Справочник по высшей математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Алгебра

1.1 Определители

1. Определитель второго порядка задается равенством

.

2. Определитель третьего порядка задается равенством

.

3. Свойства определителей. 1. Определитель равен нулю, если он содержит: две одинаковые или пропорциональные строки; строку (столбец) из нулей. 2. Определитель не изменится, если к любой его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 3. Разложение определителя по любой строке (столбцу):

.

4. Способы вычисления определителя третьего порядка.

а). Правило Саррюса (дополнения): б). Правило треугольников:

матрица алгебраический геометрия лопиталь



в). Разложение определителя по первой строке:

.

1.2 Действия над матрицами. Обратная матрица

1. Матрицей порядка называется прямоугольная таблица, составленная из действительных чисел и содержащая строк и столбцов:

.

2. Сумма (разность) матриц одного порядка = , .

3. Произведение матрицы на число .

4. Произведением матриц и называется матрица , элементы которой равны сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы и -го столбца матрицы

 :

.

При умножении матрицы порядка на матрицу порядка получится матрица порядка .

Некоммутативность (неперестановочность) умножения матриц: .

5. Если - невырожденная квадратная матрица (определитель матрицы ), то существует единственная матрица , называемая обратной к матрице , такая, что , где - единичная матрица.

Чтобы найти необходимо: - вычислить определитель матрицы ; - найти алгебраические дополнения каждого элемента матрицы ; - составить из чисел матрицу ; - транспонируя матрицу , составить матрицу ; - умножить матрицу на число : ; - делаем проверку .

1.3 Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений третьего порядка имеет вид

1. Правило Крамера: если определитель матрицы системы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам

, , ,

где определитель матрицы системы; определитель, получаемый из определителя заменой го столбца столбцом свободных членов, .

2. Матричный способ: система линейных уравнений в матричной форме имеет вид , где

, , .

Решение матричного уравнения определяется формулой .

3. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для краткости вместо системы рассматриваем расширенную матрицу ее коэффициентов, которую приводим к треугольному виду:

с помощью следующих, не меняющих решения, преобразований: 1. В можно менять местами строки.

2. Можно в менять местами столбцы слева от прямой черты. 3. К одной строке можно прибавить другую, умноженную на некоторое число.

Треугольную матрицу записываем в виде уравнений снизу вверх, последовательно находя неизвестные.

1.4 Векторы

Вектором называется направленный отрезок.

Координаты вектора с началом в точке и концом в точке :

.

Длина вектора:

.

Проекция вектора на ось u: , - угол между осью и вектором .

Направляющие косинусы:

;;

Сумма (разность) векторов и : . Произведение вектора на число : .

Условие коллинеарности векторов:

 .

Разложение вектора по векторам : , где - координаты вектора в системе координат .

1.5 Нелинейные операции над векторами

1. Скалярное произведение векторов - число ; 1). проекция вектора на вектор ; 2). если , то .

Свойства: 1). ; 2). ; 3). скалярный квадрат , тогда ; 4). ; 5). . Условие перпендикулярности векторов: .

Угол между векторами:

.

2. Векторное произведение - вектор , определяемый условиями: 1). ; 2). перпендикулярен и , и ; 3). вектор направлен так, что с его конца переход от первого сомножителя ко второму виден как переход против часовой стрелки.

В координатах, если , , то



. .

Свойства векторного произведения: 1). ; 2). ; 3). ; 4). , , ; , , ; , , . Геометрически модуль векторного произведения - площадь параллелограмма: .

3. Смешанное произведение векторов - число .

Если ; , то

.

Геометрически - объемы параллелепипеда и пирамиды: ,

Условие компланарности векторов: .

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1 Простейшие задачи на плоскости

Уравнение линии на плоскости .

Расстояние между двумя точками : .

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках :

.

Координаты точки , делящий отрезок в данном отношении :

.

Координаты середины отрезка ():

.

Полярные координаты: , ; , , .

2.2 Прямая на плоскости

Уравнения прямой:

общее:, вектор перпендикулярен прямой;

с угловым коэффициентом: ;

проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом : ; проходящей через две точки :

;

в отрезках: .

