Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

Негладкi вiдображення керованих систем

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Сморцова Тетяна Іванівна

Харків - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Коробов Валерій Іванович, завідувач кафедри диференціальних рівнянь та керування Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України, професор Ковальов Олександр Михайлович, заступник директора Інституту прикладної математики і механіки НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, Резуненко Олександр Вячеславович, доцент кафедри математичного аналізу Харківського національного університету iменi В.Н. Каразiна.

Провідна установа:

Одеський національний університет ім. I.I. Мечникова, кафедра оптимального керування та економічної кібернетики, Міністерства освіти і науки України, м. Одеса.

Захист відбудеться 24 грудня 2004 р. о 15³⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд.6-48.

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий "___" листопада 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. На даний момент є добре розвиненою математична теорія керованих систем - напрямок теорії диференціальних рівнянь, одним із предметів дослідження якого є якісні властивості керованих систем (їх керованість, стабілізованість, спостережність та інші властивості). Побудовано численні аналітичні та чисельні методи розв'язання різноманітних задач (наприклад, оптимальної швидкодії, синтезу) для різних класів керованих систем.

Теорія лінійних керованих систем на даний час має завершений характер. Постало питання про використання її результатів для дослідження нелiнiйних керованих систем, теорія яких є далекою від завершення. У зв'язку з цим було розвинено теорію відображення нелiнiйних керованих систем на лінійні керовані системи, що дозволяє досліджувати якісні властивості вихідних систем та розв'язувати для них різноманітні задачі теорії керування з використанням відомих засобів лінійної теорії керування.

Вперше питання про відображення нелінійних керованих систем на лінійні було поставлено та розв'язано В.I. Коробовим у 1973 році у зв'язку з дослідженням керованості та стабілізовності нелінійних систем. Ним був запропонований конструктивний метод відображення системи трикутного вигляду на лінійну за допомогою заміни змінних і заміни керування. Подальший розвиток теорія відображення нелiнiйних керованих систем на лiнiйнi системи одержала у роботах Г.М. Скляра, A. J. Krener, S. Celikovsky, H. Nijmeijer, R. W. Brockett, W. Respondek, L. R. Hunt, R. Su, G. Meyer та багатьох інших науковців. Зокрема, було добре розвинуто диференцiально-геометричний підхід до розв'язання задач нелінійної теорії керування, результати якого формулюються в термінах дужок Лі. При цьому природними є вимоги аналітичності або нескінченної диференцiйованостi правих частин нелiнiйних керованих систем.

Спроба перенести бiльшiсть результатів цієї теорії на випадок керованих процесів, які описуються диференціальними рівняннями з негладкою правою частиною, пов'язана з великими труднощами. Так, при вивченні систем такого типу неможливо використовувати диференцiально-геометричний апарат, який став класичним при розв'язанні нелiнiйних проблем керованості, стабiлiзацiї, оптимального керування для систем звичайних диференціальних рівнянь з гладкою правою частиною. Таким чином, актуальним є подальше дослідження питання про відображення нелiнiйних керованих систем на лiнiйнi керовані системи як із заміною керування, так i без заміни керування. Зокрема, важливим є розширення класу нелiнiйних керованих систем, які можна відобразити на лiнiйнi, за рахунок систем з мінімальними вимогами щодо диференцiйовностi їх правих частин.

На цей час добре дослiдженим є питання про відображення траєкторій нелiнiйних керованих систем (зокрема, трикутного вигляду) з гладкою правою частиною на траєкторії лінійних (зокрема, канонічної) систем за допомогою дифеоморфної заміни координат i керувань. Проте, є мало дослідженим питання про відображення траєкторій нелiнiйних керованих систем з гладкою правою частиною на траєкторії лінійних систем без заміни керування.

