Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ряди. Числові та степеневі ряди. Основні поняття і означення



1. Поняття про ряди, їх види

ряд числовий абель степеневий

Ряди досить широко використовуються в математиці, особливо при дослідженні різноманітних технічних проблем, пов'язаних з наближеним інтегруванням диференціальних рівнянь, обчисленням знань функцій та інтегралів, розв'язуванням трансцендентних та алгебраїчних рівнянь тощо.

Найпростіший ряд - сума членів нескінченної геометричної прогресії - вперше ввели вчені Стародавньої Греції, зокрема Архімед застосував такий ряд до обчислення параболічного сегмента.

Систематично рядами почали користуватись, починаючи з 17 століття, проте теорія рядів була створена лише в 19 столітті на основі поняття границі в роботах К. Гаусса, О. Коші та багатьох інших учених.

В математиці зустрічаються числові ряди (знакододатні ряди, ряди з комплексними членами); степеневі ряди (функціональні ряди, ряд Тейлора, ряд Маклорена, степеневі ряди в комплексній області); ряди Фур'є.

2. Числові ряди. Основні поняття та означення

Нехай задана послідовність дійсних чисел:

Рядом називають вираз

u₁ + u₂ + …+ u_n +… = u_n (1)

n =1

В цьому виразу для кожного n є N покладемо

S_n = u₁ + u₂ +… + u_n



Число u_n називається n - им чослом, а число S_n - n - ю частинною сумою ряду (1)

Якщо послідовність частинних сум збіжна і lim S_n = S, то число S називається n > ? сумою ряду (1), а ряд називається збіжним. Символічно це записується так:

S = u₁ + u₂ +… + u_n +… = u_n

n =1

Якщо послідовність скінченної границі не має, то ряд (1) називається розбіжним.

Наприклад:

Дослідити на збіжність ряди:

а) 1 + 1 +… + 1 + … = 1ⁿ_к

n =1

Розглянемо частинну суму

S_n = 1 + 1 + … + 1 = n, бо lim S_n = lim n = ?

n > ? n > ?

Звідси виходить, що ряд розбіжностей.

б)

n =1



через те, що = , сума n перших членів ряду буде і її знайдемо

Знайдемо суму:

S_n=

Оскільки lim S_n = lim = 1, то ряд збіжний і його сума S = 1.

n n

З прикладів видно, що собою представляє часткова сума, сума числового ряду, границя часткової суми.

Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) називається сума S_n перших n чисел цього ряду, тобто

S₂ = u₁ + u₂ S₃ = u₁+ u₂ + u₃ … S_n = a₁ +… + a_n

Означення 2 сумою S числового ряду u_n називають границю його n = 1 часткової суми S_n при n, тобто

n

S = lim Sn = lim S_к

n n к = 1

Означення 3 Якщо границя часткової суми ряду є скінченне число, то ряд називають збіжним, тобто



S = , u_n < ?

n = 1

Якщо границя часткової суми не існує або дорівнює , то числовий ряд називають розбіжним.

Означення 4 числовий ряд вигляду

, aq ^n-1 = a + aq + aq² + … +aq ^n-1 + …

n = 1

називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим числом а.

Означення 5 числовий ряд вигляду

= 1 + + + … + +… (2)

n = 1

називають узагальненим гармонічним рядом.

За цей ряд доведемо, що при р ? 1 узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при р > 1, цей ряд збігається.

Якщо р = 1, то ряд (2) називають гармонічним:

= 1 + + + … + +… (3)

n = 1

Властивості числових рядів

1). Якщо ряд u_n збіжний і має суму S, то ряд cu_n також збіжний і n=1 n=1 сума його дорівнює cs (c - const). Іншими словами, збіжний ряд можна множити почленно на одне і те саме число.

2). Збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати, тобто якщо ряди u_n іх_n збіжні і мають суми відповідно S₁ і S₂, то збіжними є також ряд

(u_n х_n)

n =1

і їх сума дорівнює (S₁ S₂)

3). На збіжність ряду не впливає відкидання або приєднання до нього скінченної кількості членів.

4). Ряд (1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний) довільний його залишок.

5). (Необхідна умова збіжності ряду). Якщо ряд u_n збіжний, то lim u_n = 0

n =1 n > ?

6). (Достатня умова збіжності ряду) Якщо lim u_n ? 0, то ряд u_n розбіжний. n > ? n=1



Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності.

