Неасимптотичні методи оцінювання параметрів у диференціальних системах, що перебувають під випадковим впливом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 519.21

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Неасимптотичні методи оцінювання параметрів у диференціальних системах, що перебувають під випадковим впливом

01.01.05 - Теорія ймовірностей і математична статистика

Сімогін Анатолій Анатолійович

Київ 2004

Загальна характеристика роботи

неасимптотичний метод диференціальна система

Актуальність теми. Важливою проблемою статистичного аналізу є побудова найкращих оцінок невідомого параметру , який визначає розподіл із сімейства , що відповідає вибірці . Однак не менш цікавий інший підхід до цієї проблеми - побудова області довіри для невідомого параметра. Це пояснюється, насамперед, тим, що точкові оцінки використовуються в тих випадках, коли ми повинні назвати деяке число , призначене для використання замість невідомого . З іншого боку, ймовірність того, що дійсне значення параметра буде в точності дорівнювати оцінці , побудованої по вибірці, що спостерігається, взагалі кажучі, дорівнює нулю, до того ж чисельне значення цієї оцінки буде змінюватися від вибірки до вибірки. У цьому зв'язку становить інтерес задача: вибравши деяке досить мале число , побудувати правило, за яким результатам спостереження можна поставити у відповідність таку область у параметричній множині, що з ймовірністю дійсне значення параметра буде міститися в цій області.

Деякі дуже загальні методи побудови довірчих областей описані, наприклад, у роботі О.О. Боровкова Боровков А.А. Математическая статистика. -М.: Наука, 1984. -472с.. На жаль, точний розподіл оцінки , за рідкісним винятком, невідомий досліднику, тому межі довірчої області ґрунтуються на відповідних граничних розподілах, що, природно, привносить помилку в правильне уявлення про рівень довіри, який відрізняється від дійсного на доданок, що характеризує швидкість збіжності до граничного розподілу.

Необхідно відзначити, що довірчі області для дійсного значення параметра можна побудувати, спираючись на нерівності для ймовірності великих відхилень різниці між оцінкою й оцінюваною величиною після відповідного нормування. Саме методам побудови таких нерівностей і присвячена ця робота.

Сьогодні існує цілий ряд робіт, у яких розглянуті задачі оцінювання невідомих параметрів у диференціальних системах, які перебувають під випадковим впливом. У більшості робіт передбачається, що збурювання незалежні. Як правило, передбачається, що на функціонування системи впливають процеси з незалежними приростами (гауссівські чи пуассонівські), тобто розглянуті системи описуються рівняннями Іто.

З погляду практики, більш правдоподібними моделями є рівняння, збурені фізичним білим шумом, тобто стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом зі швидким часом. Тому, природним чином, виникають такі задачі:

вказати швидкість збіжності розв'язку початкового рівняння зі швидкими осциляціями до розв'язку відповідного рівняння Іто;

побудувати нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки невідомого параметру, що входить у коефіцієнти стохастичного диференціального рівняння, від його дійсного значення, використовуючи близькість розв'язків початкового і граничного рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Дана робота виконана в рамках науково-дослідницької теми "Граничні теореми для випадкових процесів і полів (стохастичні рівняння, задачі управління стохастичними системами, питання статистики випадкових процесів)" (номер державної реєстрації 0198U004336). Із січня 2002 р. по теперішній час здобувач працює як відповідальний виконавець науково-дослідної теми, яку фінансує Міністерство освіти і науки України, -- "Стохастичне моделювання еволюцій цінних паперів і суміжні питання" (номер державної реєстрації 0102U001901). Деякі результати цієї роботи ввійшли у дисертацію.

Мета і задачі дослідження. Одержати оцінку зверху для швидкості збіжності розв'язку стохастичної диференціальної системи, яка перебуває під впливом стаціонарних у вузькому розумінні випадкових процесів зі слабкою залежністю, тобто випадкових процесів зі швидким часом, що задовольняють або умові рівномірно сильного перемішування, або умові сильного перемішування.