Властивості нелінійних керованих систем з негладкою правою частиною (зокрема, їх керованість, стабілізовність) на цей час є мало дослідженими. Тому для їх вивчення є важливим відображення траєкторій нелiнiйних керованих систем з негладкою правою частиною на траєкторії лінійних (зокрема, канонічної) систем як із заміною керування, так i без заміни керування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, обраний у дисертації, є складовою частиною тематики кафедри диференціальних рівнянь та керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету iменi В.Н. Каразiна за державним реєстраційним номером 0103U004229 "Математична теорія керованих систем", яка виконується згідно з кафедральним планом науково-дослідних робіт. Результати, що одержані автором дисертації є внеском у розв'язання задач, що сформульовані в рамках вказаної теми та стануть складовою частиною звіту з науково-дослідної роботи.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розв'язання задачі про відображення траєкторій лiнiйних керованих систем на траєкторії канонічної системи без заміни керування, причому, при керуваннях, які розв'язують задачу швидкодії у початок координат в силу канонічної системи; розширення класу нелiнiйних керованих систем, траєкторії яких можна відобразити на траєкторії канонічної системи без заміни керування. Для досягнення поставленої мети потрібно поставити та розв'язати спеціальну задачу для систем диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з однаковими головними частинами.

Об'єкт дослідження. Керовані системи диференціальних рівнянь та системи диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з однаковими головними частинами.

Предмет дослідження. Задача про відображення траєкторій керованих систем та спеціальна задача для двох систем диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з однаковими головними частинами, яка виникає при розв'язанні задач теорії керування.

Методи дослідження. При розв'язанні задачі про відображення траєкторій керованих систем на траєкторії канонічної системи без заміни керування, використовуються методи якісної теорії диференціальних рівнянь та методи математичної теорії керування. При розв'язанні спеціальної задачі для двох систем диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з однаковими головними частинами використовуються методи якісної теорії диференціальних рівнянь, методи класичного нелінійного аналізу та лінійної алгебри.

Наукова новизна одержаних результатів.

Вперше запропоновано природний підхід до розв'язання рівняння Беллмана (у випадку задачі швидкодії для канонічної системи n-го порядку) як рівняння з частинними похідними першого порядку. Розроблено конструктивне розв'язання цього рівняння та встановлено зв'язок запропонованого методу з min-проблемою моментів.

Вперше поставлено спеціальну задачу для систем диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з однаковими головними частинами, яка виникає при розв'язанні задач теорії керування. Для цієї задачі одержано критерій існування та єдиності розв'язку.

Вперше запропоновано конструктивний спосіб побудови відображення траєкторій лiнiйних керованих систем на траєкторії канонічної системи без заміни керування, причому, при керуваннях, які розв'язують задачу швидкодії у початок координат в силу канонічної системи.

Розширено клас трикутних керованих систем, траєкторії яких можна відобразити на траєкторії канонічної системи без заміни керування.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Результати, що стосуються систем з однаковими головними частинами, є внеском до теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними. Результати, одержань для керованих систем є внеском у математичну теорію керованих процесів, що описуються диференціальними рівняннями. Ці результати можуть бути використані для подальших теоретичних досліджень у рамках нелінійної теорії керування. Також вони можуть бути використані при постановці та розв'язанні прикладних задач, в яких виникають досліджені класи систем. Поряд із цим, внаслідок конструктивного характеру доведень, низка результатів може стати основою для побудови чисельних методів.

Особистий внесок здобувача. Формулювання та доведення усіх результатів дисертації проведено здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Четвертій Кримській Мiжнароднiй Математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, вересень 1998р.), на Сьомій Мiжнароднiй Конференції "Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела" (Донецьк, вересень 1999р.), на П'ятій Кримській Мiжнароднiй Математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, вересень 2000р.), на Мiжнароднiй науковій конференції "Диференцiальнi та iнтегральнi рівняння" (Одеса, вересень 2000р.), на Мiжнароднiй конференції "Обратные задачи и нелинейные уравнения" (Харків, серпень 2002р.), на наукових семінарах з теорії керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету iменi В.Н. Каразiна (керівник - професор В.I. Коробов).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи викладено в 4 статтях, опублікованих у наукових виданнях, що включені до переліку ВАК України, та 5 тезах доповідей міжнародних конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти роздiлiв, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації - 129 сторінки. Список використаних джерел займає 8 сторінок i включає 91 найменування.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми, викладено зв'язок обраного напрямку досліджень з науковими програмами, планами, темами, сформульовано мету роботи, описано ступінь новизни і практичне значення одержаних результатів, висвітлено особистий внесок здобувача, вказано, де було опубліковано і де апробовувались результати дисертації.

