Математичне моделювання та керування односторонніми процесами дифузії та тепломасообміну

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

УДК 681.513.675

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА КЕРУВАННЯ ОДНОСТОРОННІМИ ПРОЦЕСАМИ ДИФУЗІЇ ТА ТЕПЛОМАСООБМІНУ

05.13.03 - Системи та процеси керування

Жданова Ірина Валеріївна

Київ-2005

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут” на кафедрі інформаційної безпеки

Науковий керівник:доктор технічних наук, професор Новіков Олексій Миколайович, Фізико-технічний інститут НТУУ “КПІ”, директор

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Данилов Валерій Якович,

Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" Міністерства освіти і науки України та НАН України, професор кафедри математичних методiв системного аналiзу

кандидат фізико-математичних наук Зайцев Вадим Григорович, Дніпропетровський Національний університет, доцент кафедри комп'ютерних технологiй

Провідна установа:

Інститут космічних досліджень НАН України та НКА України, м.Київ, відділ аналізу перспективних космічних проблем

Захист відбудеться 18 квітня 2005 р. о 15 ⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої ради Д26.002.03 у Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут” за адресою: Київ, пр. Перемоги, 37, корп.35, ауд.006.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного технічного університету України “КПІ” за адресою: Київ, пр. Перемоги, 37.

Автореферат розісланий: “16” березня 2005 р.

В.о. вченого секретаря

спеціалізованої ради Д26.002.03,

доктор технічних наук, професор В.Д. Романенко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДОСЛІДЖЕННЯ

Актуальність теми дослідження. Односторонні процеси становлять велику частину загального числа керованих процесів дифузії та тепломасообміну, що спостерігаються в оточуючому середовищі та промисловості. Вони відрізняються від класичних процесів математичної фізики, які називають двосторонніми, наявністю некласичних властивостей, які проявляються у якісній зміні характеристик цих процесів на деяких ділянках границь або всередині просторової області при досягненні станом процесу чи деякими його функціями порогового рівня, що відображається в структурній зміні рівнянь моделі процесу. Просторові та часові характеристики дії функції, що описує вказаний ефект, заздалегідь невідомі.

У роботах Г. Дюво, Ф. Кіндерлера, Ж._Л. Ліонса показано, що змістовним підходом до опису односторонніх процесів є використання моделей у виді варіаційних нерівностей. При цьому односторонні властивості процесу формалізуються у вигляді функціоналу відповідності, який входить до складу моделі. При цьому функціонал відповідності відображає не лише тип односторонньої поведінки, а й жорсткість окресленості зони дії односторонніх властивостей. Одностороннім процесам, що відбуваються у газоподібних та рідких середовищах, властиві м'які переходи від зони класичної дії до зони прояву односторонніх ефектів, що відповідає товстим стінкам границь та характеризується гладкими функціоналам відповідності. Твердим та в'язким середовищам скоріше притаманні переходи, які мають більш жорсткий характер, і описуються негладкими функціоналами відповідності, або при наявності сингулярних переходів (поява тріщин, зсувів) і такими, що приймають значення нескінченність.

Але алгоритми на основі існуючих методів розв'язання варіаційних нерівностей орієнтовані на роботу з гладкими функціоналами відповідності. Для випадку негладкості функціоналів відповідності, або можливості досягнення ними значення нескінченність вони потребують розвитку. Це визначає актуальність та новизну роботи.

Практична важливість досліджень у вказаній області зумовлюється тим, що серед односторонніх процесів дифузії та тепломасообміну із негладкими функціоналами відповідності або такими, що приймають значення нескінченність, є багато промислово значущих процесів, серед яких процеси фільтрації нафт або інших рідин при наявності специфічних фізико-хімічних властивостей, процеси із тертям при наявності проковзування, процеси пластичного кручення та багато інших. Розв'язання задач керування цими процесами спряжене із рядом складнощів, які пов'язані із просторово-часовою невизначеністю дії односторонніх властивостей, можливістю досягнення функцією, що описує односторонні властивості, значення нескінченність, або її багатозначністю в окремих точках, великою розмірністю дискретних моделей, необхідністю підвищеної точності розв'язання в областях дії односторонніх властивостей. Це приводить до¶ необхідності розробки та розвитку методів аналізу та синтезу систем, основу яких складають односторонні процеси,алгоритмів чисельного розв'язання варіаційних нерівностей, зокрема для випадку негладких функціоналів варіаційних нерівностей.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної теми №2708 “Математичні методи прогнозування та оптимального керування складними динамічними системами з елементами критичної та стохастичної поведінки”, державний реєстраційний №0104U000714 .

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у розробці та розвитку методів і алгоритмів аналізу та керування односторонніми просторово-розподіленими процесами дифузії та тепломасообміну, що ґрунтуються на варіаційній теорії нескінченновимірних задач та методі функціональної параметризації і враховують такі особливості, як відсутність неперервної диференційованості функціоналів відповідності варіаційних нерівностей або можливість досягнення ними значення нескінченність. При цьому розроблені алгоритми мають бути ефективними щодо використання машинних ресурсів в умовах великої розмірності систем, які виникають при дискретизації моделей і враховувати необхідність забезпечення високої точності розв'язку.

Об'єктом дослідження є односторонні процеси дифузії та тепломасообміну.

