Размещено на http://www.allbest.ru

Геометрия сферического треугольника

1. Историческая справка

сферический геометрия теорема треугольник тригонометрия

Первой геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже евклидовой геометрии при решении задач практического характера. Основным стимулом для возникновения сферики было изучение звёздного неба. Выводы этой геометрии были необходимы путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звёздам.

Сферика Автолика. Первым античным математическим сочинением, сохранившимся до наших дней, является книга «О движущейся сфере» Автолика, жившего в конце IV в. до н. э. Предметом исследования этой книги является небесная сфера, рассматриваемая в весьма абстрактном виде. Книга Автолика состоит из 12 предложений. В предложении 1 доказывается, что если сфера равномерно движется вокруг оси, то все её точки, не лежащие на оси, описывают параллельные круги, имеющие те же полюсы, что и сфера, а плоскости этих кругов перпендикулярны оси сферы. [6].

Сферика Феодосия. Первое дошедшее до нас систематическое изложение сферической геометрии содержится в «Сферике» Феодосия, жившего во II-I вв. до н. э. [8]

Сферика Менелая. Значительно более развитую сферическую геометрию можно найти в трактате «О сфере» Менелая (I в. н. э.). Сочинение Менелая сохранилось только в арабском переводе в нескольких обработках. Во введении к книге I Менелай даёт определение сферического треугольника.

Основные теоремы сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоремой косинусов, были установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани. Сферическая теорема синусов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математиками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. В XIII веке азербайджанский математик Насир-ад-дином ат - Туси дал первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии [7]. Французский математик Альберт Жирар (1595-1632) первым выразил площади сферического треугольника и многоугольника через их угловые избытки.

2. Основные понятия сферической геометрии

Сферой называется множество точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью. Диаметральная плоскость пересекает сферу по большой окружности (рис.1). Любая плоскость, которая не проходит через центр сферы, пересекает сферу по малой окружности (рис.2).

Так как через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом единственная, то через любые две точки сферы А, В, не являющиеся диаметрально противоположными и центр сферы, точку О, проходит единственная диаметральная плоскость. Следовательно, через любые две точки сферы проходит единственная большая окружность (рис.3). Через две диаметрально противоположные точки сферы можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.4). Любые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы [1].

Между геометрией на сфере и геометрией на плоскости имеются существенные различия. Роль прямых на сфере отводится большим окружностям. Мы знаем, что через каждые две точки плоскости проходит единственная прямая линия; другими словами, никакие две прямые не могут пересечься в двух точках. Но, в отличие от плоскости, две сферические прямые обязательно пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Таким образом, в сферической геометрии просто не существует понятия параллельности. Это обстоятельство резко отличает сферическую геометрию от евклидовой. Еще одно отличие - сферическая прямая, т.е. большая окружность, замкнута, т.к. двигаясь по ней в одном и том же направлении, мы вернемся в исходную точку.

Большая окружность делит сферу на две области; эти области называются полусферами. Так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре части, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.5). Так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей: (ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC, ABC), те, на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A,B,C диаметрально противоположны точкам A,B,C (рис.6) .

3. Сферический отрезок

Если две точки сферы А и В не являются диаметрально противоположными, то существует единственная плоскость, проходящая через центр сферы и эти две точки. Линия пересечения этой плоскости со сферой есть большая окружность. Точки А и В разбивают большую окружность на две части. Меньшая из двух дуг этой окружности, соединяющая точки А и В, является сферическим отрезком (рис.7).

Сферический отрезок обладает следующим свойством:

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере, соединяющий эти две точки (рис.8).

Длина сферического отрезка АВ равна радианной мере центрального угла AOB (рис.9). Таким образом, в сферической геометрии длины отрезков измеряются не в см, мм, а в радианах. Это ещё одно из отличий геометрии на сфере от евклидовой геометрии на плоскости.

4. Сферический многоугольник

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности.

В отличие от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с двумя сторонами называемые двуугольниками [9].

Сферический двуугольник - фигура, образованная двумя полуокружностями больших окружностей сферы (рис.10). Вершины сферического двуугольника являются диаметрально противоположнымы точками сферы. Углы на сфере определяются следующим образом: Угол между плоскостями двух больших кругов называется двугранным углом. Он равен углу при вершине двуугольника, т.е. углу между сферическими отрезками (рис.11).

5. Сферический треугольник

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Сферический треугольник -- геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших окружностей (рис.12).

Или по-другому: сферическим треугольником называется фигура, образованная тремя дугами окружностей больших кругов, попарно соединяющих три точки [2].