У розділі 1 наведено огляд літератури за темою дисертації і обґрунтовано вибір напрямків досліджень. Результати власних досліджень викладені у другому, третьому, четвертому та п'ятому розділах дисертаційної роботи.

негладке відображення керована система

Означення та теореми в авторефераті наводяться під тими ж номерами, які вони мають у тексті дисертації.

Другий розділ дисертації присвячено розв'язанню рівняння Беллмана у випадку задачі швидкодії для канонічної системи довільного порядку n. У ньому пропонується природний підхід до розв'язання рівняння Беллмана як рівняння з частинними похідними першого порядку.

Встановлено зв'язок запропонованого методу розв'язання рівняння Беллмана з min-проблемою моментів, на основі якої подано аналітичний розв'язок задачі швидкодії для канонічної системи n-го порядку В.I. Коробовим та Г.М. Скляром. Розглянемо для канонічної системи довільного порядку n

(1)

задачу швидкодії з довільної початкової точки у початок координат. Час швидкодії будемо шукати як функцію початкової точки Рівняння Беллмана для функції має вигляд

(2)

де - права частина системи (1). З принципу максимуму Понтрягiна випливає, що оптимальне керування, яке розв'язує задачу швидкодії для даної системи, набуває значень .

Отже, рівняння (2) можна записати у вигляді

(3)

Таким чином, потрібно знайти функцію

де Rⁿ), є розв'язком рівняння (3) з коефіцієнтом 1 при , а є розв'язком рівняння (3) з коефіцієнтом - 1 при .

У пiдроздiлi 2.1 подано конструктивне розв'язання рівняння Беллмана у випадку задачі швидкодії для канонічної системи третього порядку. Одержано алгебраїчні рівняння для часу швидкодії.

У пiдроздiлi 2.2 подано конструктивне розв'язання рівняння Беллмана у випадку задачі швидкодії для канонічної системи довільного порядку n. Одержано зв'язок запропонованого методу розв'язання рівняння Беллмана з min-проблемою моментів. Відзначимо, що техніку побудови розв'язків рівняння Беллмана, що використовується у другому роздiлi, буде узагальнено у третьому роздiлi дисертації.

У третьому роздiлi поставлено та розв'язано спеціальну задачу для двох систем диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з однаковими головними частинами, яка виникає при розв'язанні задач теорії керування. А саме, знайдено такі розв'язки цих систем, що співпадають на деякій поверхні.

Розглянемо дві системи диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку з однаковими головними частинами вигляду

(4)

(5)

де xRⁿ, - задані функції, - функції, що підлягають визначенню.

Кожній системі поставимо у вiдповiднiсть однорідне диференціальне рівняння з частинними похідними

(6)

(7)

Припустімо, що характеристики кожного з рівнянь (6), (7) є гладкими за x, тобто не мають точок повернення та самоперетину, монотонними за x₁, i заповнюють весь простір Rⁿ. З характеристик цих рівнянь побудуємо спеціальним чином поверхню S (x), на якій буде задано початкові умови для вищезгаданої задачі.

У підрозділі 3.1 описано процедуру побудови поверхні S (x), яка полягає в наступному. Від характеристики рівняння (6), що проходить через початок координат, візьмемо ту частину, для якої x₁ ? 0, а від характеристики рівняння (7), що проходить через початок координат, візьмемо ту частину, для якої x₁ ? 0. Утворену цими кривими одновимірну поверхню позначимо через S₁ (x) Далі на кожному кроці цієї процедури через кожну точку тієї частини поверхні S_k (x) (1 ? k ? n-2), яка утворена характеристиками рівняння (6), будемо проводити характеристику рівняння (7), а через кожну точку тієї частини поверхні S_k (x), яка утворена характеристиками рівняння (7), будемо проводити характеристику рівняння (6) і залишати певні частини цих характеристик. Якщо ці частини характеристик утворять поверхню вимірності k+1, позначимо її через S_k+1 (x).

Означення 3.1 Побудовану поверхню S (x) максимально можливої для даних рівнянь вимірності k (1 k n-1), будемо називати складеною характеристичною поверхнею рівнянь (6) та (7).

