Числа Фибоначчи

Размещено на http://www.allbest.ru

Департамент образования города Москвы

Реферат

на тему: «Числа Фибоначчи»

Москва 2014

Содержание

1. Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

2. Книга об абаке

3. Числа Фибоначчи

4. Золотое сечение

5. Программа для расчета чисел Фибоначчи

Заключение

Список используемой литературы

1. Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

Леонардо Пизанский (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза -- около 1250 года, там же) -- первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибонамччи.

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию.

Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе.

На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.

2. Книга об абаке

Фибоначчи написал несколько математических трудов: "Liber abaci", "Liber quadratorum", "Practica geometriae". Наиболее известным из них является "Liber abaci"(книга об абаке - счетной доске). Этот труд вышел при жизни Фибоначчи в двух изданиях в 1202 г. и 1228 г.

В “ Liber Аbaci “ Фибоначчи приводит свою последовательность чисел как решение математической задачи - нахождение формулы размножения кроликов. Числовая последовательность такова: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 (далее до бесконечности).

На странице 123-124 данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу: “некто поместил пару кроликов а некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Из приведенной задачи становиться ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующие же члены равны сумме двух предыдущих.

Эта книга представляет собой объёмный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином.

“ Liber abaci ”, или трактат по арифметике (а именно так можно истолковать название, поскольку под “ абаком “ Леонардо понимал не счетную доску, а арифметику), отличалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не только азы науки о числах и действиях над ними, но и основы учения об уравнениях, т.е. алгебры. Кроме, того в “ Liber abaci ” имелось большое количество задач практического содержания, иллюстрировавших различные приёмы решения, как арифметические - тройное правило, правило товарищества, метод ложного положения и др., так и алгебраические, приводящие к одному или нескольким уравнениям.

Трактат Леонардо приобщил к достижениям индийских и арабских математиков европейских ученых и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. “Liber abaci” была востребована математиками эпохи Возрождения и Нового времени, сумевшими оценить её по достоинству, ведь книга отличалась не только богатством и разнообразием рассмотренных в ней примеров и методов, но и строгостью, доказательностью изложения.

На протяжении нескольких столетий по труду Фибоначчи ученые знакомились с двумя важнейшими разделами математики - арифметикой и алгеброй и черпали из него задачи и оригинальные методы решения, благодаря чему уже в XV-XVI вв., те разошлись по многочисленным итальянским, французским, немецким, английским, а позже и русским рукописям, печатным книгам и учебникам.

фибоначчи математика алгебра

3. Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи -- элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений , как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»:

Легко заметить, что

.

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами -- стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиноюn является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

4. Золотое сечение

Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) - деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.

Золотое сечение (золотая пропорция) -- пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Принципы «золотого сечения» используются в математике и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.

«В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер. Гениальный ученый поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.

Однако «золотому сечению» повезло меньше, чем теореме Пифагора - «классическая» наука и педагогика его игнорируют, а «официальная» математика не признаёт.

В математике принцип «золотого сечения» впервые был сформулирован в «Началах» Эвклида, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Рассмотрим взаимосвязь «золотого сечения с числами Фибоначчи.

Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.

Фибоначчи так же занимался решением, практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказал, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16... Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором - это сумма двух предыдущих чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2....

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Присутствие золотой пропорции и чисел Фибоначчи в живой природе позволяют говорить о некотором едином механизме их возникновения. Числа Фибоначчи и золотое сечение являются математическим описанием некоторого формообразующего процесса. На микроуровне (целочисленном) количественная характеристика этого процесса проявляется как числа Фибоначчи, а на макроуровне (статистическом) как основание золотой пропорции - число б. Если такой формообразующий процесс является законом живой природы, то с его помощью можно объяснить наличие золотой пропорции в соотношении частей тела человека и животных.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. Принципу Золотого Сечения подчинены и периоды обращения планет Солнечной системы.

5. Программа для расчета чисел Фибоначчи

Задача:

Вывести на экран ряд чисел Фибоначчи, состоящий из n элементов.

Описание переменных:

n-количество элементов ряда;

a, b - значения двух последних элементов ряда;

c - буферная («запасная») переменная;

i - счетчик.

Алгоритм решения задачи:

1. Получить значение n.

2. Присвоить a и b значения 0 и 1 соответственно (это первые числа ряда Фибоначчи). Вывести их на экран.

3. Начиная с 3-го элемента по n,

a. выводить на экран сумму a и b,

b. сохранить значение переменной b в c,

c. записать в b сумму a и b,

d. присвоить a значение с.

Программа на языке Паскаль:

var

a,b,c,i,n: integer;

begin

write('n = ');

readln(n);

a := 0;

write(a,' ');

b := 1;

write(b,' ');

for i:=3 to n do begin

write(a+b,' ');

c := b;

b := a + b;

a := c

end;

readln

end.

Заключение

В работе рассмотрена лишь малая часть области применения чисел Фибоначчи и их свойств. Не смотря на простоту данного ряда чисел, есть множество свойств, приводящих к интересным математическим фактам. В физике числа Фибоначчи использовались при изучении путей, проходимых лучом света, наклонно падающего на две сложенные вместе стеклянные пластинки. В информатике числа с успехом применяются при машинной сортировке и обработке информации, генерировании случайных чисел, в методах нахождения приближенных значений, минимума и максимума сложных функций. В США даже издавался специальный журнал «Fibonacci Quarterly», посвященный изучению свойств чисел Фибоначчи.

Список используемой литературы

1. Васютинский Н.Н. “Золотой пропорции”

2. Воробьев Н.Н. “Числа Фибоначчи”

3. А. Кулаков “Сортировка, числа Фибоначчи, системы счисления и контекстно-свободные грамматики”

4. Элементы большой науки - http://elementy.ru

5. Genon? Делитесь знаниями! - www.genon.ru

6. Растрепанный блокнот - http://netnotes.narod.ru

7. Википедия - https://ru.wikipedia.org

Размещено на Allbest.ru