Знайти достатні умови, при яких оцінка максимальної вірогідності (квазівірогідності, тобто оцінки, яка отримана із умови максимуму граничного функціонала вірогідності на траєкторії розв'язку дограничного рівняння) невідомого параметру, який входить у коефіцієнти диференціальної системи, що перебуває під впливом випадкових процесів з незалежними приростами або стаціонарних у вузькому розумінні випадкових процесів конзистентна, побудувати інтервал довіри для невідомого параметру.

Об'єкт дослідження -- стохастичні диференціальні системи, збурені процесами з незалежними приростами, процесами зі слабкою залежністю зі швидким часом, малими гауссівськими процесами.

Предмет дослідження -- розв'язки стохастичних диференціальних систем, збурених малими гауссівськими процесами, процесами з незалежними приростами і процесами зі слабкою залежністю, оцінки максимальної вірогідності (квазівірогідності) невідомих параметрів, зазначених систем.

Методи дослідження:

метод одного ймовірнісного простору, використовується при оцінюванні швидкості збіжності розв'язку початкового рівняння до розв'язку відповідного рівняння Іто у параграфах 3.2 і 4.1;

метод дослідження оцінок максимальної вірогідності, розроблений И.А. Ібрагимовим і Р.З. Хасьмінським Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. -М.: Наука, 1979. -528с.;

метод заміни мір, заснований на властивості абсолютної неперервності міри, породженої розв'язком диференціальної системи у відповідному функціональному просторі, щодо опорної міри;

метод експоненціальних мартингалів, який у сполученні з попереднім методом дозволяє звести вивчення властивостей оцінок до вивчення поведінки деяких функціоналів від процесу, що збурює рівняння.

Наукова новизна одержаних результатів визначається такими положеннями.

Вперше отримано достатні умови збіжності розв'язку диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом до відповідного рівняння Іто. Знайдена оцінка швидкості збіжності розв'язків, що відповідають вказаним вище рівнянням.

Вперше отримано достатні умови збіжності розв'язку задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом зі швидким часом до розв'язку відповідного рівняння Іто. Знайдена оцінка близькості розв'язків, що відповідають вказаним вище рівнянням.

Вперше доведено нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної квазівірогідності від дійсного значення параметру, що нелінійно входить у коефіцієнти диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом зі швидким часом.

Вперше доведено нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної квазівірогідності від дійсного значення параметра, що нелінійно входить у коефіцієнти квазілінійного параболічного рівняння, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом.

Вперше доведено експоненціальну нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від дійсного значення параметра, який входить у задачу Коші для звичайного диференціального рівняння, збуреного сумою стандартного вінерівського процесу і процесу Пуассона.

Вперше доведено експоненціальну нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від дійсного значення параметра, який входить у задачу Гурса для стохастичного рівняння, збуреного двопараметричним вінерівським полем.

Вперше доведено експоненціальну нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від дійсного значення параметра, який входить в однорідну задачу Діріхле для рівняння еліптичного типу, що перебуває під малими гауссівськими збуреннями.

Вперше доведено експоненціальну нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від дійсного значення параметра, який входить у задачу Коші для рівняння з частинними похідними першого порядку, що перебуває під малими гауссівськими збуреннями.

Практичне значення одержаних результатів. Системи, що перебувають під впливом швидких випадкових осциляцій, знаходять все більше застосування не тільки в техніці, але і в страховій математиці при описі процесів ризику і фінансовій математиці при описі функціонування (B,S)-ринку. Отримані в дисертації результати можуть бути використані при дослідженні властивостей оцінок невідомих параметрів, вказаних вище систем, а також при побудові інтервалів довіри для цих оцінок.