Знакододатні ряди це ті, в яких елементи його не від'ємні (додатні члени). При дослідженні на збіжність знакододатніх рядів користуються достатніми

умовами (ознаками) збіжності, як ознаки порівняння, ознаки Д'Аламбера, Коші та інтегральна ознака Коші.

Теорема 1 (ознаки порівняння). Нехай задано два ряди з невід'ємними числами

u₁ + u₂ + … + u_n +…, u_n ? 0 (4)

х₁ + х₂ +… + х_n +…, х_n ? 0 (5)

і для всіх n виконується нерівність u_n ? х_n (6). Тоді, якщо ряд (5) збіжний, то збіжний і ряд (4). Якщо ряд (4) розбіжний, то розбіжний і ряд (5).

При дослідженні рядів такого виду можуть бути окремі випадки, а саме:

- Ознаки порівняння можна застосувати і тоді, коли нерівність(6) виконується не для всіх членів ряду(4)і (5), а починаючи з деякого номера N.

При дослідженні рядів з допомогою ознак порівняння необхідно знати, які ряди збіжні і які розбіжні:

?

1) аq ^n-1

n =1

?

2) аq ^n-1

n =1

Перший ряд називається геометричною прогресією

?

(аq ^n-1)

n =1

Другий ряд називається рядом Діріхле, або узагальненим рядом.

Теорема 2. (гранична ознака порівняння). Якщо задано два ряди з додатніми числами

u₁ + u₂ + … + u_n +…, (7)

х₁ + х₂ +… + х_n +…, (8)

причому існує скінченна відмінна від нуля границя

lim = a (a ? 0; a ? ?),

n > ?

то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Теорема 3 (ознака Д'Аламбера). Якщо для ряду з додатніми числами

u₁ + u₂ + … + u_n +… (9)

існує границя lim , то

n > ?

ряд розбіжностей при е > 1

ряд збіжностей при е < 1

є окремі випадки даної ознаки:

- Якщо , то ряд (9) розбіжний, бо існує номер N такий, що > 1 при n > N

- Якщо = 1, то ряд може бути як збіжний, так і розбіжний. У цьому випадку ряд треба досліджувати за допомогою іншої ознаки.

Теорема 4 (ознака Коші). Якщо для ряду (9) (u₁ + u₂ + … + u_n +…) з додатними членами існує границя lim ⁿ = е, то цей ряд збіжний при е < 1 і розбіжний n > ? при е >1.

Теорема 5. (інтегральна ознака Коші). Нехай задано ряд:

?

f (1) + f (2) +… + f (n) +… = f (n) (10)

n =1

члени якого є значеннями неперервної, додатної і монотонно спадної функції f(x) на проміжку . Тоді ряд (10) збіжний, якщо збіжний невласний +

інтеграл його f(x) dx, і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

Теорема 6. (ознака Лейбніца).

Якщо ряд (11) (u1 - u2 + u3 = uu +… + (-1) ^n-1 un +… де un > 0, n = 1, 2,… знаки в якому біля членів його строго чергуються) збіжний, якщо:

1) u_n=1 < u_n, n = 1, 2, … (12)

2) lim u_n = 0 (13)

n > ?

При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена. Слід зазначити. Що до рядів, знаки яких строго чергуються, належить ще й ряд:



- u₁ + u₂ - u₃ + u_u - u₅ +… + (-1)ⁿ u_n + …, u_n > 0 (14)

Ряди (11) та (14), для яких виконується ознака Лейбніца, називаються рядами Лейбніцевого типу.

Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності рядів.

Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як від'ємні, так і додатні. Візьмемо довільний знакозмінний ряд:

u₁ + u₂ + … + u_n + … (15)

де числа u_і можуть мати довільні знаки. Одночасно розглянемо ряд, утворений з модулів ряду (15), тобто:

(16)

Для знакозмінних рядів справедлива така ознака збіжності:

Теорема Якщо ряд (16) збіжний, то збіжний і ряд (15)

Покладемо

тоді 0 ? Р_n ? , 0 ? q_n ? для довільного n є N.

За умовою ряд (16) збіжний, тому з останніх нерівностей і ознаки порівняння випливає, що ряди P_n і q_n також збіжні. Оскільки u_n = P_n - q_n, n - 1 n - 1 то, згідно з властивістю (2) ряд (15) теж збіжний.

