть z=f(щ)-функция определенная, однозначная и непрерывная (в обобщенном смысле) в области G,расширенной плоскости. Предположим, что область G удалось разбить каким-либо способом на конечное или счетное множество областей ,...попарно не имеющих общих точек так, что любая точка области G является внутренней для одной только области или же общей граничной точкой, по крайней мере для двух областей и ,причем в каждой из этих областей отображение z=f(щ) является однозначным. Тогда, образ каждой из областей будет областью f()=и весь образ f(G) будет покрываться областями а также образами частей границ областей .

Будем рассматривать обратную функцию щ=F(z) в каждой из областей ,определяя ее тем дополнительным условием, что ее значения принадлежат -прообразу области тогда функция F(z), вообще многозначная, представится посредством нескольких, быть может бесконечно многих, однозначных и непрерывных,в обобщенном смысле, функций (z).Каждую из них называют однозначной ветвью функции F(z) в соответствующей области .При этом определении важно помнить, что характер областей ,а вместе с тем и однозначных ветвей функции (z),существенно зависит от того, как именно область G разбита на области .В простейших случаях область G допускает такое разбиение на области при котором соответствующие области совпадают между собой.

Пусть например ,….совпадают с одной и той же областью ,тогда многозначная функция щ=F(z) обладает многими, может быть бесконечно многими, однозначными ветвями в области , а именно (z),(z),…

Ко всему вышесказанному выше нужно прибавить, что для произвольной непрерывной функции z=f(щ) разбиение области G на области , удовлетворяющие указанным выше условиям, вообще говоря, невозможно.

Однако, для случая, когда f(щ) аналитическая в области G(за исключением изолированных точек, в которых она превращается в ?),подобное разбиение всегда возможно и притом бесконечно многими способами. Назовем функцию z=f(щ), аналитическую в некоторой области g,(за исключением, быть может, точек, в которых она обращается в ?),и принимающую в различных точках области различные значения(f()? f(),если ? и ,€g),однолистной в области g.Если же в области существует, по крайней мере, одна пара различных точек, в которых f(щ) принимает одно и тоже значение: f()=f(), ? ,то мы назовем эту функцию многолистной в этой области.

Факт, на который мы сослались выше,(без доказательства),можно формулировать так: если аналитическая функция z=f(щ) многолистна в области G, то эту область можно разбить на конечное или счетное множество областей, в каждой из которых f(щ) будет однолистной. Соответствующие области называются областями однолистной функции f(щ).Таким образом, к функциям, обратным по отношению к многолистным, всегда применяем описанный выше способ выделения однозначных ветвей.

Иллюстрируем указанный способ на элементарных функциях, разбиение области G, на области однолистности будет получаться каждый раз путем использования известных свойств элементарных функций.

2. Функция щ=

Рассмотрим радикал щ=. Представляющий функцию, обратную по отношению к степенной функции z= (n-натуральное число, больше, чем единица).

При каждом z, отличном от нуля и бесконечности, радикал имеет n различных значений, которые даются формулой:

щ=(cos + isin ) (1)

При z=0 и z=? получаем по одному значению функции соответственно щ=0 или щ=?.

n значений (1),представляющих те точки плоскости щ, в которых принимает одно и тоже значение z,располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность =.

Обратно: Вершины любого правильного n-угольника с центром вначале координат можно рассматривать как n значений .Поэтому область g плоскости щ будет областью однолистности для z= тогда и только тогда, когда из n вершин любого правильного многоугольника с центром щ=0 она содержит не более, чем одну вершину.

Очевидно, этому условию удовлетворяет каждый угол раствора с вершиной в начале координат.

Проведем из начала координат n прямолинейных лучей под равными углами. Тогда найдем, что вся плоскость, в которой определена многолистная функция z= ,разделится на n областей однолистности этой функции: ,....Образом каждой из них будет одна и та же область плоскости z, границей которой является некоторый прямоугольный луч L, выходящий из начала. Если область ограничена лучами, составляющими углы + и + с положительной частью действительности оси угол .

