Відображення площини на поверхню та його застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата математичних наук

ВІДОБРАЖЕННЯ ПЛОЩИНИ НА ПОВЕРХНЮ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

Спеціальність: Прикладна геометрія та інженерна графіка

Шепелев Володимир В'ячеславович

Донецьк, 2005 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В науці і практиці широко використовуються геометричні методи відображення криволінійної поверхні на площину. Картографія та інженерна графіка - яскраві тому приклади. Перша дисципліна вивчає способи складення ман земної поверхні, друга є основою графічного моделювання тривимірних об'єктів, в тому числі і криволінійної форми, на площині, що становить основу проектування.

Оберненій задачі, - відображенню площини на криволінійну поверхню, - приділялось значно менше уваги: в основному, це графічні способи побудови плафонної перспективи, проблема зорового сприйняття графічних об'єктів, нанесених на криволінійну поверхню та деякі інші питання, вивчення яких не набуло ознаки систематичності. Як правило, відомі розв'язання оберненої задачі носять суто конструктивний, а не аналітичний характер, що становить вагому перешкоду використанню сучасних комп'ютерних технологій в отриманні розв'язків як в графічній формі на стадії проектування, так і в натуральній реалізації на стадії здійснення на устаткуванні з числовим програмним керуванням.

Координація графічного об'єкта на площині та його точкове відображення на криволінійну поверхню - актуальна проблема нанесення візерунків-орнаментів на споруди (оболонки) та автоматизованого гравірування зображень та надписів на виробах криволінійної форми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась за планом наукових досліджень, що проводяться кафедрою нарисної геометрії та інженерної графіки Донецького національного технічного університету.

Мета і завдання досліджень. Мета досліджень: на основі наукових положень про відображення криволінійної поверхні на площину та на сферу розробити аналітичний апарат оберненого відображення і застосувати його для перенесення зображень з площини на поверхню стосовно автоматизації процесу гравірування на криволінійних поверхнях та нанесення зображень на оболонки. Для досягнення мети необхідно розв'язати такі задачі:

- систематизувати елементарні перетворення на площині та визначити засоби компіляції комплексного зображення, складовими якого є перетворення деякого базового елемента;

- скласти конструктивні моделі точкового перетворення площини на поверхню на таких заставах:

- згинання розгорнутих поверхонь на площину;

- використання еквідистантних координат на сфері;

- стереографічного проекціювання площини на сферу;

- використання бельтрамієвих координат на сфері;

- використання сферичного відображення поверхні;

- використання перетворення інверсією;

- скласти аналітичні моделі відображення площини на поверхню на основі;

- топологічної відповідності чотирикутників на площині і на поверхні, обмежених парами координатних ліній двох координатних сімей, за умов віднесення площини до прямокутних декартових координат, поверхні до будь-яких криволінійних координат, в тому числі і спеціальних;

- використання сітки Боне на сфері;

- скласти аналітичну модель відображення як суперпозицію відображень площина - сфера - нерозгортна поверхня;

- розробити засоби управління відображенням графічної (текстової) інформації з площини на поверхню стосовно розв'язання задач прикладного декоративного мистецтва та автоматизації процесу гравірування на кривих поверхнях;

- впровадити результати досліджень в інженерну практику та розробити рекомендації подальшого впровадження в інших галузях.

Об'єкт дослідження. Геометричні відображення однієї поверхні на іншу.

Предмет дослідження. Застосування в оберненій постановці відображення сфери на площину та сферичного відображення поверхні для розв'язання прикладних задач.

Методи дослідження. Теоретичну основу проведених в роботі досліджень складають положення теорії поверхонь і диференціальної геометрії, праці професорів Бадаєва Ю.І., Борисенка В.Д., Ваніна В.В., Іванова Г.С., Ковальова С.М., Котова І.І., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Найдиша В.М., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Пилипаки С.Ф., Рижова М.М., Скидана І.А.,Тевліна А.М. та їх учнів в області аналітичного дослідження поверхонь, геометричних перетворень та їх застосувань. В роботі прийнято аналітичний метод дослідження з використанням засобів комп'ютерної графіки для представлення результатів у графічній формі.