Предметом дослідження є алгоритми і методи моделювання та керування односторонніми процесами дифузії та тепломасообміну із моделями у вигляді варіаційних нерівностій у випадку негладкості функціоналів відповідності варіаційних нерівностей або можливості досягнення ними значення нескінченність.

Поставлена мета досягається шляхом розв'язання наступних задач:

· Аналізу існуючих методів та алгоритмів моделювання та керування односторонніми процесами дифузії та тепломасообміну;

· Розробки алгоритмів обчислювального розв'язання односторонніх задач в умовах негладкості функціоналу відповідності варіаційної нерівності або можливості прийняття ним значення нескінченність на основі апроксимаційного та субградієнтного підходів;

· Розробки економічної схеми розв'язання скінченовимірних моделей односторонніх процесів дифузії та тепломасообміну і адаптивного алгоритму генерації сітки дискретизації, який враховує односторонні властивості процесу;

· Розробки алгоритму керування для односторонніх процесів із негладкими функціоналами відповідності варіаційних нерівностей, та такими що приймають значення нескінченність;

· Побудови моделі процесу фільтрації нафти при наявності односторонніх властивостей та розробки на основі отриманих у дисертації результатів програмного забезпечення, яке дозволяє здійснювати моделювання даного процесу.

Методи дослідження спираються на теорію варіаційних нерівностей, теорію оптимального керування, апарат чисельних методів.

Наукова новизна. Наукова новизна визначається наступними результатами:

· Розроблено апроксимаційний та субградієнтний алгоритми обчислювального розв'язання варіаційних нерівностей із негладкими функціоналами відповідності або з такими, що приймають значення нескінченність, з використанням методу функціональної параметризації, що дозволяє моделювати процеси дифузії та тепломасообміну із “жорсткими” односторонніми властивостями;

· Модифіковано схему розв'язання скінченовимірних моделей односторонніх процесів дифузії та тепломасообміну, що базується на методі перерізів та відрізняється економічністю запитів пам'яті ЕОМ. Розроблено алгоритм генерації сітки дискретизації скінченовимірних моделей односторонніх процесів, який відрізняється адаптацією до функції, що описує односторонні властивості процесу.

· Запропоновано алгоритм керування односторонніми процесами, який відрізняється працездатністю у випадку негладкості функціоналів відповідності варіаційних нерівностей або прийняття ними значення нескінченність.

· Сформульовано модель процесу фільтрації нафти із наявністю граничного градієнту тиску, що відрізняється врахуванням “жорсткості” односторонніх властивостей процесу. Отримані у дисертації результати застосовано до розв'язання задачі моделювання та керування вказаним процесом. Для моделювання процесу однофазної фільтрації нафти в умовах наявності граничного градієнту тиску розроблено програмне забезпечення.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в роботі результати застосовані до розв'язання практичної задачі моделювання та керування одностороннім процесом однофазної фільтрації нафти в умовах граничного градієнту тиску.

Основні результати роботи втілені у програмному модулі “Математичне моделювання процесів фільтрації в'язких нафт в нафтовому родовищі”, який використано в ОКБ “Шторм” при виконанні господарчого договору №272 між ОКБ “Шторм” та ВАТ “Укрнафта” в рамках робіт по створенню програмно-апаратного комплекса ехолота - рівнеміра “Скорпіон” для нафтодобувної промисловості.

Результати дисертаційної роботи впроваджено в навчальний процес за курсом “Чисельні методи” та використано у циклі лабораторних робіт за цим курсом.

Особистий внесок здобувача. У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачу належать:[1] - апроксимація функцій перешкоди за допомогою методу сплайн-інтерполяції, [2] - модифікація схеми розв'язання скінченоелементних моделей на основі методу перерізів, [4] - алгоритм обчислювального розв'язання односторонніх задач із негладкими функціоналами відповідності, аналіз розроблених варіантів алгоритму, [5] - розробка моделі процесу фільтрації нафти при наявності граничного градієнту тиску, [6] - підхід до обчислювального розв'язання односторонніх задач із тонкими стінками та жорсткими перешкодами, [7] - економічний спосіб зберігання моделей односторонніх процесів з перешкодою в області, [8] - апроксимаційний підхід до розв'язання односторонніх задач в умовах їхньої некоректності, [9] - розвиток методу функціональної параметризації для випадку багатозначних функцій відповідності та таких, шо приймають значення нескінченність. Всі обчислювальні експерименти виконані особисто здобувачем.

Апробація результатів роботи. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на VII міжнародній конференції “Контроль та управління в складних системах” (КУСС-2003), 10-11 жовтня 2003 р., м. Вінниця, Міжнародній науково-практичній конференції: “Экология: Образование, наука, промышленность и здоровье”, 14-16 квітня 2004 р., м. Белгород, Міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2004”, 26-28 квітня 2004 р., м. Київ, Х міжнародній конференції ім. акад. Кравчука, 13-15 травня, м. Київ, Шостій міжнародній науково-практичній конференції „Системний аналіз та інформаційні технології”, 1-3 липня 2004 р., м. Київ, XI міжнародній конференції по керуванню “Автоматика -2004”, 27-30 вересня 2004 р., м.Київ.

Публікації. Загальний зміст дисертації опубліковано в 5 статтях у фахових виданнях, затверджених ВАК України, та 5 тезах доповідей у матеріалах міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, заключної частини, списку використаних літературних джерел на 100 найменувань та 3 додатків. Повний обсяг дисертації складає 142 сторінки друкованого тексту, де додатки займають 5 сторінок. Дисертація містить 26 рисунків, 15 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі визначено актуальність теми, спрямованість досліджень та визначено задачі, що розв'язуються в роботі, надано відомості про апробації, публікації та реалізацію роботи.