Означення 3.2 Якщо вимірність складеної характеристичної поверхні рівнянь (6) та (7) дорівнює n-1 i, зробивши ще один крок описаної процедури, одержимо n-вимірну поверхню, то рівняння (6) та (7) будемо називати взаємно доповнюваними.

У цьому ж пiдроздiлi описано клас взаємно доповнюваних рівнянь вигляду (6), (7).

Системи характеристик для рівнянь (6) та (7) відповідно мають вигляд

та (8)

За умови a₁ (x) ?0, g₁ (x) ?0 для всіх xRⁿ системи (8) можна записати відповідно у нормальній формі

та . (9)

Позначимо через (x) кут між векторами (a₁ (x),.,a_n (x)) та (g₁ (x),.,g_n (x)), що складаються з коефіцієнтів рівнянь (6) та (7) відповідно.

Теорема 3.1 Нехай перші інтеграли систем характеристик рівнянь (6) i (7) (знайдені з систем (9)) C_j (x) та D_j (x) мають трикутний вигляд, тобто, C_j (x) =C_j (x₁,.,x_j+1), D_j (x) =D_j (x₁,.,x_j+1), j=1,…,n-1. Нехай для всіх xRⁿ виконуються співвідношення

i) |a₁ (x) | a>0, |g₁ (x) |a>0;

ii)

iii) .

Тоді рівняння (6) та (7) є взаємно доповнюваними.

У пiдроздiлi 3.2 для систем (2) та (3) поставлено наступну задачу. Задача 1: знайти такі розв'язки систем (2), (3), які задовольняють наступні умови:

1) у початку координат ці розв'язки приймають одні й ті ж задані значення, тобто

2) ці розв'язки систем співпадають на складеній характеристичній поверхні рівнянь (6) та (7), тобто

Іншими словами, із множини розв'язків заданих систем нам потрібно виділити деяку їх частину. Умова 2) означає, що невідомі розв'язки однієї системи є початковими даними на поверхні S (x) для невідомих розв'язків іншої системи. Відзначимо, що поставлена задача не є ні задачею Коші для однієї системи, ні задачею Гурса для двох систем диференціальних рівнянь з частинними похідними, ні задачею з початковими даними на різних поверхнях, яку було розглянуто С.П. Баутiним.

Розв'язок поставленої задачі дає наступна теорема, яка є критерієм існування та єдиностi розв'язку задачі 1.

Теорема 3.2 Задача 1 має єдиний розв'язок тоді i тільки тоді, коли рівняння (6) та (7) є взаємно доповнюваними.

Доведення теореми має конструктивний характер, тобто вказано спосіб побудови розв'язків такої задачі. У доведеннi теореми виникає спiввiдношення, яке названо умовою узгодженостi рiвнянь (6) та (7), і показано, що воно виникає лише для рівнянь (6) та (7), якi не є взаємно доповнюваними. У цьому випадку як наслідок з теореми випливають умови, за яких поставлена задача не має розв'язкiв та має їх безліч.

Наслідок 3.1 Нехай рівняння (6) та (7) не є взаємно доповнюваними та S (x) - складена характеристична поверхня цих рівнянь. Нехай її вимірність дорівнює l (1 l n-1). Тоді

Якщо на S (x) не виконується умова узгодженості рівнянь, то задача 1 не має розв'язків.

Якщо на S (x) виконується умова узгодженості рівнянь, то задача 1 має безліч розв'язків для будь-якого l (1 ? l n-1).

В дійсності, всі випадки, які відокремлено у цьому розділі, реалізуються. Вони проілюстровані наведеними у пiдроздiлi 3.3 прикладами рівнянь та систем, для яких існує єдиний розв'язок задачі 1, розв'язків не існує та існує безліч розв'язків задачі 1.

Четвертий розділ дисертації присвячено побудові відображення y= множин нуль-керованостi канонічної системи (1) та довільної лінійної керованої системи вигляду

(10)

як загального випадку лiнiйних систем зі сталими коефіцієнтами (будь-яку повністю керовану лiнiйну систему =Ax+bu зі сталими коефіцієнтами можна за допомогою лінійної заміни змінних звести до системи (10), де a₁,…,a_n - коефіцієнти характеристичного поліному матриці A: ц (л) =лⁿ-a_nл^n-1-…-a₁.