Особистий внесок здобувача. Дисертант опублікував разом із проф. Б.В. Бондарєвим чотири наукові статті [1 - 4], а також одну статтю в співавторстві з проф. Б.В. Бондарєвим і доц. А.І. Дзундзой [5]. Науковому керівнику Б.В. Бондареву в даних роботах належить постановка задачі і загальне керівництво роботою. Особистий внесок дисертанта полягає в цілком самостійній роботі в розвитку відповідних положень теорії випадкових процесів у побудові нерівностей для ймовірності великих відхилень. Уся технічна робота при побудові ймовірнісних нерівностей і знаходженні оцінок виконана дисертантом особисто. Йому належить ідея розгляду задачі параграфа 5.1 і побудови оцінки "перешкоджаючого" параметра при доведенні теореми 5.1 роботи [2], а також ідея доказу теореми 5.4 роботи [5].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

VIII міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2000 р.);

Міжнародній конференції “ Stoсhastic Analysis and its Applications ” (м. Львів, 2001 р.);

науковому семінарі відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (м. Київ, 2003 р.);

науковому семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2003 р. );

науковому семінарі відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк, 2001 р.);

науковому семінарі кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики Донецького національного університету (м. Донецьк, 1999-2002 рр. ).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 7 роботах. З них 5 -- статті у наукових фахових журналах і збірниках наукових праць, що входять до переліку № 1 ВАК України, 2 -- тези доповідей на міжнародних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, основної частини з п'яти розділів, висновків і списку використаної літератури. Повний обсяг дисертації становить 172 сторінки. Список використаної літератури складається з 129 найменувань і займає 14 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету й задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

У першому розділі подається огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації. Викладено огляд результатів, споріднених із проблематикою даної роботи, які отримано іншими авторами.

У другому розділі обґрунтовується обраний напрямок наукового дослідження, а також коротко сформульовано нові наукові положення, що виносяться на захист.

У третьому розділі розглянута задача Коші для рівняння з частинними похідними першого порядку, збуреного швидкими випадковими осциляціями. У першому підрозділі доведені допоміжні твердження, які стосуються ймовірності виходу за рівень нормованого інтеграла від стаціонарного у вузькому розумінні випадкового процесу , який задовольняє умову слабкої залежності (умову сильного перемішування або умову рівномірно сильного перемішування). Позначимо

,

Так само, нехай процес, побудований на одному ймовірнісному просторі зі стандартним вінерівським процесом , який має однакові скінченновимірні розподіли з процесом .

Надалі, якщо стаціонарний у вузькому розумінні процес задовольняє умову рівномірно сильного перемішування, будемо вимагати, щоб для нього виконувались умови Бондарев Б.В., Шурко И.Л. Диффузионная аппроксимация нормированных интегралов от процессов со слабой зависимостью и её применения // Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 11. -С.1449-1466. ( теорема 1):

А.1) для деякого , , справедливо ,

, , .

Якщо ж стаціонарний у вузькому розумінні випадковий процес задовольняє умову сильного перемішування з коефіцієнтом перемішування , то замість умови А.1) будемо вимагати виконання умови там же ( теорема 2):

А.2) для деякого , , справедливо ,

, ,

, , .

Так само, нехай процес задовольняє умови там же :

А.3) , , ,

А.4) для будь-якого ,

Висновки

Побудовано нерівність для ймовірності великих відхилень нормованого інтеграла від стаціонарного процесу, що задовольняє умову рівномірно сильного перемішування .

Аналогічна нерівність отримана для процесу, що задовольняє умову сильного перемішування.

Вперше отримані достатні умови збіжності розв'язку диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом, до розв'язку рівняння Іто, і оцінка швидкості збіжності розв'язка відповідного рівняння.

Вперше виписані нерівності для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної квазівірогідності від дійсного значення параметра, що нелінійно входить у коефіцієнти диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом.

Вперше отримані достатні умови збіжності розв'язку задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом, до розв'язку відповідного рівнянню Іто. Доведено оцінку близькості розв'язків відповідних рівнянь у рівномірній метриці по часовій змінній і в метриці -- по просторовій змінній.

Вперше для оцінки максимальної вірогідності невідомого параметра, що нелінійно входить у коефіцієнти квазілінійного параболічного рівняння, збуреного стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом, побудована нерівність для ймовірності великих відхилень.

Вперше побудована експоненціальна нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від дійсного значення параметра, що входить у задачу Коші для звичайного диференціального рівняння, збуреного сумою стандартного вінерівського процесу й процесу Пуассона. При цьому попередньо отримана оцінка "перешкоджаючого" параметру.