Наукова новизна одержаних результатів:

- набув подальшого розвитку спосіб базового елемента у формоутворенні візерунків та орнаментів у частині його аналітичної та програмної реалізації;

- вперше точкове відображення площини на криволінійну поверхню набуло систематичного дослідження, в результаті якого отримані кінцеві функції відображення і програми візуалізації образів відображення разом з їх носієм;

- вперше розв'язано в оберненій постановці задачі згинання на площину розгортних поверхонь, конформного відображення сфери на площину і сферичного відображення поверхонь;

- вперше отримані функції топологічної відповідності між координатними чарунками площини та криволінійної поверхні, які покладено в основу точкового відображення плоского графічного об'єкта на криволінійну поверхню.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Всі наукові положення представлені у аналітичному вигляді та у вигляді комп'ютерних програм. Їх достовірність забезпечується візуалізацією засобами комп'ютерної графіки аналітичних моделей.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень способів відображення площини на поверхню отримані з цільовим практичним призначенням формувати на площині вхідні дані для задач нанесення графічної чи текстової інформації на криволінійні поверхні. Галузі застосувань в цій частині - художнє та прикладне декоративне мистецтво, виглядові ефекти тривимірної комп'ютерної графіки, гравірування на криволінійних поверхнях.

Окремо спосіб компіляції складного зображення із компонентів, отриманих суперпозицією перетворень на площині поданого базового елемента, може бути використано при формуванні і нанесенні візерунків на тканини та шпалери.

Аналітичні моделі, отримані в роботі, реалізовано на рівні програмних інтерпретацій.

Методику та програмне забезпечення автоматизованого гравірування на криволінійних поверхнях передано для впровадження на ВАТ Рутченківський завод “ГОРМАШ”.

Особистий внесок здобувача. У статтях, опублікованих у співавторстві з науковим керівником, останньому належать постановка задачі та контроль достовірності отриманих результатів. Решту досліджень автор дисертації здійснював самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались: на VII Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, 17-20 червня 2003 р., м. Мелітополь, на VIII Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, 1-4 червня 2004 р., м. Мелітополь, на наукових семінарах кафедр технології машинобудування та нарисної геометрії і інженерної графіки Донецького національного технічного університету.

Публікації. Результати досліджень опубліковано у 9 наукових працях, з них 8 у наукових статтях фахових видань, затверджених ВАК України, 3 праці опубліковані у співавторстві з науковим керівником, решта - одноосібно.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 111 найменувань, додатків обсягом 7 сторінок. Обсяг роботи: 138 сторінки, 46 рисунків, 3 таблиці.

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено характеристику роботи: обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і завдання досліджень, визначено об'єкт, предмет і метод досліджень, наведено засоби досягання достовірності отриманих результатів, визначено новизну основних теоретичних положень і практичне значення одержаних результатів, наведено відомості про апробацію та публікації результатів досліджень та про структуру дисертації.

В першому розділі наведено положення понятійного апарату геометричних відображень, показано роль перетворень для численних гілок геометрії і, зокрема, для нарисної і прикладної геометрії.

Відображення поверхонь на площину становить предмет вивчання таких дисциплін як картографія і нарисна геометрія. Оберненій задачі, відображенню площини на поверхню - приділено значно менше уваги. Цю задачу в основному розв'язували в зв'язку з орнаменталістикою з наголосом на зміст орнаменту та його формоутворення. Щодо методів відображення з площини на криволінійну поверхню візерунків та орнаментів, то вони обмежені застосуванням центрального проекціювання при побудові плафонної перспективи (Підгорний О.Л.), ортогонального проекціювання відносно основних площин проекцій (графічний пакет Rhinoceros). Аскаров Ю.А. відображає прямолінійні елементи плоского орнаменту на криволінійну поверхню проведенням через них проекціювальних площин та відшуканням ліній їх перетину з поверхнею. Ященко А.А., Камалов С.Н. отримують відображення площини на поверхню попередньою апроксимацією поверхні циліндрами з подальшим відображенням площини на відсіки апроксимантів.

В.В. Ванін і О.В. Павлов відображають площину на поверхню гіперболічного параболоїда на основі проекційної відповідності плоского та просторового чотирикутників, перший з яких є проекцією другого, а другий відіграє роль визначника гіперболічного параболоїда.

Дисертацію присвячено систематичному дослідженню відображення площини на поверхню стосовно перенесенню з площини на криволінійну поверхню візерунків, орнаментів, текстової інформації та автоматизованого гравірування на криволінійних поверхнях. Ця задача є оберненою відносно відомих способів відображення поверхонь на площину.

Оскільки робота орієнтована на використання комп'ютерних технологій як в процесі дослідження, так і в практиці реалізації отриманих результатів, в першому розділі наведено аналітичні вирази елементарних геометричних перетворень на площині, що становить основу для формування графічних об'єктів способом базового елемента. Наведено також відомі розв'язки прямої задачі відображення прямих конусів та циліндрів, торсів на площину на основі згинання, відображення сфери на площину на основі еквідистантних, стереографічних та бельтрамієвих координат, сферичне відображення поверхні.