В першому розділі розглянуто відомі підходи та методи аналізу та керування односторонніми фізичними процесами, визначено можливості їхнього вдосконалення та розвитку. На основі аналізу існуючих результатів та невирішених проблем зроблено постановку задачі дисертаційного дослідження.

Фундаментальні дослідження та методи аналізу та керування односторонніми процесами з моделями у вигляді варіаційних нерівностей були одержані В.Барбю, Г.Дюво, Р.Гловінськи, Н.Л.Гольдман, М.З.Згуровським, В.І.Максимовим, В.С.Мельником, Є.В. Радкевичем, Г.Стампакк'єю, Г.Фікерою, А.Фрідманом та іншими. Але, разом з великою кількістю досліджень у вказаних напрямках, ще залишились нерозв'язані задачі.

Відсутність неперервної диференційованості функціоналів відповідності варіаційних нерівностей, можливість прийняття ними значення нескінченність приводить до багатозначності функцій відповідності, породжених цими функціоналами, в точках, де спостерігаються вказані властивості. В цих умовах необхідно використовувати підходи та відповідні алгоритми, що дозволять отримати однозначний розв'язок. Питання розв'язання моделей односторонніх процесів у вигляді варіаційних нерівностей із функціоналами, що не є гладкими, або можуть набувати значення нескінченність, висвітлювалось у ряді теоретичних аспектів. Зокрема, в роботах Р.Гловінські, Ж.-Л. Ліонса, Р. Тремольєра запропоновано ідею апроксимації функціоналів із вказаними властивостями гладкими виразами. Але застосування апроксимаційного підходу у поєднанні із конструктивним методом розв'язання не проводилось. Тому цікавість представляє поєднання апроксимаційного підходу із ефективним методом, яким, наприклад є метод функціональної параметризації, запропонований в роботах М.З.Згуровського, В.С.Мельника та О.М.Новікова. Було показано можливість застосування методу функціональної параметризації для класів односторонніх процесів із функціоналами відповідності, що не є гладкими, або можуть досягати значення нескінченність. Але алгоритм для цього випадку не було запропоновано.

У роботах Ф.П.Васильєва, Б.М.Пшеничного було розроблено субградієнтний підхід, який застосовувався у задачах негладкої оптимізації. Для розв'язання варіаційних нерівностей із негладкими функціоналами відповідності існує можливість використати ідею цього підходу, яка базується на введенні поняття субдиференціалу і доповнити алгоритм методу функціональної параметризації процедурою на основі субградієнтного підходу.

Обов'язковим етапом розв'язання задач керування односторонніми процесами, є дискретизація їхніх моделей. Такі особливості, притаманні скінченовимірним моделям односторонніх процесів, як велика розмірність систем рівнянь, наявність великих градієнтів стану, необхідність багаторазового розв'язання систем рівнянь моделі, невідоме заздалегідь просторово-часове розташування областей дії односторонніх властивостей висувають свої вимоги щодо обчислювальних ресурсів, а значить, і щодо методів та схем розв'язання скінченовимірних односторонніх задач, від яких, в свою чергу, залежить якість керування. Існуючі схеми розв'язання крайових задач можуть бути удосконалені на випадок односторонніх моделей шляхом застосування адаптивного підходу до генерації сітки дискретизації, зменшення запитів пам'яті.

У класичних роботах з теорії керування У.Рея, В.Уайта та інших було запропоновано алгоритми керування розподіленими процесами. В існуючих роботах було виконано поєднання цих класичних алгоритмів із методом функціональної параметризації для розв'язання задачі керування односторонніми процесами. Але при керуванні односторонніми процесами із “жорсткими” односторонніми властивостями алгоритм повинен бути розвинутий на випадок негладких функціоналів відповідності або таких, що приймають значення нескінченність.

Серед односторонніх процесів є такі промислово значущі процеси як процеси фільтрації нафти при наявності граничного градієнту тиску. Особливості подібних процесів вивчалися в роботах з дослідження розробки полів корисних копалин М.Г Бернадинера, В.М. Ентова, Е.В. Скворцова, де розглянуто процеси фільтрації нафти, що характеризуються некласичною залежністю поля швидкостей нафти від поля тисків, що не враховується в рамках класичного закону Дарсі. При градієнтах тиску, менших за деяке граничне значення, такі нафти поводяться як твердоподібні структури, утворюючи застійні зони. Некласичні властивості розглянутого процесу досліджувались у виді інженерних показників або враховувались у виді співвідношень, що коригували модель у вигляді рівнянь математичної фізики на заключному етапі. Але даний процес може бути більш ефективно описаний, як односторонній процес з моделлю у вигляді варіаційної нерівності, де односторонні властивості враховуються на етапі постановки задачі у вигляді негладких функціоналів відповідності. Результати моделювання вказаного процесу можуть бути використані в процесі розв'язання багатьох важливих задач нафтодобувної промисловості.

У другому розділі запропоновано алгоритми обчислювального розв'язання односторонніх задач у вигляді варіаційних нерівностей.