Угол между двумя прямыми, заданными: общими уравнениями и :

;

уравнениями с угловым коэффициентом , :

.

Условия параллельности прямых:

, .

Условия перпендикулярности прямых: , .

Расстояние от точки до прямой :

.

2.3 Кривые 2 порядка

Уравнение второго порядка задает: окружность при ; эллипс при ; гиперболу при ; параболу, если или . Уравнения окружности: с центром в т. и радиусом : ; с центром в т. : . Каноническое уравнение эллипса: Каноническое уравнение гиперболы: Канонические уравнения параболы:

2.4 Плоскость в пространстве

Уравнения плоскости:

проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

;

общее:

; - вектор нормали;

в отрезках:

;

проходящей через три данные точки :

.

Угол между плоскостями

:

.

Условие параллельности плоскостей:

.

Условие перпендикулярности плоскостей

.

Расстояние от точки до плоскости

:

.

2.5 Прямая в пространстве

Уравнения прямой:

как линии пересечения двух плоскостей:

проходящей через точку параллельно вектору : - канонические уравнения прямой;

параметрические:

проходящей через две данные точки

:

.

Угол между прямыми:

.

Условие параллельности прямых:

.

Условие перпендикулярности прямых:

.

Расстояние от точки до прямой

:

.

2.6 Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве

Условие параллельности прямой и плоскости :

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Угол между прямой и плоскостью:

.

3. ПРЕДЕЛЫ

Определенные выражения при нахождении пределов: ;

; ; ; ;

Неопределенности: , , , .

Раскрытие неопределенностей.

1. . Разделить числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень неизвестного, содержащуюся в тие неопределенностей дроби. При этом при

2. . Разность квадратных корней умножить и разделить на их сумму; разность дробей привести к общему знаменателю; неопределенность приводится к неопределенности .

3. . a). Многочлены в рациональной дроби разложить на множители и сократить на множитель, дающий нуль. б). Разность квадратных корней умножить и разделить на их сумму, а разность кубических корней - на неполный квадрат суммы или сделать замену. в). Первый замечательный предел

; ; ; .

Сравнение бесконечно малых в точке . Эквивалентные бесконечно малые:; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Второй замечательный предел (неопределенность ).

; .

Если , , то .

4. ПРОИЗВОДНАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Производная от функции в точке :

.

Дифференциал функции : .

Правила дифференцирования

1.. 2. . 3. . 4. .

Таблица производных основных элементарных функций

1. . 2. ; ; ; . 3.;

. 4. ; . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

Производная сложной функции .

Логарифмическая производная: .

Вторая производная: .

Производная го порядка: .

Производная показательно-степенной функции: .

Производная неявной функции

Если функция задается соотношением , то говорят, что она задана неявно. При нахождении производной необходимо помнить, что является функцией аргумента .

Пример. .

Производная параметрически заданной функции.

Параметрически заданная функция : , .

Ее производная:

.

Вторая производная параметрически заданной функции:

=.

5. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

5.1 Правило Лопиталя

Если предел представляет собой неопределенность или , и существуют производные функций и в окрестностях точки , то . Если производные обладают теми же свойствами, что и функции, то возможно повторное применение правила:

, и т.д.

5.2 Монотонность функции. Экстремумы. Выпуклость графика функции. Асимптоты

Монотонность: функция возрастает (убывает), если Точки, подозрительные на экстремум (критические): не существует. 1 достаточное условие существования экстремума. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в этой точке существует максимум (минимум) функции. 2 достаточное условие существования экстремума. Если в критической точке вторая производная функции (), то в этой точке существует максимум (минимум) функции. Выпуклость вверх (вниз) на , если на (). Точки, подозрительные на перегиб: не существует. Достаточное условие существования перегиба. Если при переходе через точку, подозрительную на перегиб, вторая производная меняет знак, то в этой точке перегиб - изменение направления выпуклости функции - существует. Вертикальные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если и (или) . Наклонные асимптоты графика : где , Горизонтальная асимптота при : Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.

Размещено на Allbest.ru