Вперше побудована експоненціальна нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від його дійсного значення невідомого параметра, що входить у задачу Гурса, поставлену для стохастичного рівняння, збуреного двопараметричним вінерівським полем.

Вперше виписана експоненціальна нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від дійсного значення параметра, що входить в однорідну задачу Діріхле для рівняння еліптичного типу, що перебуває під малим гауссівським збурюванням.

Вперше побудована експоненціальна нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної вірогідності від дійсного значення параметра, що входить у задачу Коші для рівняння з частинними похідними першого порядку, що перебуває під малим гауссівським збурюванням.

Список опублікованих праць

Бондарев Б.В., Симогин А.А. Об оценке неизвестного параметра в эллиптических системах, возмущенных малыми гауссовскими шумами // Бесконечномерный стохастический анализ. -Киев: Ин-т математики АН УССР, -1990. - С. 10-15.

Бондарев Б.В., Симогин А.А. Неравенства больших уклонений для оценок неизвестных параметров в стохастических системах // Кибернетика и сиcтемный анализ. -1994. -№ 2. -С.95-112.

Бондарев Б.В., Симогин А.А. О сходимости решения задачи Коши для параболического уравнения с быстрыми случайными осцилляциями // Вісн. Донецьк. ун-у. Серія А. Природничі науки. -1999. -№ 1. -С.7-13.

Бондарєв Б.В., Сімогін А.А. Нерівність для ймовірності великих відхилень оцінки невідомого параметру в задачі Коші для рівняння з частинними похідними першого порядку при швидких випадкових осциляціях // Теорія ймовірностей та математична статистика. -2000. -Вип. 62. -С.1-8.

Симогин А.А., Бондарев Б.В., Дзундза А.И. Оценка неизвестного параметра в задаче Коши для уравнения в частных производных первого порядка при малых гауссовских возмущениях// Укр. мат. журн. -2000. -52, № 7. -С. 999-1006.

Дзундза А.И., Симогин А.А. Неравенство больших уклонений для оценки неизвестного параметра в одной стохастической задаче Коши // Матеріали VIII міжнародної конференції імені академіка М.Кравчука. -Київ: НТУУ(КПІ). -2000. -С.464.

Симогин А.А. Некоторые задачи, связанные со стохастическими дифференциальными уравнениями, подверженными быстрым случайным осцилляциям // The International Conference “Stoсhastic Analysis and its Applications” (10-17 June 2001), Lviv, Ukraine: Abstracts of Communications. -Р. 73.

Анотація

Сімогін А.А. Неасимптотичні методи оцінювання параметрів у диференціальних системах, що перебувають під випадковим впливом. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 -- теорія ймовірностей і математична статистика. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертація присвячена побудові нерівностей для ймовірності великих відхилень оцінки невідомого параметру стохастичної диференціальної системи від його дійсного значення.

Розглянуто задачі Коші для стохастичного параболічного рівняння і для стохастичного диференціального рівняння з частинними похідними першого порядку. При цьому випадковий шум є стаціонарним у вузькому розумінні випадковим процесом, що задовольняє умову слабкої залежності (умову сильного перемішування або умову рівномірно сильного перемішування). Отримано оцінку відстані між розв'язком вихідного рівняння і його дифузійною апроксимацією. На підставі цих результатів побудовано нерівності для ймовірності великих відхилень оцінки максимальної квазівірогідності.

Досліджено властивості оцінок максимальної вірогідності для параметрів стохастичних систем збурених малим гауссівським шумом. Розглянуто задачу Гурса для гіперболічного рівняння, задачу Діріхле для еліптичного рівняння і задачу Коші для рівняння з частинними похідними першого порядку. Побудовано нерівність для ймовірності великих відхилень для оцінки максимальної вірогідності параметра, що входить у стохастичне рівняння, яке містить поряд з дифузійною частиною стрибкоподібну.