В даній роботі розглянуто односторонні процеси дифузії та тепломасообміну із моделями у вигляді варіаційних нерівностей виду:

(?u/?t, v-u)+(A(л),v-u)+ш_i(v)-ш_i(u)?(f,v-u) в Q, v H¹ (?), (1)

з початковими умовами u|_t=0=u₀ , де u визначена на обмеженій відкритій множині з гладкою границею Г на інтервалі часу [0,T], ; A - оператор, дія якого визначається у загальному випадку виразом

, (2)

де k(z)-коефіцієнт дифузії, c_i(z) - коефіцієнт переносу, d(z)- коефіцієнт стоку; - функціонал відповідності; i - індекс, що позначає тип процесу, i=2,3; f - змушуюча функція процесу, , q_k(t)- функція інтенсивності джерел, які діють в підобластях ; - характеристична функція підобласті , . Якщо g₁, g₂ , операція (g₁,g₂) співпадає зі скалярним добутком в , тобто (g₁,g₂)=g₁(z)g₂(z)dz. Варіаційна нерівність (1) є узагальненою формою представлення задачі.

Функціонал для випадку процесу із перешкодою в області, для випадку процесу із односторонньою провідністю границі.

В роботі розглянуто випадки, коли функціонал відповідності не є неперервно диференційованим, але приймає скінчені значення (i=2), або може приймати значення нескінченність (i=3). До процесів другого типу відносяться процеси із багатозначною м'якою перешкодою в області або провідністю товстої стінки, до третього типу відносяться процеси із односторонньою провідністю тонкої стінки границі та процеси із жорсткою перешкодою в області.

Вираз (1) приведено до локальної форми, як показано в роботах Г. Дюво та Ж.-Л. Ліонса:

(3) u|Г = uгран; u(0) = u0,	(4) ; u(0) = u0,.

У випадку односторонньої перешкоди в області локальна форма має вид (3), де функція ц описує односторонні властивості в області, а у випадку процесу із односторонньою провідністю границі локальна форма описується виразом (4), де функція ц описує односторонню провідність границі, n - нормаль до границі. Функцію ц будемо називати функцією відповідності. Аналітичний вираз для цієї функції одностороннього процесу містить гілку, що відповідає класичному розвитку процесу, та гілку, що відповідає ділянці дії односторонніх властивостей. Час та просторове розташування дії кожної з цих гілок заздалегідь невідоме. Задачу пошуку підобластей дії функції відповідності згідно методу функціональної параметризації зведено до задачі пошуку невідомих параметрів , які повністю характеризують дану функцію, що представляється у параметричній формі . Ця задача, згідно оптимізаційного підходу, є задачею мінімізації критерію у випадку односторонніх процесів із перешкодою в області, або у випадку процесів із односторонньою провідністю границі при наявності умов (3), (4). Вона розв'язана за допомогою методу Лагранжа. Лагранжіан має вигляд

(5)

для процесу із перешкодою в області,

(6)

для процесу із односторонньою провідністю границі, де змінна p визначається зі спряжених рівнянь

(7) p(T)=0 p|Г = 0.	(8) p(T)=0 .

Рівняння (7) відповідає процесу із перешкодою в області, рівняння (8) відповідає процесу із односторонньою провідністю границі, оператор A^* спряжений до A.

Умови екстремуму для виразів (5), (6) відповідно мають вигляд:

, (9)	. (10)

Для знаходження мінімуму функціонала виду (5), або (6) із урахуванням виразів (9) або (10) використано градієнтний метод.

Запропоновано два варіанти алгоритму на основі апроксимаційного підходу, в основу яких покладено метод функціональної параметризації. Згідно першого варіанту багатозначні функції , які визначаються як ц є ?ш, де ?ш - субдиференціал функціоналу ш, замінюються однозначними апроксимаціями ц^* і відповідна задача в локальній формі розв'язується за методом функціональної параметризації. Інший варіант алгоритму передбачає апроксимацію на етапі узагальненої постановки задачі функціоналів відповідності ш гладкими апроксимаціями ш^*. Запропоновано апроксимації для типових видів функцій та функціоналів відповідності. Локальна форма задач із перешкодою в області та односторонньою провідністю границі на основі першого варіанту алгоритму набуде вигляду (11), (12), а на основі другого варіанту алгоритму набуде вигляду (13), (14).

(11) u|Г = uгран; u(0) = u0, (12) ; u(0) = u0;	(13) u|Г = uгран; u(0) = u0, (14) ; u(0) = u0.

Задачу пошуку невідомих (u, о) розв'язано як задачу мінімізації критерію J(u,о)inf при умовах (11-14), який будується виходячи із односторонньої специфіки процесу.

Працездатність та якісні характеристики апроксимаційних алгоритмів підтверджені обчислювальним експериментом.

При відхиленні стартових значень градієнтної процедури 10_15% від очікуваних результуючих алгоритм із апроксимацією на етапі локальної форми представлення задачі збігається у середньому на 4 кроці градієнтної процедури, тоді як алгоритм із апроксимацією на етапі узагальненої форми представлення задачі збігається у середньому на 8 кроці градієнтної процедури.

Середня відносна похибка стану процесу на заключному кроці градієнтної процедури настройки при застосуванні апроксимації на етапі локальної форми в зоні дії функції відповідності дu=3%. Чисельний експеримент проводився для зворотної жорсткої провідності границі.