Позначимо через U_k, 0 k n-1, клас кусково-сталих функцій u (t): [0,) R, u (t) = 1, t [0,T], T < , u (t) 0, t (T,), які мають не більше, ніж k точок розтину на інтервалі (0,T). Відзначимо, що оптимальне керування u (t), яке розв'язує задачу швидкодії для системи (1), належить класу U_n-1. Крім того, система (1) є повністю керованою в Rⁿ з такими керуваннями.

Позначимо через G_n множину нуль-керованостi системи (10) при керуваннях u (t) U_n-1. Відомо, що G_n може не співпадати з усім простором Rⁿ. Крім того, якщо матриця системи (10) має хоча б одне комплексне власне значення, то оптимальне за часом керування для цієї системи має спеціальну структуру. Позначимо через , 0 k n-1, підклас функцій u (t) U_k, які задовольняють принцип максимуму Понтрягiна для задачі швидкодії для системи (10). Позначимо через множини усіх точок xRⁿ, yRⁿ, із яких можна попасти у початок координат з керуваннями u (t) в силу систем (1) та (10) відповідно. Ці множини є замкненими i містять початок координат в якості внутрішньої точки. Зазначимо також, що якщо матриця системи (10) має дійсний спектр, то =U_k, .

Множини нуль-керованостi можна розглядати як множини усіх траєкторій, які ведуть до початку координат під дією керувань u (t) в силу систем (1) та (10) відповідно. Отже, відображення переводить оптимальні траєкторії системи (1) в оптимальні траєкторії системи (10), які відповідають одному i тому ж керуванню u (t). Фактично, досліджується еквівалентність систем з однаковою якісною поведінкою в околі стаціонарної точки.

Нехай S - поверхня в Rⁿ.

Означення 4.1 Відображення будемо називати S - дифеоморфiзмом, якщо воно є неперервним в області визначення та неперервно-диференцiйовним в ній, крім, можливо, поверхні S.

Означення 4.2 Системи (1) та (10) будемо називати S-дифеоморфними, якщо існує S-дифеоморфiзм множини нуль-керованостi системи (1) на множину нуль-керованостi системи (10), який траєкторії системи (1), які відповідають деякому керуванню, переводить в траєкторії системи (10), які відповідають тому ж керуванню.

У пiдроздiлi 4.1 побудовано (одержано явний вигляд) -дифеоморфiзм множини нуль-керованостi канонічної системи (1) другого порядку на множину нуль-керованостi системи (10) другого порядку:

(11)

при керуваннях u (t) . Розглянуто усі можливі випадки.

Варіант 1. b0. Матриця системи (11) невироджена.

1a. Матриця системи (11) має рiвнi дійсні власні значення.

1b. Матриця системи (11) має рiзнi дійсні власні значення.

1c. Матриця системи (11) має комплексні власні значення.

Варіант 2. b=0. Матриця системи (11) вироджена.

Показано, що область значень R (Ф) побудованого -дифеоморфiзму збігається з множиною нуль-керованостi системи (11). А саме, якщо =R², то R (Ф) =R². Але, як відомо, може не співпадати з усім простором R², якщо матриця системи (11) має власні значення з додатною дійсною частиною. В дисертації розглянуто усі можливі випадки для Варіанту 1. Множини та для цих випадків представлені також у графічному вигляді на рис.4.1-4.4.

У пiдроздiлi 4.2 запропоновано конструктивний спосіб побудови -дифеоморфiзму множини нуль-керованостi системи (1) на множину нуль-керованостi системи (10). А саме, розглянуто множини нуль-керованостi цих систем та при керуваннях з класу та знайдено відображення множини на множину , яке задовольняє наступні умови:

1) траєкторії канонічної системи (1), які відповідають деякому керуванню u (t) , переходять у траєкторії системи (10), які відповідають тому ж керуванню;

2) керування u (t) є оптимальним для задачі швидкодії як для системи (1), так і для системи (10);

3) траєкторії систем (1) та (10) з деяких відповідних початкових точок під дією керування u (t) ведуть до початку координат за один i той же час;

4) початок координат для системи (1) відображається у початок координат для системи (10), тобто Ф (0) =0.

