Векторы. Исследование системы уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Декартов базис. Радиус-вектор точки. Длина вектора

Ответ:

Прямоугольная декартовая система координат (ПДСК) состоит из фиксированной точки (центра системы координат) и трех пересекающихся в ней, взаимно перпендикулярных направленных прямых (осей системы координат)

Определение:

- Прямая, на которой определено направление, называется осью.

- Отрезок на оси, ограниченный точками А и В, называется направленным, если определено, какая из этих точек считается его началом, какая концом.

- Направление отрезка - направление от его начала к его концу. Обозначается направленный отрезок .

- Величиной АВ направленного отрезка называется его длина, взятая со знаком « + », если отрезок и ось одинаково направлены, и со знаком « » в противном случае. Таким образом, АВ = ВА.

Обычно, направления выбираются так, чтобы прямые образовывали правую тройку векторов. Единичные векторы, задающие направления осям , обозначаются буквами и образуют ортонормированный базис.

Вектор называется радиус-вектором точки . Координаты вектора относительно базиса являются координатами очки , т.е. если (), то - точка с координатами . Так как , то .

Если векторы рассматриваются на плоскости, то ПДСК состоит из двух перпендикулярных осей с направляющими ортами , .

Каждая точка прямой в данной системе координат, определяется одной координатой . Каждая точка плоскости в данной системе координат определяется двумя координатами . Каждая точка пространства в данной системе координат определяется тремя координатами .

Геометрический вектор - это направленный отрезок. Векторы обозначаются следующим образом: ; - начальная очка вектора, - конечная точка вектора.

Понятие вектор имеет более широкий смысл. Вектором называют элемент линейного пространства, как правило конечномерного. Все множество геометрических векторов составляет линейное пространство. Линейное пространство образуют многие математические объекты, например, матрицы одного размера, или многочлены.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длинной или модулем, и обозначается .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Ортом вектора а называется единичный вектор а₀ со направленный с а, т.е. а₀=. Нулевой вектор 0 - это вектор, начало и конец которого совпадают. Модуль нулевого вектора равен, нулю, а направление не определено.

2. Парабола и её свойства

Ответ:

Параболой - называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой (директрисы параболы) и данной точки (фокуса параболы).

y = 2px - каноническое уравнение параболы,

p > 0 - фокальный параметр, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы.

F(p/2;0) - фокус параболы,

x = - p/2 - директриса параболы,

- фокальный радиус точки

- расстояние от точки до директрисы.

3. Исследовать систему и в случае совместности найти решение

Решение:

Перепишем систему уравнения в матричном виде:

И преобразуем ее методом Гаусса:

Уберем третью и четвертую строку, получим ступенчатую матрицу:

Количество ненулевых строк как основной, так и расширенной матриц, равно 2, поэтому r(A) = r(A^*)=2 и по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Ранг основной матрицы равен 2, поэтому в системе есть 2 базисных и 5-2=3 свободных переменные. Выберем в качестве свободных переменных x₃,x₄,x₅. Найдем общее решение неоднородной системы, причем x₁,x₂- базисные неизвестные:

Придавая свободным переменным нулевые значения, получим решение данной системы уравнений:

=>>

=>

x₁=-1; x₂=4;x₃=0;x₄=0;x₅=0.

Ответ:x₁=-1,x₂=4,x₃=0,x₄=0,x₅=0.

4. Провести плоскость через прямую и точку М-₀ (2; 0; -1).

Решение:

Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Пусть точке соответствует значение t=0, а точке значение t=1.Отсюда вычислим координаты точек принадлежащих данной прямой: , .

Определим уравнение плоскости, проходящее через 3 точки:

=0

Преобразуя, получим: 1(x-2) - 1(y-0) - 1(z+1) = 0 => x-y-z-3=0 - уравнение искомой плоскости.

Ответ: x-y-z-3=0

5. Найти , где А(2;-1;2), В(1;2;-1) и С(3;2;-1)

Решение:

Определим координаты векторов, для этого из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом:

)

вектор парабола уравнение плоскость

Соответственно,

.

Тогда,

=0

Ответ:0.

Размещено на Allbest.ru