Запропоновано алгоритм на основі субградієнтного підходу, при побудові якого використано той факт, що для процесів із негладким функціоналом відповідності в точці u=u_кр значення функції відповідності ц(u) належать множині . В даному випадку функція ц є субдиференціалом функціоналу відповідності ш в точці u_кр, inf M та sup M відомі. Тому можна здійснити перебір елементів даної множини із деяким кроком

Д=(supM -infM)/N, де N- стала, що визначає щільність перебору. Алгоритм методу функціональної параметризації в цьому випадку доповнюється знаходженням серед елементів множини оптимального, що доставляє мінімум цільовому критерію.

Обчислювальний експеримент продемонстрував, що при відхиленні стартових значень градієнтної процедури 10-15% від очікуваних результуючих субградієнтний алгоритм збігається у середньому на 3 кроці основної градієнтної процедури. Середня відносна похибка стану процесу на заключному етапі градієнтної процедури настройки в зоні дії функції відповідності д_u=1%. Чисельний експеримент проводився для м'якої багатозначної перешкоди зверху.

При дослідженні джерел виникнення похибок виявлено, що алгоритм на основі субградієнтного підходу є більш точним, ніж алгоритми на основі апроксимаційного підходу, оскільки він не потребує апроксимації виразів, якими оперує.

При однакових вхідних даних похибка відновлення параметру функції відповідності на 5 ітерації основної градієнтної процедури субградієнтного алгоритму становила приблизно 3-5%, тоді як похибка відновлення цього параметру для апроксимаційного алгоритму становила приблизно 6-8%. Однак, субградієнтний алгоритм не може бути застосовано у випадку односторонніх процесів із функціоналами відповідності процесу, що можуть набувати значення нескінченність.

В третьому розділі запропоновано модифікацію схеми розв'язання скінченовимірних моделей односторонніх процесів, алгоритм адаптивної генерації сітки при розв'язанні подібних задач та алгоритм керування односторонніми процесами

З метою зменшення запитів накладної пам'яті, які становлять приблизно 50% від загальних запитів пам'яті при використанні впорядкування матриці за схемою методу перерізів, запропоновано модифікацію схеми, що призначена для розв'язання прямими методами систем рівнянь великої розмірності.

Модифікована схема передбачає побудову одновимірного списку ненульових елементів матриці-множнику за відомостями про вихідну матрицю вузлів, здійснення зворотного ходу методу Гауса та інтерпретацію результатів.

В результаті застосування модифікації запити накладної пам'яті вихідної схеми порядку (NM)², де N x M- розмірність матриці вузлів, зменшені до величини порядку NM. Для матриць розмірності N=M=40 досягнуто зменшення запитів накладної пам'яті у 327 разів.

Запропоновано алгоритм, що генерує адаптивну сітку із вузлами, що рухаються за принципом лагранжевих координат. Переміщення вузлів здійснюється в узгодженні з поведінкою функції відповідності процесу. Розроблений алгоритм дозволяє проводити багаторазове перегенерування сітки дискретизації, що ущільнюється в підобластях великих градієнтів функції стану та функції відповідності процесу, які займають невелику площу порівняно із загальними обсягами області дії процесу. Це дозволяє підвищувати точность розв'язання односторонніх задач, не збільшуючи суттєво запитів на ресурси ЕОМ.

У роботі запропоновано алгоритм оптимального керування односторонніми процесами із негладкими функціоналами відповідності або такими, що приймають значення нескінченність. Він передбачає два взаємопов'язані етапи:

1)оптимальне керування процесом для заданого значення параметру процесу;

2)оцінювання параметру процесу.

На першому етапі розв'язок рівняння Ріккаті здійснюється для апроксимованих виразів функції відповідності ц^*. На другому етапі виконується оцінювання невідомого параметру в процесі розв'язання за одним із розроблених алгоритмів: апроксимаційним або субградієнтним. При цьому для задач із перешкодою в області лагранжіан приймає вигляд

(15)

,

а для задач із односторонньою провідністю границі

 (16)

,

де J- критерій, що штрафує порушення односторонніх умов, s(^.) є результатом розв'язку рівняння Ріккаті, Ф(^.) та K(^.)- невідомі функції, що визначаються зі спряжених рівнянь, які отримуються в процесі знаходження варіації L за u. Запропонований алгоритм робить можливим розв'язок задачі керування процесами із моделями у формі варіаційних нерівностей, які характеризуються “жорсткими” односторонніми властивостями.

У четвертому розділі отримані у дисертації результати застосовано до розв'язання задачі моделювання та керування процесами однофазної фільтрації нафти в нафтових родовищах з підвищеним вмістом парафінів. Такі процеси відрізняються некласичною залежність між швидкістю фільтрації та тиском, що веде до проявлення застійних областей при градієнтах тиску, менших за граничний. Процес формалізовано у вигляді моделі у формі варіаційної нерівності, яка враховує його “жорсткі” односторонні властивості на етапі постановки задачі

((в_c + m(z)в_н)?u/?t,v - u) - (У ?/?z_i (b(z)k(z)?u/?z_i), v - u)+ш(v)-ш(u)?