Розв'язання задачі про побудову -дифеоморфiзму множини нуль-керованостi системи (1) на множину нуль-керованостi системи (10) дає

Теорема 4.1 Системи (1) та (10) є -дифеоморфними, де - поверхня перемикання оптимального керування для задачі швидкодії до початку координат в силу канонічної системи (1) при керуваннях із класу .

При цьому виникає істотне питання про єдинiсть такого відображення. Відповідь на це питання дає

Наслідок 4.1 Побудоване відображення є єдиним у класі -дифеоморфiзмiв.

Крім того, якщо a_i=0, i=1,.,n, то система (10) є канонічною, i тотожне відображення задовольняє умови 1) - 4). Це відображення є гладким в Rⁿ, i виникає питання про існування іншого, не гладкого відображення. Відповідь на це питання дає

Лема 4.1 Тотожне відображення множини нуль-керованостi канонічної системи на себе є єдиним у класі -дифеоморфiзмiв.

Наприкінці цього пiдроздiлу наведено алгоритм застосування побудованого відображення для розв'язання задачі швидкодії до початку координат для лiнiйних систем вигляду (10) з використанням аналітичного розв'язку задачі швидкодії для канонічної системи (1), запропонованого В.І. Коробовим та Г.М. Скляром.

У п'ятому роздiлi дисертації на основі результатів третього розділу побудовано відображення траєкторій деяких нелiнiйних керованих систем (зокрема, з негладкою правою частиною) на траєкторії канонічної системи при керуваннях із класу U_n-1. Побудовано зворотні відображення. Для систем другого порядку одержано явний вигляд таких вiдображень.

Для систем третього порядку вигляду

(12)

явний вигляд такого відображення знайти не вдається внаслідок того, що для цього потрібно розв'язувати алгебраїчні рівняння високих ступенів (при k=3 потрібно розв'язати рівняння 12 ступеня). Цей факт демонструє труднощі, пов'язані з одержанням явного вигляду відображення траєкторій систем. Проте, для систем (12) знайдено вигляд таких вiдображень на поверхні перемикання керування для задачi швидкодії в початок координат в силу системи (1) третього порядку та знайдено вигляд зворотного відображення на поверхні перемикання керування для задачi попадання в початок коодринат в силу системи (12). При k=3 поставлено чисельний експеримент iз розв'язання цієї задачі. Результати наведено в таблицях 5.1 та 5.2.

Також у цьому роздiлi, описано клас нелiнiйних керованих систем, траєкторії яких можна вiдобразити на траєкторії канонiчної системи без замiни керування, причому, при керуваннях із класу U_n-1. Розглянемо множини нуль-керованостi системи вигляду

(13)

та канонiчної системи (1) при керуваннях з класу U_n-1. Позначимо цi множини G_n та S_n вiдповiдно. Позначимо поверхню перемикання керування, яке дає розв'язок задачi попадання в початок координат в силу системи (13) при керуваннях iз класу U_n-1 через S_n-1. Знайдемо вiдображення множини G_n на множину S_n, яке задовольняє наступнi умови:

1) траєкторiї нелiнiйної системи (13), якi вiдповiдають деякому керуванню u (t) U_n-1, переходять в траєкторiї канонiчної системи (1), якi вiдповiдають тому ж керуванню;

2) траєкторiї систем (1) та (13) з деяких вiдповiдних початкових точок пiд дiєю одного й того ж керування u (t) ведуть до початку координат за один i той же час час;

3) початок координат для системи (13) відображається у початок координат для системи (1), тобто Ф (0) =0.

Розв'язання задачi про побудову такого вiдображення множини нуль-керованостi системи (13) на множину нуль-керованостi системи (1) дає

Теорема 5.1 Нехай права частина системи (13) така, що рiвняння

та

є взаємно доповнюваними.

Тодi системи (13) та (1) є S_n-1-дифеоморфними.

Висновки

I. У дисертацiї запропоновано конструктивний спосiб розв'язання рiвняння Беллмана у випадку задачi швидкодiї для канонiчної системи довiльного порядку. Вказане рiвняння розв'язується як рiвняння з частинними похiдними першого порядку. Одержано алгебраїчнi рiвняння для часу швидкодiї та встановлено зв'язок вказаного способу розв'язання з min-проблемою моментiв.