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис.13). Зная элементы (стороны и углы) одного из них можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности (треугольник АВС).

Как и в планиметрии, в сферической геометрии существуют определенные соотношения между сторонами и углами треугольников.

Следующие свойства сферического треугольника аналогичны свойствам плоского треугольника:

а) в каждом сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона;

б) сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

в) однако, признаков равенства треугольников на сфере 4, а не 3. Добавляется четвёртый признак по равенству трёх углов. Подобных треугольников на сфере не существует.

Вот ещё удивление сферической геометрии: треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла, если, например, он ограничен двумя перпендикулярными меридианами и экватором.

6. Площадь сферического треугольника

Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям:

1. площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности);

2. площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности);

3. если сферическая фигура разбита на части, то площадь данной фигуры равна сумме площадей её частей (свойство аддитивности);

4. площадь всей сферы радиуса R равна 4R² (свойство нормировки) [5].

Для нахождения площади сферического треугольника используется теорема о площади двуугольника (рис.14).

Теорема: площадь двуугольника, углы, при вершинах которого равны , определяется формулой:

Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере шесть двуугольников с вершинами в точках А, В, С (рис.13).

Например, окружности, проходящие через точки С, В и через точки С, А определяют два двуугольника с углами С. Вершин три, таким образом, получается шесть двуугольников, два с углом А, два - с углом В и два - с углом С.

Треугольник АВС равен диаметрально противоположному треугольнику А'В'С'. Треугольник АВС входит в двуугольник с верщиной А, с вершиной В и с вершиной С, т.е. повторяется трижды. Треугольник А'В'С' также повторяется трижды. Остальные точки сферы входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна площади S всей сферы плюс учетверённая площадь S() треугольника АВС, т.е. 2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S().

Так как площади двуугольников

S(A)=2r²A, S(B)=2r²B, S(C)=2r²C,

то мы получим 4r² (A+B+C)=4r²+4S(), т.е. S()=r² (A+B+C)-r²

S () =r² (A+B+C-).

Эта формула впервые была опубликована французом А.Жираром в 1629г.

Так как величины S() и r² положительны, то величина А+В+С- также положительна, откуда следует, что А+В+С,

т.е. сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов. Величина А+В+С- называется угловым или сферическим избытком данного сферического треугольника. Разность (сигма) - величина положительная.

Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.

Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше .

Сумма углов сферического треугольника А+В+С всегда меньше и больше .

7. Тригонометрия сферического треугольника

Сферическая тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников.

Формулы сферической тригонометрии применяются для решения различных геодезических и астрономических задач.

Пусть А, В, С - углы и а, b, с - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC. Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами сферической тригонометрии:

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А,

cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a.

В этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R -- радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы сферической тригонометрии, аналогичные указанным.

Формулы сферической тригонометрии позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник). Заметим, что в школьном курсе планиметрии решаются аналогичные задачи.

8. Практическое применение геометрии сферического треугольника

В астрономии: 1.С помощью формулы площади сферического треугольника можно вычислить радиусы планет: R²= S () / (А+В+С-). Радиус является внутренней характеристикой планеты, поэтому определяется довольно сложно. Гораздо легче определить площадь конкретного планетарного сферического треугольника и измерить его углы. 2.Если расстояния до небесных объектов неизвестны, то в астрономии располагают их на поверхности сферы с центром в точке, где находится наблюдатель. Такая сфера называется небесной сферой. Радиус небесной сферы произволен, обычно его считают равным единице. С использованием небесной сферы в рамках космического проекта HIPPARCOS, осуществленного в 90-х годах XX века, измерили параллаксы (или расстояния) до 120 000 звезд, находящихся на расстоянии до 1 килопарсека (кпк) от Солнца. Несмотря на то, что объем, в котором расположены эти звезды, составляет очень малую часть от объема нашей Галактики, измерение расстояний является важнейшим результатом проекта, потому что оказалось возможным построить трехмерную картину ближайшей окрестности Солнца.

Применение в мореплавании. С помощью теоремы косинусов для сферического треугольника, определеляют расстояние между двумя точками земной поверхности.

Задача. Мореплаватель Америго Веспуччи проплыл 1800 миль в одном направлении из точки А к точке В, повернул на 60 градусов и проплыл в новом направлении еще 2700 миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние между точками А и С (по поверхности земного шара) (рис 15).

Решение: 1 морская миля равна 1 угловой минуте на земном меридиане, 1морская миля в 360*60 раз короче большой окружности земного шара, т.е. длина земного экватора равна 21600м.миль. 2R=21600миль, R=21600/2=10800/