Знакозмінний ряд (15) називається абсолютно збіжним, якщо ряд (16) утворений з модулів його членів, є збіжним.

Якщо ряд (15) збіжний, а ряд (16), утворений з модулів його членів, розбіжний, то ряд (15) називають умовно збіжним.

Наприклад:

Ряд - абсолютно змінний.

n = 1

Ряд - умовно збіжний.

n = 1

Слід пам'ятати, що розмежування рядів абсолютно і умовно збіжні є досить істотно. Справа в тому, що абсолютно збіжні ряди мають цілу низку важливих властивостей скінченних сум, тоді як умовно збіжні ряди таких властивостей не мають.

Причому, абсолютно збіжні мають переставну властивість: будь - який ряд, утворений за допомогою перестановки членів абсолютно збіжного ряду, також абсолютно збіжний і має ту саму властивість, що і заданий ряд. Умовно збіжні ряди переставної властивості не мають, бо від перестановки їхніх членів може змінитися сума ряду і нівіть утворитися розбіжний ряд.

Степеневі ряди, їх види. Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса

Функціональні ряди це такі, членами яких є не числа, а функції, визначені на деякій множині Е:



u₁(x) + u₂ (x) +… +u_n (x) +… = u_n (x) (17)

n = 1

Якщо взяти довільне число х₀ є Е і в ряді (17) покласти х = х₀, то дістанемо числовий ряд виду:

u₁(x₀) + u₂ (x₀) +… +u_n (x₀) +… = u_n (x_o) (18)

n = 1

Цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Якщо ряд (18) є збіжним, то точка х₀ називажться точкою збіжності функціонального ряду (17).

Якщо ж ряд (18) є розбіжним, то точка х₀ називається точкою розбіжності ряду (17).

Можна всіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності. Область збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності. Область збіжності функціонального ряду може або збігатися з множиною Е, на якій визначені члени ряду, або становити деяку частину цієї множини.

Частинна сума функціонального ряду є функцією від х і визначається за аналогією з числовими рядами:

S_n (x) = u₁ (x) + u₂ (x) +… + u_n (x)

У кожній точці х, яка належить області збіжності ряду (17), існує скінченна границя lim S_n (x) = S (x), яку називають сумою ряду (17) і записують: n> ?



S (x) = u₁ (x) + u₂ (x) +… u_n (x) +…

Функція S (x) визначена в області збіжностей функціонального ряду. Якщо функціональний ряд (17) збіжний до функції S (x), то різниця r_n (x) = S (x) -

S_n (x) називається n-м залишком ряду:

R_n (x) = u_n+1 (x) + u_n+2 (x) +…

Зрозуміло, що для всіх значень х з області збіжності ряду границя:

lim r_n (x) = 0

n> ?

Функціональний ряд (17) називається рівномірно збіжним на множині Д, якщо для довільного Е > 0 існує таке число N = N (Е), яке залежить лише від Е і не залежить від х, що для всіх n > N і для всіх х є Д виконується нерівність

< Е.

Існує поняття рівномірної і нерівномірної збіжності функціонального ряду з погляду, геометрії.

Нехай S(x) - це n-a частинна сума, а S (x) - сума ряд (17). Візьмемо довільне число Е > 0 і побудуємо криві S(x), S(x) + Е, S(x) - Е.

Останні дві криві утворюють смугу шириною 2Е. Якщо ряд 917) рівномірно збіжний на проміжку (а; в) до функції S(x), то можна знайти номер N = N (Е), починаючи з якого для всіх n > N графіки частинних сум S _n (x) розмістяться на всьому проміжку (а; в) всередині смуги 2 Е.

Це означає. Що суму S (x) на проміжку (а; в) можна наближено, з наперед заданою точністю, замінити однією і тією самою частинною сумою S _n (x):

S (x) S _n (x) х Є (а; в)

Якщо ряд нерівномірно збіжний на проміжку (а; в), то такого номера не існує: графіки частинних сум S _n (x) виходить на межі смуги 2 Е.

Рівномірно збіжні функціональні ряди мають слідуючи властивості:

Сума членів рівномірно збіжного на деякому проміжку ряду неперервних функцій, є функція, неперервна на цьому проміжку.

