Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Загальна теорія систем лінійних рівнянь



1. Різновиди систем лінійних рівнянь алгебраїчних рівнянь

Означення 1. Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді

Де х₁, х₂,…, х_n - невідомі, числа а_іj (і = 1,2,…, m) (у = 1,2,…, n) числа біля невідомих, які називаються коефіцієнтами системи, а числа в₁, в₂,…, в_m - вільні числа системи.

Означення 2. Розв'язком системи (1) називається множина дійсних чисел , підстановка яких у систему замість невідомих х₁, х₂,…, х_n, перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Означення 3. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (1), що має хоч би один розв'язок, називається сумісною, а система, що не має розв'язків, називається несумісною.

Означення 4. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (1) називається одноманітною, якщо всі вільні числа дорівнюють нулю, і неодноманітною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Означення 5. Множина чисел а₁, а₂,…, а_n називається впорядкованою, якщо вказано порядок слідування цих чисел, тобто вказано, яке з них є першим, яке другим і так далі.

Означення 6. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, тобто існує тільки один набір n чисел , який перетворює всі рівняння систем (1) в тотожності.

Означення 7. Сумісна система називається невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв'язок.

Означення 8. Дві системи лінійних рівнянь називається еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв'язків. Еквівалентні системи дістають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи.

лінійний алгебраїчний рівняння гаусс

2. Розв'язок систем лінійних рівнянь

Видатні математики світу велику увагу звертали дослідженню розв'язків систем лінійних рівнянь та різних їх методів розв'язку. Зокрема німецький математик Леонольд Кронекер (1823-1891) та італійський математик Альфред Капеллі (1855-1910) довели дуже важливу теорему, яка використовується в багатьох випадках розв'язків систем.

Нехай задано систему

Ця система має основну матрицю

А =

Яка складається з коефіцієнтів при невідомих. Дана система має розширену матрицю, яка одернується шляхом доповнення матриці А стовпцем вільних членів, тобто



А =

Теорема Кронекера - Капеллі. Система лінійних рівнянь 1 сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці

r (А) = r (А) (2)

причому, система має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли.

r (А) = r (А) = n (3)

Приклад: Дослідити сумісність системи

Розв'язання: Задана неоднорідна система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з 4 невідомим. Для перевірки умови (2) теореми Кронекера - Капеллі знайдемо ранги основної та розширеної матриць заданої системи, застосовуючи до матриць елементарні перетворення.

Розширену матрицю отримуємо шляхом дописування до основної матриці системи стовпця вільних членів.

А = 

Помножимо елементи першого рядка на (-1) та додамо цей рядок до елементів другого та третього рядків

Тепер елементи другого рядка помножити на і додамо до елементів третього рядка, а потім поміняємо місцями другий та третій стовпчики, тобто:

З останнього запису випливає, що r(А) = 2, тобто r(А) = r (А), а це означає, що задана система рівняння є сумісною.

Згідно з теоремою Кронекера - Капеллі система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв'язок у випадку виконання умови

r(А) = r(А) = n,

тобто коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці та кількості невідомих.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка має однакову кількість рівнянь та невідомих, тобто систему виду:



Якщо основний визначник ? (А) цієї системи (визначник основної матриці коефіцієнтів цієї системи) не дорівнює нулю, то ранг основної та розширеної матриць системи будуть рівними і дорівнюватимуть кількості невідомих n.

Отже, згідно з теоремою Кронекера - Капеллі, така система має єдиний розв'язок.

У випадку в₁ = в₂ = … = в_n = 0, система 4 однорідна, її єдиний розв'язок тривіальний, тобто х₁ = х₂ = … =х_n = 0.

Якщо система 4 неоднорідна, її єдиний розв'язок можна знаходити різними способами.

У випадку, коли кількість рівнянь та невідомих n 3 часто використовують правило Крамера або матричний метод розв'язування.

У випадку, коли n> 3 доцільно використовувати метод Гаусса або більш ефективний метод Гаусса - Жордона.

Правило Крамера

Питанням розв'язку систем лінійних рівнянь займався видатний швейцарський математик Крамер (1704-1752 р.). Він вивів дуже важливе правило, щодо розв'язків систем.

Теорема. (Теорема Крамера). Якщо визначник ? системи 1 відмінний від нуля, то система сумісна і має розв'язок, що визначається за формулами:

х₁ = ; х2 = ; …; х_n =

в яких

? х₁, ? х₂, …, ? х_n є визначниками даної

системи.