Ключові слова: стаціонарний у вузькому розумінні випадковий процес, гауссівський процес, пуассонівський процес, сильне перемішування, рівномірно сильне перемішування, стохастичне диференціальне рівняння, абсолютна неперервність мір, ймовірності великих відхилень.

Summary

Simogin A.A. Nonasymptotic methods of parameters estimation in differential systems, which are subject to random actions. -- A manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.05 -- Probability Theory and Mathematical Statistics. -- Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Kiev, 2004.

The thesis is devoted to research of construction of inequalities. It's made for probability of the large deviations of the unknown parameter of a stochastic differential system from its true value.

The Cauchy problems for the stochastic parabolic equation and for a stochastic differential partial equation of the first order are constructed. Thus as random noise the stochastic process which is meeting condition to weak association (or a condition of strong mixing, or condition uniform strong mixing) appears stationary in narrow sense. The rating of distance between a solution of an initial equation and its diffusion approximation is obtained. The inequalities for probability of the large deviations of maximum quasi-likelihood estimate are constructed on the basis of these outcomes.

The properties of maximum likelihood estimates for parameters of stochastic systems, which are perturbed with small Gaussian's noise, are researched. The tasks of the Goursat for the hyperbolic equation, the task of the Dirichlet for an elliptical equation and Cauchy problem for a partial equation of the first order are constructed. The inequality for probability of the large deviations for a maximum likelihood estimate of the parameter is constructed which enters into the stochastic equation containing alongside with a diffusion part spasmodic.

Key words: narrow sense stationary process, Gaussian process, Poisson process, strong mixing, uniform strong mixing, stochastic differential equation, absolute continuity of measures, large deviations probabilities.

Аннотация

Симогин А.А. Неасимптотические методы оценивания параметров в дифференциальных системах, подверженных случайным воздействиям. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена построению неравенств для вероятности больших уклонений оценки неизвестного параметра стохастической дифференциальной системы от его истинного значения. Исследуются оценки максимального правдоподобия и максимального квазиправдоподобия.

Первая и вторая главы носят вспомогательный характер. В них приведен обзор литературы и основных результатов работы.

В третьей главе построено неравенство для вероятности выхода за уровень нормированного интеграла

где -- стационарный в узком смысле случайный процесс, удовлетворяющий одному из условий слабой зависимости (условию сильного перемешивания или условию равномерно сильного перемешивания), а -- малый параметр. Основным результатом третьей главы суть неравенство для вероятности больших уклонений оценки максимального квазиправдоподобия неизвестного параметра, нелинейно входящего в коэффициенты задачи Коши для стохастического дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. При этом в качестве случайного шума выступает стационарный в узком смысле случайный процесс, удовлетворяющий условию слабой зависимости (либо условию сильного перемешивания, либо условию равномерно сильного перемешивания). Предварительно получена оценка расстояния между решением исходного уравнения и его диффузионной аппроксимацией, на основании которой строится и исследуется оценка максимального квазиправдоподобия неизвестного параметра.

Аналогичные результаты получены для оценки максимального квазиправдоподобия неизвестного параметра, входящего в стохастическое параболическое уравнение.

Исследованы свойства оценок максимального правдоподобия для параметров стохастических дифференциальных систем. Рассмотрена задача Гурса для гиперболического уравнения, возмущенного двупараметрическим винеровским полем, однородная задача Дирихле для уравнения эллиптического типа, подверженного малым гауссовским возмущениям. Построено неравенство для вероятности больших уклонений оценки максимального правдоподобия параметра, который входит в обыкновенное стохастическое уравнение, содержащее наряду с диффузионной частью скачкообразную. Найдена оценка максимального правдоподобия для неизвестного параметра, линейно входящего в задачу Коши для уравнения в частных производных первого порядка, возмущенного малым гауссовским шумом. Для этой оценки построено неравенство для вероятности больших уклонений от истинного значения параметра.

Ключевые слова: стационарный в узком смысле случайный процесс, гауссовский процесс, пуассоновский процесс, сильное перемешивание, равномерно сильное перемешивание, стохастическое дифференциальное уравнение, абсолютная непрерывность мер, вероятности больших уклонений.

Размещено на Allbest.ru