в, , (17)

де в_с - коефіцієнт стискання пористого середовища; вн - коефіцієнт стискання нафти; m(z) - пористість середовища; b(z)=с/м, де с - щільність нафти, м - в'язкість нафти, k- коефіцієнт проникності середовища, z = (z₁, z₂, z₃), h(z)- потужність пласта, q_j(t) - дебіти свердловин, що діють в підобластях , j=1..K, K- кількість свердловин. Односторонні властивості, притаманні процесу фільтрації нафти із граничним градієнтом тиску, представлені функціоналом відповідності та функцією перешкоди :

(18)	(19)

Використання негладкого функціоналу відповідності виду (18) дало змогу підвищити адекватність розробленої моделі порівняно із використанням гладкого функціоналу, що описує односторонні властивості. Параметр перешкоди о(t,z) у виразах (18),(19) є невідомим. Критерій якості для знаходження параметру перешкоди, має вигляд:

. (20)

Вираз (20) штрафує порушення умови нерухомості нафти в застійних областях, де градієнт тиску є меншим за граничне значення.

Для обчислювального розв'язання варіаційної нерівності (17) застосовано алгоритм із апроксимацією багатозначної функції відповідності (19), який використовує лагранжіан виду (5), де визначено виразом (20). Мінімізація лагранжіану проведена за допомогою градієнтного методу вигляду , критерій закінчення ітерацій |J ^j-J ^j+1| / J ^j+1.

Розв'язано задачу керування вказаним процесом на основі застосування розробленого в дисертації алгоритму керування процесами, що характеризуються негладкими функціоналами відповідності, який використовує лагранжіан виду (15).

Прогноз тиску нафти та відновлення місцеположення застійних зон у нафтовому пласті, які проводились з використанням моделі процесу однофазної фільтрації нафти із наявністю граничного градієнту тиску, засвідчили її придатність для розв'язування практичних задач у нафтодобуванні.

Отримані у дисертаційній роботі моделі, методи та алгоритми покладено в основу програмного модуля “Математичне моделювання процесів фільтрації в'язких нафт в нафтовому родовищі” для моделювання процесу однофазної фільтрації нафти із наявністю граничного градієнту тиску, який розроблено у середовищі Delphi у вигляді стандартної прикладної програми ОС Windows. Створений програмний модуль використано в ОКБ “Шторм” у складі програмно-апаратного комплексу ехолота - рівнеміра „Скорпіон” для розв'язання задач нафтодобувної промисловості.

У заключенні сформульовано висновки та результати дослідження.

В додатках наведено копії екранних форм розробленого програмного забезпечення та довідки про впровадження результатів дисертаційної роботи.

дифузія тепломасообмін нафта

ВИСНОВКИ

Основним результатом дисертаційної роботи є створення та розвиток теоретичних та прикладних результатів з моделювання та керування односторонніми просторово розподіленими процесами дифузії та тепломасообміну, моделі яких описуються варіаційними нерівностями. Процеси, що розглядаються в роботі, характеризуються негладкими функціоналами цих нерівностей, або такими, що приймають значення нескінченність. В роботі отримано такі наукові та практичні результати:

1. На основі аналізу односторонніх процесів дифузії та тепломасообміну, які відрізняються аномальністю властивостей, що полягають в стрибкоподібній зміні їхніх фізичних властивостей при досягненні їхнім станом або іншими характеристиками критичних значень, виділено клас керованих процесів, які ефективно описуються варіаційними нерівностями і характеризуються негладкістю функціоналів відповідності варіаційних нерівностей або можливістю прийняття ними значення нескінченність. З урахуванням цього факту сформульовано сукупність задач аналізу даних процесів.

2. Розроблено апроксимаційний алгоритм обчислювального розв'язання варіаційних нерівностей на основі методу функціональної параметризації, що відрізняється можливістю застосування до односторонніх процесів із негладкими функціоналами відповідності варіаційних нерівностей, або такими, що можуть приймати значення нескінченність, характеризується апроксимацією функціоналів або функцій відповідності варіаційних нерівностей і забезпечує середню відносну похибку відновлення параметру функції відповідності не вище 8% при збіжності процедури настройки на 5 кроці.

3. Розроблено субградієнтний алгоритм обчислювального розв'язання варіаційних нерівностей на основі методу функціональної параметризації, який відрізняється можливістю застосування до односторонніх процесів, що характеризуються негладкістю функціоналів відповідності та забезпечує швидкість збіжності вищу у середньому в 1,5-2 рази (за ітераціями основної процедури), ніж алгоритм із апроксимацією функції відповідності, та середню відносну похибку відновлення параметру функції відповідності не вище 5% при збіжності процедури настройки на 5 кроці.

4. Запропоновано модифікацію схеми розв'язання скінченоелементних моделей односторонніх задач на основі методу перерізів, яка відрізняється використанням економної упаковки елементів на основі одновимірного списку та забезпечує скорочення запитів накладної пам'яті для зберігання моделі порівняно із вихідною схемою приблизно у разів, де - розмірність матриці вузлів.

Розроблено алгоритм генерації адаптивної сітки, що базується на принципі руху лагранжевих координат і відрізняється узгодженістю із функцією, що описує односторонні властивості процесу, що дозволяє підвищити точність обчислень у зонах появи односторонніх ефектів.

5. Запропоновано алгоритм керування односторонніми процесами із моделями у вигляді варіаційних нерівностей, який базується на методі функціональної параметризації та класичному алгоритмі керування та відрізняється працездатністю у випадку відсутності неперервної диференційованості або можливості досягнення значення нескінченність функціоналами відповідності варіаційних нерівностей.