Другий розділ розпочинається з аналітичного представлення способу базового елемента формування упорядкованого точкового каркасу візерунків, орнаментів, надписів, які названо графічними об'єктами-прообразами. Оскільки прообраз передбачається відображати з площини на криволінійну поверхню, кінцеві точки відрізків прямих, дуг кіл чи інших кривих, доповнюються застосуванням програм проміжними точками, так що відстані між суміжними точками каркасу майже однакові. На першому кроці визначається масив координат точок для елемента кінцевого зображення, що є базовим. На кожному наступному кроці базовий елемент застосуванням одного з перетворень чи композиції перетворень доповнюється до зображення, яке становить базовий елемент для подальшого кроку, і так до досягнення кінцевого зображення. Масиви координат точок супроводжуються масивом значень параметра, ефективного з прорисовкою чи марного без прорисовки перебігу “самописця”. Масив розміщується у файл вхідних даних.

Відображення площини на поверхню на основі проекціювання, згинання та з використанням сферичного відображення названо конструктивними.

Поточна точка з прямокутними декартовими координатами на площині відображається на розгортні поверхні на основі згинання у точку з координатами у та х:

Крім самостійного значення, відображення площини на сферу відіграє роль посередника у відображенні площини на довільну нерозгортну поверхню на основі сферичного відображення останньої.

Таким чином, конструктивні відображення площини на поверхню здійснюються встановленням їх спільної координації безпосередньо або за участю оберненого сферичного відображення поверхні.

У третьому розділі пропонуються аналітичні способи відображення площини на поверхню. В той час, коли здійснення конструктивних способів зв'язано з розв'язанням систем рівнянь, аналітичні способи менше обумовлені і тому припускають загальну алгоритмізацію.

Основна ідея аналітичних відображень полягає у встановленні точкової топологічної відповідності між будь-якими відсіками на площині та на поверхні, обмеженими двома парами координатних ліній за умов належності пар різним координатним сім'ям.

Такі відсіки названо координатними чарунками.

Оскільки існувала попередня домовленість про використання на площині лише прямокутної декартової координації, єдиною умовою здійснення відображення функціями є відсутність на координатній чарунці особливих точок координації.

Відображення здійснюється підстановкою в параметричні рівняння поверхні виразів.

Аналітичні відображення застосовні без ускладнень для будь-якої параметризації поверхні, в тому числі і спеціальної. В роботі наведено ознаки спеціальних параметризацій поверхонь і показано відображення площини на такі спеціальні координатні сітки: Чебишева, ортогональну, спряжену, півгеодезичну, сітку з ліній кривини, сітку з асимптотичних. Наприклад, показано відображення на різьблену поверхню.

Оскільки, як вже було відзначено, будь-яка нерозгортна поверхня та її сферичне відображення мають спільну параметризацію, функції є спільними для відображення площини на сферу одиничного радіуса та на поверхню, для якої це відображення є сферичним.

В зв'язку з цим в роботі досліджено конструктивні способи побудови двох нетривіальних випадків сітки Боне на сфері. Ця сітка складається з двох ортогональних сімей кіл. Сітка Боне на сфері одиничного радіуса є сферичним відображенням класу поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини.

У четвертому розділі розроблено засоби управління відображенням та наведено напрямки практичного використання отриманих результатів.

Засоби управління відображенням:

1) зміна положення і форми закоординованого прообразу на площині за чинниками:

- запобігання наявності особливих точок на області відображення;

- ненакладення зображення образу;

- розташування образу у цілому на видимій частині поверхні при деякому прийнятному ракурсі.

Цей засіб здійснюється застосуванням елементарних перетворень на площині, перелік і програмна реалізація яких були застосовані при формуванні графічного об'єкта на площині.

2) зміна форми і положення координатної чарунки на поверхні, на яку відображається прообраз на основі топологічної відповідності координатних чарунрок. Чинники, що визначають доцільність зміни, такі ж, як і в попередньому випадку;

3) зміна координатної сітки на поверхні.

Супроводження аналітичних моделей відображення їх візуалізацією засобами комп'ютерної графіки складає критерій для отримання оптимальних параметрів відображення за його візуальною оцінкою.

Галузі застосувань отриманих результатів:

- формування візерунків, що наносять на шпалери, лінолеум та інші покриття способом базового елемента;

- формування на площині і нанесення на оболонки надписів, орнаментів та інших зображень;

- формування на площині та нанесення на вироби криволінійної форми засобами автоматизованого гравірування графічних об'єктів певного змісту.