II. У дисертацiї поставлено та розв'язано задачу для двох систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку з однаковими головними частинами. Задача, яка полягає в пошуку розв'язкiв даних систем, якi спiвпадають на спецiально побудованiй поверхнi, виникає при розв'язаннi задач теорiї керування. Для цiєї задачi

1. Одержано необхiднi та достатнi умови iснування i єдиностi розв'язку.

2. Розроблено конструктивний метод побудови розв'язкiв.

3. Описано клас систем, для яких задача має єдиний розв'язок.

ІІІ. На основi цiєї задачi в дисертацiї

1. Розроблено конструктивний метод побудови вiдображення траєкторiй довiльної лiнiйної керованої системи порядку n на траєкторiї канонiчної системи без замiни керування. Вiдображення побудоване при керуваннях, що розв'язують задачу швидкодiї у початок координат в силу канонiчної системи.

2. Для систем другого порядку отримано явний вигляд такого вiдображення.

3. Побудовано вiдображення траєкторій деяких нелiнiйних керованих систем на траєкторії канонiчної системи, а також зворотнi вiдображення. Вiдображення побудовані при керуваннях, що розв'язують задачу швидкодiї у початок координат в силу канонiчної системи. Для систем другого порядку отримано явний вигляд таких вiдображень. Для систем третього порядку поставлено чисельний експеримент.

4. Описано клас нелiнiйних керованих систем, траєкторії яких можна вiдобразити на траєкторії канонiчної системи без замiни керування, причому при керуваннях, що розв'язують задачу швидкодiї у початок координат в силу канонiчної системи

Список опублікованих автором праць за темою дисертацiї

Коробов В.И., Иванова Т.И. Отображение нелинейных управляемых систем специального вида на каноническую систему // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2001. - Т.8, № 1. - С.42 - 57.

Коробов В.I., Iванова Т.I. Негладкi вiдображення траєкторiй лiнiйних керованих систем // Доповiдi НАН України. - 2001. - № 8. - С.9 - 14.

Коробов В.И., Сморцова Т.И. Решение уравнения Беллмана для задачи быстродействия для канонической системы и его связь с проблемой моментов // Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету. Серiя "Математика, прикладна математика i механiка" - 2002. - № 542. - С.3 - 12.

Korobov V.I., Ivanova T.I. Nonsmooth Mapping of Linear Control Systems // Journal of Optimization Theory and Applications. - 2001. - Vol.108, No.2. - P.389 - 405.

Коробов В.И., Иванова Т.И. Решение уравнения Беллмана для одной задачи быстродействия и её связь с проблемой моментов // Черверта Кримська Мiжнародна Математична школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". - Алушта. - 1998. - С.34 - 35.

Иванова Т.И. Отображение линейных управляемых систем // Сьома Мiжнародна Конференцiя "Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела". - Донецьк. - 1999. - С.24.

Коробов В.И., Иванова Т.И. Задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных и её применение в теории управления // П'ята Кримська Мiжнародна Математична школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". - Алушта. - 2000. - С.77.

Коробов В.И., Иванова Т.И. Отображение траекторий линейных управляемых систем // Мiжнародна наукова конференцiя "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння". - Одеса. - 2000. - С.153 - 154.

Коробов В.И., Сморцова Т.И. Решение некоторых задач теории управления с помощью одной задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных // Мiжнародна конференцiя "Обратные задачи и нелинейные уравнения". - Харкiв. - 2002. - С.51 - 53.

Анотація

СМОРЦОВА Т.I. Негладкi вiдображення керованих систем. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук зi спецiальностi 01.01.02 - диференцiальнi рiвняння. - Харкiвський нацiональний унiверситет iмені В.Н. Каразiна, Харкiв, 2004.