6. Запропоновано модель процесу фільтрації нафти із наявністю граничного градієнту тиску, що відрізняється більшою адекватністю завдяки врахуванню односторонніх властивостей процесу у вигляді негладкого функціоналу відповідності варіаційної нерівності, порівняно із використанням гладкого функціоналу. На основі запропонованого алгоритму із апроксимацією функції відповідності процесу та алгоритму керування розв'язано задачу моделювання та керування вказаним процесом.

7. Розроблено програмний модуль “Математичне моделювання процесів фільтрації в'язких нафт в нафтовому родовищі”, призначений для моделювання процесу однофазної фільтрації нафти в умовах наявності граничного градієнту тиску, який використано в ОКБ “Шторм” у складі програмно-апаратного комплексу ехолота - рівнеміра „Скорпіон” для розв'язання задач нафтодобувної промисловості. Основні результати дисертаційної роботи впроваджено у навчальний процес.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Жданова І.В., Новіков О.М. Регуляризація просторово-розподілених однобічних процесів при знаходженні невідомих характеристик функції перешкоди //Наукові вісті НТУУ “КПІ”.-2003.- №3.-с. 134-140.

(Дисертанту належить розробка апроксимацій функцій перешкоди).

2. Жданова І.В., Новіков О.М. Модифікована схема розв'язування скінченоелементних моделей одного класу методом перерізів //Наукові вісті НТУУ “КПІ”.-2003.- №5.- С.138-147.

(Дисертанту належить розробка модифікації схеми розв'язання скінченоелементних моделей).

3. Жданова І.В. Про наближений розв'язок односторонніх задач дифузії та тепломасообміну із багатозначними функціями відповідності //Системні дослідження та інформаційні технології .- 2004.-№3.-С.128-137.

4. Жданова І.В., Новіков О.М. Апроксимаційний підхід до розв'язання односторонніх задач із негладкими функціоналами відповідності //Наукові вісті НТУУ “КПІ”.-2004.- №5.-С. 127-135.

(Дисертанту належить розробка алгоритму розв'язання односторонніх задач із негладкими функціоналами відповідності із двома варіантами застосування апроксимацій, порівняльний аналіз варіантів та проведення чисельного експерименту).

5. Жданова І.В., Новіков О.М. Моделювання процесів фільтрації нафти з наявністю граничного градієнту тиску // Системні технології.- 2004.- №5(34) .-С.111-119. (Дисертанту належить розробка моделі процесу у вигляді варіаційної нерівності, проведення чисельного експерименту).

6. Жданова І.В., Новіков О.М. Построение моделей односторонніх физических процессов в окружающей среде //Вестник БГТУ им. В.Г.Шухова (II международная научно-практическая конференция “Экология: образование, наука, промышленность и здоровье”). - 2004.- №8, часть IV.- С.131-133. (Дисертантом запропоновано підхід до обчислювального розв'язання односторонніх задач із тонкими стінками та жорсткими перешкодами).

7. Жданова І.В., Новіков О.М. Розробка економічної скінченовимірної моделі односторонніх фізичних процесів //Матеріали VI міжнародної науково-технічної конференції “АВІА-2004”. - Том 1.- К.:НАУ.- 2004.- С. 1411-1414. (Дисертантом розроблено економічний спосіб зберігання скінченовимірних моделей односторонніх процесів з перешкодою в області).

8. Жданова І.В., Новіков О.М. Розв'язання односторонніх некоректних задач екологічного моніторингу //Матеріали десятої міжнародної конференції ім. акад. М.Кравчука. -К.:Задруга.- 2004.- С.191.

(Дисертантом запропоновано підхід до розв'язання односторонніх задач у вигляді варіаційних нерівностей в умовах їхньої некоректності).

9. Жданова І.В., Новіков О.М. Розв'язання односторонніх задач дифузії та тепломасообміну методом функціональної параметризації //Матеріали 11-ї міжнародної конференції по керуванню “Автоматика -2004”. - К.:НУХТ.- 2004.-С.83. (Дисертантом розвинуто метод функціональної параметризації для випадку односторонніх задач із багатозначними функціями відповідності та такими, що приймають значення нескінченність).

10. Жданова І.В. Конструювання цільових критеріїв односторонніх задач на основі фізичного підходу//Тези доповідей учасників VI міжнародної науково-практичної конференції „Системний аналіз та інформаційні технології”. - К.:НТУУ “КПІ”.- 2004.-С.55-56.

АНОТАЦІЯ

Жданова Ірина Валеріївна. Математичне моделювання та керування односторонніми процесами дифузії та тепломасообміну. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеню кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.03 - Системи та процеси керування.- Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут", Київ, 2005.

У дисертаційній роботі розроблено алгоритми обчислювального розв'язання варіаційних нерівностей, що є моделями односторонніх процесів, на основі методу функціональної параметризації для негладких функціоналів відповідності або таких, що можуть приймати значення нескінченність за рахунок субградієнтного та апроксимаційного підходів. Модифіковано схему методу перерізів розв'язання скінченоелементних моделей, що дозволяє скоротити запити накладної пам'яті у кількість разів, що приблизно дорівнює кількості елементів у вихідній матриці вузлів. Запропоновано алгоритм адаптивної генерації сітки дискретизації, який діє у поєднанні з алгоритмом відновлення невідомої функції перешкоди або односторонньої провідності. Запропоновано алгоритм керування односторонніми процесами із "жорсткими" односторонніми властивостями. Розв'язано задачу моделювання та керування процесом фільтрації нафти з граничним градієнтом тиску, який формалізовано у вигляді варіаційної нерівності із негладким функціоналом відповідності. Для моделювання вказаного процесу розроблено програмне забезпечення.