Якщо на відрізку функціональний ряд (17) рівномірно збіжний і члени ряду неперервні на , то його можна почленно інтегрувати в межах , де :

S (x) dx = ( u_n (x)) dx = u_n (x) dx

б б n = 1 n = 1 б

3) Якщо функціональний ряд (17) збіжний на відрізку , а його члени мають неперервні похідні u_n¹ (x), x є , n = 1, 2,…, причому ряд u¹_n (x) n = 1 рівномірно збіжний на , то заданий ряд можна почленно диференціювати, тобто:

S¹(x) = ( u_n (x)) = u_n (x), x є

n = 1 n = 1



Для дослідження функціонального ряду на рівномірну збіжність користуються достатньою умовою рівномірної збіжності.

Теорема (Ознака Вейєрштрасса). Функціональний ряд (17) абсолютно і рівномірно збіжний на відрізку , якщо існує знакододатній збіжний числовий

ряд а_n (19). такий, що

n = 1

? а_n, x є , n = 1, 2, … (20)

7. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду

Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду:

а₀ + а₁х + а₂х² + …+ а_nxⁿ + …= a_nxⁿ (21)

n = 1

де а₀, а₁, … а_n - дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

Степеневим рядом за степенями двочлена х - х₀, де х₀ - дійсне число, називають функціональний ряд вигляду (21) збіжний в точці х = 0 до суми

S = а₀. Тому область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну точку.

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд (21) збіжний для всіх значень х, що задовольняють нерівність .

Якщо при х = х₁ ряд (21) розбіжний, то він розбіжний всюди, де

Для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки:

1) ряд (21) збіжний лише в точці х = 0;

2) ряд (21) збіжний при всіх х Є (- ; + );

існує таке скінченне число R є (0; +), що при R степеневий ряд абсолютно збіжний, а при R - розбіжний.

Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал (-R; R) інтервалом збіжності.

Вкажемо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду.

Складемо ряд з модулів членів ряду (21)

n = 0

Припустимо, що існує знання

lim = lim · x = L ? 0, x ? 0

n

Згідно з ознакою Д'Аламбера, ряд (21) є абсолютно збіжним при L < 1, або

< , розбіжний при L > 1, або >

Отже, інтервал є інтервалом абсолютної збіжності ряду (21), а число (23)



R = = lim - його радіус збіжності. n

Аналогічно скориставшись ознакою Коші, можна встановити, що (24)

R = lim

n

Слід зробити деякі зауваження;

L = lim = 0 або L = lim ⁿ = 0

n n

то ряд (21) є абсолютно збіжним на всій числовій осі. Тут вважають R= +. Якщо L = , то R = 0, степtевий ряд має лише одну точку збіжності: х = 0.

Питання про збіжність ряду при х = ± R

Радіус збіжності ряду (22) визначається за тими самими формулами (23) і (24), що і ряду (21)

Інтервал збіжності ряду (22) знаходять з нерівність < R, тобто має вигляд (х₀ - R; х₀ + R)

На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за ознакою Д'Аламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду, складеного з модулів членів заданого ряду.



8. Властивості степеневих рядів

Степеневий ряд

a₀ + а₁х + а₂х² + … + а_nxⁿ+…

абсолютно і рівномірно збіжний на будь - якому відрізку , який цілком міститься в інтервалі збіжності (- R; R).

2) Сума степеневого ряду (21) неперервна всередині його інтервалу збіжності.

3) Якщо межі інтегрування б та в лежать всередині інтервалу збіжності (- R; R) ряду (17), то на відрізку цей ряд можна почленно інтегрувати.

4) Якщо ряд (21) має інтервал збіжності (- R; R), то ряд, утворений диференціюванням ряду (21), має той самий інтервал збіжності (- R; R); при цьому, якщо S (x) - сума ряду (21), то

S¹ (x) = na_nx^n-1, x Є (- R; R)

n = 0

Ряд Тейлора

Досі розглядалися властивості суми заданого степеневого ряду. Вважатимемо тепер, що функція задана, і з'ясуємо, за яких умов цю функцію можна подати у вигляді степеневого ряду і як знайти цей ряд.