Для здійснення останнього застосування до вхідних даних, що містять масиви просторових координат точок образу на поверхні додають масиви значень напрямних косинусів нормалі до поверхні, забезпечуючи орієнтацію осі обробного інструмента.

ВИСНОВКИ ПО РОБОТІ

В роботі вирішено актуальну проблему перенесення вхідних даних, представлених на площині у вигляді графічних об'єктів (візерунків, орнаментів, логотипів, надписів) на криволінійну поверхню:

1. Дістав подальшого розвитку спосіб використання базового елемента у формуванні візерунків та орнаментів за рахунок ієрархічності схеми формування, в якій початковий базовий елемент застосуванням множини елементарних геометричних перетворень перетворюється на будь-якому кроці у наступний проміжний базовий елемент аж до досягнення кінцевого зображення;

2. На основі використання відомих положень геометрії, щодо відображень поверхні на площину та сферу (еквідистантне, конформне, бельтрамієве відображення сфери на площину, сферичне відображення поверхні) в роботі вперше знайшло систематичного дослідження обернене відображення, тобто, відображення площини на криволінійну поверхню;

3. Крім конструктивних способів відображення, які встановлюють жорсткий зв'язок між точками-прообразами та точками-образами, що здійснюється згинанням чи проекціюванням, в роботі запропоновано гнучкий аналітичний спосіб відображення на основі топологічної точкової відповідності наперед поданих координатних чарунок на площині і на поверхні, який може застосовуватись як окремо, так і в комбінації з будь-яким конструктивним способом;

4. Вперше в прикладній геометрії в роботі здійснено побудову координатної сітки Боне на сфері, з використанням якої отримано відображення площини на координатну сітку сфери, яка складається з двох ортогональних сімей кіл, та на клас поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини;

5. Розроблено низку засобів управління відображенням: варіюванням значеннями сталих параметрів, зміною положення графічного об'єкта-прообразу на площині, зміною форми і положення результату відображення (образу) на кривій поверхні, переходом до нової координатної сітки на поверхні;

6. Наведено рекомендації по впровадженню отриманих результатів досліджень: в практику формування візерунків стосовно нанесення на плоскі поверхні шпалер, лінолеумів і інших покриттів, в практику автоматизованого перенесення зображень графічних об'єктів, в тому числі текстової інформації, з площини на криволінійну поверхню;

7. До захисту дисертації здійснено впровадження на ВАТ Рутченківський завод “ГОРМАШ” рекомендацій до застосування результатів досліджень в інженерну практику автоматизованого гравірування на кривих поверхнях на обладнанні з ЧПК та у навчальний процес на кафедрах “Нарисна геометрія та інженерна графіка” і “Технологія машинобудування” ДонНТУ; геометричний картографічний візуалізація

8. Акцент на алгоритмізацію і розробку програмного забезпечення, використання сучасного графічного комплекса MAPLE для візуалізації результатів дослідження і їх представлення у вигляді аксонометричної проекції поверхні разом з відображеним на неї графічним об'єктом дозволяє впевнитися у достовірності отриманих результатів і забезпечує застосування комп'ютерних технологій в процесі проектування та вироблення.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ РОБОТАХ

1. Шепелєв В.В. Перетворення на поверхні. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Київ: КНУБА, 2001. Вип. 69. - С. 173-177.

2. Скидан І.А., Шепелєв В.В. Перетворення довільних криволінійних координат на поверхні до ортогональних координат. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2001. Вип. 4. - Т. 12.

3. Скидан І.А., Шепелєв В.В. Сферичне зображення поверхонь і його візуалізація. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2001. Вип. 4. - Т. 14. - С. 9-14.

4. Шепелєв В.В. Перетворення на поверхнях сфери і тора. // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: Харк. держ. акад. технол. та орг. харчування, 2002. Вип. 1. - С. 98-102.

5. Шепелєв В.В. Побудова поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини за сферичним відображенням. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2002. Вип. 4. - Т. 17. - С. 91-95.

6. Шепелєв В.В. Перетворення координат на поверхні і проблема візуалізації. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. - Т. 18. - С. 88-92.

7. Шепелєв В.В. Перетворення на поверхні і проблема візуалізації її відсіків. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. - Т. 19. - С. 68-72.

8. Скідан І.А., Шепелєв В.В. Побудова координатної сітки Боне на сфері. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. Вип. 4. - Т. 22. - С. 50-56.

9. Шепелєв В.В. Відображення площини на сферу. // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2004. Вип. 4. - Т. 27. - С. 73-76.

Размещено на Allbest.ru