Розглянемо систему рівнянь



Виконаємо слідуючі елементарні перетворення даної системи: спочатку помножимо перше рівняння на а₂₂, друге на (-а₂₂), потім складемо їх і визначимо одне з невідомих, тобто

а₁₁ а₂₂ х₁ - а₁₂ а₂₁ х₁ = в₁ а₂₂ - в₂ а₁₂ х₁(а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁) = в₁ а₂₂ - в₂ а₁₂ х₁ ? = ? х₁

Замінимо різниці на визначники, тобто

а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁ = ? бо = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁

в₁ а₂₂ - в₂ а₁₂ = ? х₁, бо = в₁ а₂₂ - в₂ а₁₂

Після цього перше рівняння системи (1) помножимо на (-а₂₁), а друге - на а₁₁, потім їх складемо і одержимо слідуючи:

а₁₁ а₂₂ х₂ - а₁₂ а₂₁ х₂ = в₂ а₁₁ - в₁ а₂₁ х₂(а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁) = в₂ а₁₁ - в₁ а₂₁ х₂ ? = ? х₂

Замінимо різниці на визначники, тобто

? = = а₁₁ а₂₂ - а₁₂ а₂₁

? _х2 = = а₁₁в₂ - а₂₁ в₁

Після таких перетворень запишемо систему (1) у вигляді і знайдемо х₁ та х₂, що і будуть формулами Крамера.

Визначник ? = називається визначником системи.

Визначники ? _х1 = та ? _х2 = утворюються з визначника системи відповідно заміною стовпців при невідомих х₁, та х₂ вільними частинами.

При розв'язуванні систем рівнянь можуть бути такі випадки:

1) якщо ? ? 0, тоді систем (1) має єдиний розв'язок

х₁ = ; х₂ =

Якщо ? = 0; ?_х1 ? 0 або ?_х2 ? 0, тоді система (1) не має розв'язків;

Якщо ? = ?_х1 = ?_х2 = 0, тоді система (1) зводяться до одного рівняння і має безліч розв'язків, тобто вона являється невизначеною.

Приклад: Розв'язати за правилом Крамера систему рівнянь



Знайдемо основний визначник цієї системи

? (А) = = 31 ? 0

Згідно правила Крамера система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами розглянутими вище.

Для цього знайдемо допоміжні визначники для ?_х1; ?_х2 та ?_х3

?_х1 = = 93

?_х2 = = 62

?_х3 = = 31

Користуючись формулами Крамера знайдемо невідомі:

х₁ = = = -3

х₂ = = = 2

х₃ = = = 1

Матричний метод

Нехай задано систему n - лінійних рівнянь з n не відомими



З якої введемо відповідно матриці для коефіцієнтів, для невідомих, для вільних чисел, тобто:

А = ; Х = ; В =

Тоді згідно з правилами множення матриць дану систему 1 можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею:

А *Х = В (2)

Припустимо, що матриця А системи 1 має обернену матрицю А^-1; помножимо обидві частини рівності 2 на А^-1 зліва:

А^-1 * А * Х = А^-1 * В

Оскільки А^-1 *А = Е; Е *Х =Х, то

Х = А^-1 * В (3)

Отже, щоб розв'язати систему рівнянь (1), достатньо знайти матрицю обернену до матриці системи, і помножити її справи на матрицю з вільних членів.

Таким чином формула (3) є тією формулою, за якою знаходять розв'язок системи (1) матричним методом.

Матричний метод можна застосовувати у випадку, коли квадратна матриця А має не рівний нулю визначник.

Для розв'язування неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими матричним методом доцільно здійснювати такий порядок дій:

записати основну матрицю системи А і знайти її визначник ? (А).

Якщо ? (А) = 0, то система розв'язку не має;

Якщо ? (А) ? 0, тоді знайти обернену матрицю А^-1 до матриці А;

- помножити обернену матрицю А^-1 на матрицю - стовпець вільних членів системи. Одержаний при цьому стовпець згідно з формулою (3) і буде розв'язком даної системи

Приклад: Знайти розв'язок заданої системи матричним способом

Запишемо основу матриці даної системи і знайдемо її визначник:

А = ? (А) = = 6

Знайдемо обернену матрицю А^-1 до матриці А. Для цього знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А.