Сообразно получим в области n однозначных ветвей функции . Каждая из них (k=1,2,….n) вполне определяется условием, что ее значение принадлежат области . Так как z= имеет отличную от нуля производную во всех точках области ?==.

Возьмем теперь систему прямолинейных лучей выходящих из начала координат, получающуюся из предыдущей путем поворота вокруг начала координат на угол л (0 < л< ).

Тогда новая система разделит плоскость щ на n областей ,….,из которых каждая область будет иметь общие части с двумя соседними областями и (если k=n, то следует заменить на ) (рис.1).

Рис. 1

Образом каждой из областей плоскости щ будет одна и та же область D, ограниченная прямолинейным лучом М, выходящим из начала координат под углом +nл к положительной части действительной оси. В этой области мы также получим n однозначных ветвей функции , на которых каждая вполне определяется тем, что ее значения принадлежат соответствующей области . Обозначим эти ветви через .Они являются дифференцируемыми в области и для их производных имеем:

=1:n.

Сравним их с ветвями , так как часть прообраза области D? в плоскости щ принадлежит области , а часть области , то ветвь в частности области D?(представляющей образ общей части областей и ) будет совпадать с , а в другой части области D? (представляющей образ общей части и ) будет совпадать с .

Мы видим, что при замене одних областей однолистности другими каждая новая однозначная ветвь получается путем объединения части определения одной из прежних ветвей с частью определения другой прежней ветви.

Если угол поворота л=0, то совпадает с D? с G? и каждая ветвь совпадает с .Когда же угол л, непрерывно увеличиваясь, приближается к , то область приближается к , соответствующая область D? к G? и ветвь во все больше и больше части области D? совпадает с (вместо и следует брать и ) при л=совпадает с , D? с G? и каждая ветвь переходит в ветвь .

За переходом одной ветви в другую можно проследить также, заставляю точку z описывать полный круг с центром в начале координат. Если значение в точке было взято принадлежащим ветви и изображалось точкой области

=(+i).

То при непрерывном движении точки z по окружности = в положительном направлении соответствующее значение радикала

=(+i)

Будет непрерывно изменяться вместе с ц, и после полного обхода и возвращения точки z в исходное положение значение радикала прейдет в

=(+i).

Последнее получается из путем поворота вокруг начала координат на угол , следовательно, точка принадлежит области , соседней с , и вляется значением ветви в точке

Это заключение применимо к любой области G?, откуда следует, что в результате обхода точкой z окружности любого радиуса с центром в начале координат значения , непрерывно изменяясь, переходит от ветви к ветви .

Понадобится n-кратный обход точки z в положительном направлении вокруг точки z=0 для того чтобы ветви радикала заменяясь одна другой

( на , на ,…, на )

вернулись к исходной ветви.

Точка, обладающая тем свойством, что полный (однократный) обход вокруг нее в любой ее окрестности по какой-либо замкнутой жордановой кривой заменяет одну непрерывно изменяющуюся ветвь многозначной функции другой ветвью этой функции, называется точкой разветвления функции.

То обстоятельство, что после n-кратного обхода в одном и том же направлении мы снова возвращаемся к исходной ветви, выражают, говоря, что данная точка разветвления обладает конечным порядком, а именно порядком n-1, и точку эту называют алгебраической точкой разветвления (в данной точке существует предел функции(конечный или бесконечный)).

Итак, точка z=0 есть алгебраическая точка разветвления n-1 для функции

.

Очевидно, точку z=? можно также рассматривать как алгебраическую точку разветвления порядка n-1функции , так как каждый обход вокруг нее вдоль окружности сколь угодно большего радиуса с центром вначале координат является вместе с тем и обходом вокруг начала координат. Поэтому многозначная функция щ= имеет две точки разветвления в плоскости z: z=0 и z=? обе порядка n-1.