У дисертацiї запропоновано конструктивний спосiб розв'язання рiвняння Беллмана для задачi швидкодiї для канонiчної системи довiльного порядку. Вказане рiвняння розв'язується як рiвняння з частинними похiдними першого порядку. Отримано алгебраїчнi рiвняння для часу швидкодiї та встановлено зв'язок вказаного способу розв'язання з проблемою моментiв. Поставлено та розв'язано одну спецiальну задачу для систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку з однаковими головними частинами, яка виникає при розв'язаннi задач теорiї керування. За допомогою розв'язку цiєї задачi знайдено вiдображення траєкторій лiнiйних керованих систем на траєкторії канонiчної системи, яке задовольняє спецiальнi вимоги. При цьому, на вiдмiну вiд попереднiх робiт, системи вiдображаються без замiни керування, причому, при керуваннях, якi розв'язують задачу швидкодiї у початок координат в силу канонiчної системи. Дослiджено питання про можливiсть вiдображення траєкторій деяких нелiнiйних керованих систем на траєкторії канонiчної системи без замiни керування, причому при керуваннях, що розв'язують задачу швидкодiї у початок координат в силу канонiчної системи.

Ключовi слова: керована система, негладке вiдображення, система диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.

Аннотация

СМОРЦОВА Т.И. Негладкие отображения управляемых систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2004.

Диссертация посвящена решению задач об отображении траекторий линейных и нелинейных (в том числе и с негладкой правой частью) систем на траектории канонической системы. Также поставлена и решена специальная задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковыми главными частями, которая возникает при решении задач теории управления.

В диссертации предложен конструктивный способ решения уравнения Беллмана для задачи быстродействия для канонической системы произвольного порядка. Указанное уравнение решается как уравнение с частными производными первого порядка. Получено алгебраическое уравнение для времени быстродействия и установлена связь указанного способа решения с min-проблемой моментов.

Предложен конструктивный способ отображения траекторий произвольных линейных управляемых систем на траектории канонической системы, которое удовлетворяет специальным условиям. При этом, в отличие от предыдущих работ, траектории отображаются без замены управления, причём, при управлениях, которые решают задачу быстродействия в начало координат в силу канонической системы. Для систем второго порядка получен явный вид такого отображения.

Исследован вопрос о возможности отображения траекторий нелинейных управляемых систем (в частности, с негладкой правой частью) на траектории канонической системы. При этом, если в случае управляемых систем с гладкой правой частью траектории нелинейных систем можно отобразить с помощью диффеоморфной замены координат и управлений на траектории канонической системы, то для систем с негладкой правой частью этот метод применить невозможно. В диссертации, найдены отображения траекторий некоторых нелинейных управляемых систем на траектории канонической системы без замены управления, причём при управлениях, которые решают задачу быстродействия в начало координат в силу канонической системы. Найдены также обратные отображения. В случае систем второго порядка получен явный вид таких отображений.

Решение задач об отображении траекторий линейных и нелинейных управляемых систем, которые рассмотрены в диссертации, опирается на решение специальной задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковыми главными частями. Эта задача впервые была поставлена и решена в данной работе. Для неё получен критерий существования и единственности решения, а также достаточные условия, при которых задача не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Работа носит теоретический характер. В работе получены новые результаты для систем дифференциальных уравнений в частных производных, что является вкладом в теорию дифференциальных уравнений. Результаты, полученные для управляемых систем, являются вкладом в математическую теорию управления и могут быть использованы для постановки и решения прикладных задач, в которых возникают исследованные классы систем. Некоторые результаты работы могут стать основой для разработки численных методов решения задач теории управления для исследованных классов систем.

Ключевые слова: управляемая система, негладкое отображение, система дифференциальных уравнений в частных производных.

Abstract

SMORTSOVA T.I. Non-smooth mappings of control systems. - Manuscript.

Thesis for degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 - differential equations. - Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2004.

In the thesis we give the constructive solution of the Bellman equation of the steering problem for the canonical system. We consider this equation as a partial differential one of the first order. We obtain the algebraic equations to determine the optimal time. Moreover, the relation of the proposed method with the min-moment problem has been stated. We state and solve a special problem for a pair of partial differential systems with the same main parts. This problem appears in some control problems. By means of the solution of this problem we map the trajectories of a linear control system on the trajectories of the canonical one without changing of the control when this control solve the steering problem for the canonical system. We investigate the problem of mapping of the trajectories of nonlinear control systems on the trajectories of the canonical one without changing of the control when this control solve the steering problem for the canonical system.

Key words: control system, non-smooth mapping, system of partial differential equations.

Размещено на Allbest.ru