Нехай функція f(x) є сумою степеневого ряду

f(x) = а₀ + а₁(х - х₀) + … + а_n (х - х₀)ⁿ +…. (25)



в інтервалі (х₀ - R; x₀ + R).У цьому разі кажуть, що функція f(x) розкладана в степеневий ряд в околі точки х₀ або за степенями х - х₀. Знайдемо коефіцієнти ряду (25) Для цього, згідно властивості (4), послідовно диференціюватимемо ряд (25) і підставлятимемо в знайдені похідні значення

х = х₀, одержимо:

f (x) = a₀ + a₁ (x - x₀) + a₂ (x - x₀)² + … +aⁿ (x - x₀)ⁿ + …; f (x₀) = a₀

f ¹(x) = 1 • a₁ + 2a₂ (x - x₀) + … + na_n (x - x₀)^n-1 +…; f¹ (x₀) = 1 • a₁;

f ¹¹ (x) = 1 • 2_a2 + 3 • 2_a3 (x - x₀)+ 4 • 3_a4 (x - x₀)² + … + n (n - 1) a_n

(x - x₀)^{n - 2} +…; f¹¹ (x₀) = 1 • 2_a2

… … … … …

f ⁽ⁿ⁾ _(x) = n (n - 1) (n - 2) … 2 • 1a_n + (n + 1) n (n - 1) … 2a_{n + 1} (x - x₀) +…;

f ⁽ⁿ⁾ (x₀) = 1 • 2 • 3… (n - 1) na_n.

Звідси знаходимо коефіцієнти

a₀ = f (x₀); a₁ = ; a₂ = ; …a_n = …

Підставивши значення цих коефіцієнтів у рівність (25), дістанемо:

f (x) = f (x₀) + (x - x₀) + (x - x₀)² + … + (x - x₀)ⁿ +… ряд

f (x₀) + (x - x₀) + (x - x₀)² + … + (x - x₀)ⁿ +… (26)



називається рядом Тейлора функції f (x).

Теорема 1. Якщо функція f (x) в інтервалі (х₀ - R; x₀ + R) можна розкласти в степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.

Теорема 2. Для того щоб ряд Тейлора (26) збігався до функції f (x) в інтервалі (х₀ - R; x₀ + R) тобто:

f (x) = f (x₀) + (x - x₀) + (x - x₀)² + … + (x - x₀)ⁿ +…

необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків і залишковий член її формули Тейлора прямував до нуля при n > ? для всіх х з цього інтервалу:

lim R_n (x) = 0, x Є (x₀ - R; x₀ + R) (27)

x > ?

З раніше розглянутого відомо, що для функції, яка має похідні всіх порядків, справедлива формула Тейлора:

f (x₀) + (x - x₀) + (x - x₀)² + … + (x - x₀)ⁿ + R_n (x) (28)

де R_n (x) = (x - x₀)ⁿ⁺¹, 0 < 0 <1 (29)

залишковий член формули Тейлора у формі Лагранжа.

Якщо позначити n - у частину суми ряду (26), то формула (28) матиме вигляд:



f (x) = S_n (x) + R_n (x) (30)

Теорема 3. Якщо функція f (x) в інтервалі (х₀ - R; x₀ + R) має похідні всіх порядків та існує число М > 0 таке, що

< М, x Є (х₀ - R; x₀ + R), n = 1, 2, … (31)

де f ⁽⁰⁾ (x) = f (x), то функція f (x) можна розкласти в ряд Тейлора.

Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена

Рядом Маклорена функції f (x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (31) при х₀ = 0.

f₍₀₎ + x + (x²) + … + xⁿ +… (32)

Щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена, потрібно:

знайти похідні f ¹(x), f¹¹ (x), …, f ⁿ (x),…;

обчислити значення похідних в точці х = 0;

записати ряд Маклорена (32) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

визначити інтервал (- R; R), в якому залишковий член формули

R_n (x) > 0 при n > ?

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятися від інтервалу збіжності

Ряду (32)), то в цьому інтервалі функція f (x) і сума ряду Маклорена збігається:



f (x) = f (0) + x + x² + … + x ⁿ +…

Для деяких елементарних функцій існують ряди Маклорена, а саме:

е ^х 1 + х Є (- ?; + ?)

sinx = x - х Є (- ?; + ?)

cosx = 1 - х Є (- ?; + ?)

(1+ х) ^m = 1 + x + x² + x³ + … + xⁿ +…, m Є R, х Є (- 1; 1)

= 1 + x + x² + …+ xⁿ +…, x Є (-1; 1)

е_n (1 + x) = x - + … +(-1)^n-1 , x Є

arctgx = x - (-1)ⁿ + …, х Є

Размещено на Allbest.ru