Описанные выше однозначные ветви этой функции строились для областей типа D? или G?, граница которых представляла прямолинейный луч, соединяющий обе точки разветвления. Более общий тип подобной области получится, если вместо прямолинейного луча провести произвольную жорданову кривую расширенной плоскости, соединяющую плоскости 0 и ?.

Пусть Г-эта кривая и G ограниченная ею область. Если точка z описывает Г от начальной точки (0) до конечной (?), то соответствующие ей n точек щ= описывает n жордановых кривых , соединяющих точку 0 с точкой ?, и составляют попарно ( с ) замкнутые жордановы кривые расширенной плоскости.

Пусть - та из двух областей ограниченных кривыми , которая не содержит кривых , …, ,…,

При повороте плоскости z вокруг начала координат на угол переходит в в и область в .Так как и не имеют общих точек, то е одна из этих областей не содержит пары точек, которые переходили бы одна в другую в результате такого поворота. Поэтому все области являются областями однолистности для z= и мы получаем n, однозначных ветвей функции в области G,потребовав чтобы значения каждой ветви принадлежало соответствующей области . Для фиксации одной ветви достаточно указать значение точке области G, если это значение есть , то найдется единственная область , содержащая точку , и вместе с тем и единственная ветвь в области G, принимающая значение в точке

Именно таким путем и поступают, когда хотят фиксировать определенную ветвь .

Пусть и - две ветви в области G и их значение в некоторой точке , суть соответственно и . Так как

== =(+i),

== =(+i).

Где и , целые числа, то можно получить из путем умножения на:

?= + i.

Т. е на одно и то же из значений . Но умножая функцию на число ?, мы, очевидно получаем однозначную и непрерывную в области G функцию ? , значения которой представляют и принадлежат той же области, что и точка ? - . Следовательно, ? = во всей области G.

Мы видим, что две ветви в одной и той же области могут быть получены одна из другой путем умножения на некоторые значения .

Все выводы переносятся с соответствующими очевидными изменениями на функции более общего вида

щ= или щ=.

3. Функция щ=

Для лучшего понятия точки разветвления рассмотрим многозначную функцию щ=, где -произвольный многочлен. Пусть N степень этого многочлена, , …, все различные его нули,(+ …+=N). Тогда можно представить в виде

…, (1)

Откуда (2)

Рассмотрим произвольную замкнутую жорданову кривую y(например окружность), не проходящую ни через одну из точек (k=1,…,m).

Заставим z однократно обойти эту кривую в определенном направлении. Фиксируем значения аргументов для ,…, в какой либо точке на кривой y. Пусть эти значения будут ,…, При обходе точкой z кривой y угол между вектором z-и положительном направлении действительной оси будет непрерывно изменяться, отправляясь от начального значения , и в результате однократного обхода кривой y он либо вернется к прежнему либо приобретет приращение +2р, -2р(если точка лежала во внутренности (Рис.2.).

Рис. 2

При этом значение + или - будет зависеть только от выбранного направления обхода кривой, мы будем называть положительным то направление, при котором соответствующие углы получают положительное приращение 2р. Предположим для определенности, что точка z описывает y в положительном направлении. Если не одна из точек внутри y, то все углы вернутся в результате обхода к первоначальным значениям , а вместе с тем вернется к первоначальному значению и функции. Отсюда следует, что ни одна из конечных точек о плоскости, отличных от не может быть точкой разветвления для этой функции.

Итак, никакая конечная точка о отличная от всех не является точкой разветвления для f(z).