Ключові слова: односторонні процеси, варіаційні нерівності, функції перешкоди та односторонньої провідності.

ANNOTATION

Zhdanova Iryna Valeriivna. Mathematical simulation and control of diffusion and heat-mass exchange processes.-Manuscript. Thesis for a candidate's degree by speciality 05.13.03 - Сontrol systems and processes. - National technical university of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute", Kyiv, 2005.

In the thesis the numerical solution algorithms for unilateral processes models in form of variational inequalities are proposed. The algorithms are based on functional parametrization method and subgradient or approximation approach. Considered inequalities have nonsmooth functionals of accordance, or such ones that take infinite values. The scheme of finite-element models solution based on sections method is modified. The modification makes it possible to shorten requirements for memory approximately in N times, where N - number of elements in source matrix of nodes. The algorithm of adaptive grid generation is proposed. This algorithm uses information about unilateral behaviour of process and functionates in coordination with algorithm of reconstruction of unknown obstacle function or function of unilateral conductivity. The algorithm of control of processes with "hard" unilateral properties is proposed. The problem of simulation and control of oils filtration process with critical pressure gradient is solved. The program support for simulation of this unilateral process is developed.

Key words: unilateral processes, variational inequalities, functions of obstacle and unilateral conductivity.

АННОТАЦИЯ

Жданова Ирина Валериевна. Математическое моделирование и управление односторонними процессами диффузии и тепломассобмена. - Рукопись. Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 05.13.03 - Системы и процессы управления.- Национальный технический университет Украины “Киевский политехнический институт", Киев, 2005.

Дисертационная работа посвящена развитию существующих и созданию новых результатов в области моделирования и управления односторонними процессами диффузии и тепломасообмена с моделями в виде вариационных неравенств. Односторонние процессы широко распространены в промышленности и окружающей среде и характеризуются неклассическим поведением за счет появления односторонних свойств при превышении некоторыми их характеристиками критических значений. Процессам, которые рассматриваются в данной работе, свойственны "жесткие" переходы от зоны действия односторонних свойств к зоне классического поведения процесса, которые описываются негладкими функционалами соответствия, а в некоторых случаях, например, при наличии тонких стенок границ, и такими, которые принимают значение бесконечность.

Первый раздел посвящен известным математическим результатам анализа и управления односторонними процесами. Определены нерешенные проблемы в данном направлении, обусловлена необходимость усовершенствования старых и создания новых алгоритмов и методов.

Во втором разделе предложены алгоритмы численного решения вариационных неравенств на основе метода функциональной параметризации, которые отличаются работоспособностью в случаях негладких функционалов вариационных неравенств и тех, которые принимают значение бесконечность за счет субградиентного или апроксимационного подходов. Вычислительный эксперимент показал, что алгоритм на основе субградиентного подхода вносит меньшую погрешность в результат, но он не может использоваться в случае функционалов, которые принимают значение бесконечность. Алгоритм с аппроксимацией на этапе введения локальной формы обеспечивает более быструю скорость сходимости по сравнению с алгоритмом с аппроксимацией на этапе обобщенной формы в виде вариационного неравенства.

В третьем разделе предложена модифицированная схема решения конечноэлементных моделей на основе метода сечений, которая отличается экономией запросов накладной памяти приблизительно в N раз, где N - количество элементов в исходной матрице узлов, за счет использования экономной упаковки элементов матрицы системы на основе одномерного списка. Предложен алгоритм адаптации сетки дискретизации на основе принципа движения лагранжевых координат узлов сетки, который отличается учетом не только областей с большими градиентами состояния, но и областей с большими градиентами функции соответствия, которая описывает односторонние свойства. Разработан алгоритм управления, который основывается на итерационном объединении классического алгоритма оптимального управления и метода функциональной параметризации и отличается применимостью к процессам с "жесткими" односторонними свойствами, что достигается за счет решения уравнения Риккати для аппроксимированных функций соответствия и применения аппроксимационного алгоритма на этапе оценивания неизвестного параметра данных функций.

В четвертом разделе полученные в диссертации результаты применены для решения задачи моделирования и управления процессом фильтрации нефти, который характеризуется наличием предельного градиента давления. Процессу свойственно появление застойных областей при градиентах давления, менших предельного, что обусловлено неклассической зависимостью скоростей фильтрации от давлений. Учет этих односторонних свойств процесса выполнен в виде негладкого функционала вариационного неравенства, описывающего процесс, что позволило повысить адекватность модели по сравнению с использованием гладкого функционала. Для математического моделирования процесса разработан программный продукт, который позволяет выполнять прогноз давлений в пласте, определить расположение зон с застойными эффектами, что, в свою очередь, является необходимым для выработки рекомендаций по расположению и интенсивности скважин для обеспечения необходимых характеристик нефтеотдачи пластов с указанными неклассическими свойствами нефти.

Программное обеспечение использовано в ОКБ “Шторм” в составе програмно-аппаратного комплекса эхолота-уровнемера для нефтедобывающей промышленности.

Ключевые слова: односторонние процессы, вариационные неравенства, функции препятствия и односторонней проводимости.

Размещено на Allbest.ru