А ₁₁ = (-1) ¹⁺¹ = 2; А₂₁ = (-1)²⁺¹ = 0; А₃₁ = (-1) ³⁺¹ = 2;

А¹² = (-1)¹⁺² = 3; А₂₂ = (-1)²⁺² = -3; А₃₂ = (-1)³⁺² = 3;

А₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1; А₂₃ = (-1)²⁺³ = -3; А33 = (-1)³⁺³ = 1.

Звідси обернена матриця буде мати вигляд:

А^-1 = ;

Користуючись формулою (3) знаходимо заданої розв'язок системи:

Х = А^-1 • В = = = =

Звідси виходить, що

Х = = , тобто х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Метод Гаусса

Система лінійних рівнянь має нескінченну кількість розв'язків у таких

випадках:

коли однорідна система має n рівнянь з n невідомими і її основний визначник ? (А) дорівнює нулю;

коли кількість рівнянь неоднорідної системи не дорівнює кількості невідомих, а система рівнянь є сумісною;

коли кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих та дорівнює n, система сумісна r (A) = r (?) = r, але r < n.

Видатний німецький математик, астроном, фізик і геодезист Карл Фрідріх Гаусс (30.04.1777 - 23.02.1855) розробив метод розв'язування таких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Суть метода Гаусса полягає в тому, що шляхом елементарних перетворень систему треба привести до трикутного вигляду, коли всі елементи головної діагоналі матриці системи дорівнюють 1, а елементи основної матриці, що знаходяться нижче її головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий вигляд системи дозволяє знайти усі невидимі.

Метод Гаусса можна застосувати і до системи лінійних алгебраїчним рівнянням. що мають єдиний розв'язок.

Нехай маємо систему лінійних рівнянь з n невідомими х₁, х₂, х_n

(1)

Очевидно, що в даній системі (1) серед коефіцієнтів а_і1 хоча б один відмінний від нуля. Якщо ж а₁₁ = 0, то першим в системі (1) запишемо те рівняння, в якому коефіцієнт при х, відмінний від нуля. Позначимо цей коефіцієнт через а11'.

Перетворимо систему (1), виключаючи х₁ в усіх рівняннях, крім першого. Для цього помножимо перше рівняння системи на і додамо до другого, потім помножимо перше рівняння на і додамо до третього і так далі.

При цьому може статись так, що друге невідоме х₂ також не входить в усі рівняння системи з номером і > 1. Нехай х_к - невідоме з найменшим номером, яке входить в будь - яке рівняння системи, не рахуючи першого. Дістанемо систему:



(2)

Застосовуючи для всіх рівнянь системи, крім першого, таку саму процедуру і виконавши ряд елементарних перетворень, дістанемо систему:

(3)

Якщо продовжувати цей процес, то одержиться система:

(4)

Таку систему (4) називають східчастою або трапецієвидною.

З останньої системи беруть рівняння і знаходять х_n, і піднімаючись по системі в чому, знаходять всі інші невідомості.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь методом Гаусса



Запишемо розширену матрицю даної системи та виконаємо елементарні перетворення над рядками її, тобто

З останньої розширеної матриці відтворимо систему, яка буде еквівалентна даній, тобто:

В системі останній рядок означає, що вільний член дорівнює 2, а коефіцієнт при невідомих дорівнює нулю, тому система не сумісна і не має розв'язку.

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь методом Гаусса.

Утворимо розширену матрицю заданої системи:

В =



Над матрицею виконаємо елементарні перетворення:

- додаємо до елементів другого, третього і четвертого рядків відповідні елементи першого рядка, помножені послідовно на (-2); (-3) та (5), одержимо:

скорочуємо елементи другого рядка на (5) і помноживши їх послідовно на (-8) та (12), додаємо до відповідних елементів третього і четвертого рядків, одержимо:

елементи третього рядка, помножені на (3), додаємо до елементів четвертого рядка, одержимо слідуючу матрицю:

У результаті дістанемо розширену матрицю системи лінійних рівнянь, рівносильну даній, тобто:



Із добутої системи послідовно знаходимо х₄, х₃, х₂ та х₁.

Обчисливши невідомі, матимемо слідуючи дані: х₄ = 3; х₃ =2; х₂ = -1; х₁ = 1.

Размещено на Allbest.ru