Рассмотрим теперь окрестность точки настолько малую, что ,…, ,,…,.Тогда при обходе кривой y, принадлежащей этой окрестности и содержащей внутри, угол изменится на 2р, тогда все углы ,…,,…, вернутся к прежним значениям. Отсюда следует, что аргумент подкоренного выражения (2) в результате обходов кривой y изменится на 2р, а следовательно радикал (2) приобретет множитель + , который будет отличным от единицы тогда и только тогда, когда не является кратным n. Итак, каждый нуль является точкой разветвления для функции . Чтобы определить порядок этой точки, предположим, что (есть наибольший общий делитель и n.Тогда =д и n=(>1), запишем двучлен + , в виде

+ .

функция многозначный радикал разветвление

В результате р- кратного обхода кривой y в одном и том же направлении функция f(z) приобретет множитель + , который, очевидно, будет равным единице тогда и только тогда, когда р кратно .

Отсюда следует, что порядок точки разветвления есть .

Рассмотрим, наконец, окрестность бесконечно удаленной точки не содержащую не одну из точек и в этой окрестности жорданову кривую y,содержащую внутри все точки . Совершим однократный обход кривой y. Все углы ц приобретут приращение 2р, следовательно аргумент подкоренного выражения в формуле (2) изменится на 2р(+ …+) и вся функция приобретет множитель

+ = + .

Он будет равен единице или отличен от единицы в зависимости от того, будит ли N кратным n или нет. В первом случае ? не будет, а во втором будет точкой разветвления функции f(z).Если при этом д есть наибольший общий делитель N и n(д<n) и n=дv, то порядок бесконечно удаленной точки, рассматриваемой как точка разветвления, будет равняться v -- 1.

Мы заметили, что в случае, когда кратно z, обход жордановой кри-вой у, заключающей внутри точку и не заключающей ни одной из осталь-ных точек , не изменяет значения f(z). Точно так же не изменяет значе-ний f(z) обход кривой у, заключающей внутри все точки в случае, когда N кратно n.

Пусть вообще ,…,такая группа точек разветвления, для ко-торой сумма ,…,кратна n; тогда обход любой замкнутой жорда-новой кривой у, содержащей внутри указанные точки и не содержащей ни одной точки, отличной от них, не сможет изменить значений f(z).Поэтому во всякой области G, содержащей только такие замкнутые жордановы кри-вые, внутренности которых либо не заключают ни одной точки разветвления либо заключают группы точек разветвления, для которых суммы соответствующих чисел делятся на n, можно выделять однозначные ветви функции f(z).

Для этого достаточно фиксировать значение функции f(z) в одной из точек этой области. Среди n образов f(G) области G в плоскости щ, один будет содержать точку , пусть это образ есть .

Тогда однознач-ная ветвь функции f(z) в области G вполне определится тем требованием, что все ее значения принадлежат. Значение этой ветви в любой точке области G можно получить также следующим образом: соединим точку с точкой какой-нибудь непрерывной кривой л, принадлежащей области G, и будем пробегать эту кривую от точки до точки следя за тем, чтобы соответствующее значение f(z) непрерывно изменялось, начиная от .

Тогда мы придем в точку с одним из n значений f(z), которое обозначим через. Это значение зависит только от значения , выбран-ного в точке , и от самой точки и не зависит от выбора пути, соединяющего с и следовательно, представляет однозначную функцию от в области G.

В самом деле, если другая кривая, соединяющая и в области G, то при обходе замкнутой кривой y, составленной на и мы получим сначала двигаясь от точки до точки , вдоль значение в точке а затем, двигаясь, вдоль от точки должны вновь прийти к исходному значению (так как обход замкнутой кривой в области G, по условию не может привести к изменению значений функции f(z)).

Отсюда и следует, что, двигаясь вдоль от точки мы придем в точке к тому же значению , что и при движении вдоль

Заключение

Итак, установлено наличие различных ветвей функции f(z) при помощи понятия областей однолистности.

Мы рассмотрели различные однозначные ветви многозначной функции, этих ветвей будет ровно n. Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей, достаточно указать в какой из областей изменяется z.

Размещено на Allbest.ru