Классическая алгебра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Классическая алгебра

В.А. Будников

Новосибирск 2008

B.А. Будников

Б 903 Классическая алгебра. - Новосибирск: Типография ООО «Югус - Принт», 2008. - 16 с., (дополненная с незначительными изменениями в тексте)

В работе предложено аналитическое решение алгебраического уравнения n-ой степени (в радикалах). Решены проблемы собственных значений для нахождения функций от матриц и устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений. Метод решения основан на применении общего свойства доминирующего корня для любых алгебраических уравнений. Алгоритм решения легко поддаётся программированию. Приведены конкретные примеры решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно.

Работа может быть полезна Специалистам, занимающимся решением задач Высшей Алгебры, а также Студентам высших учебных заведений, интересующимся сложными математическими Проблемами.

© В.А. Будников, текст, 2008.

© Типография ООО «Югус - Принт»

Введение

алгебраический уравнение матрица

Все великие математики с древнейших времён мечтали найти аналитическое решение алгебраического уравнения n-ой степени, так называемого Векового уравнения. Однако задача оказалась трудно разрешимой, и Решения долго найти не удавалось / 1/. Возможно, кто-то его и нашёл (Эту мысль вполне можно допустить), но информация, видимо, глубоко засекречена, простым смертным об этом Ничего не известно, в Справочниках по высшей Математике по этому поводу не сказано ни единого слова. Чтобы люди в дальнейшем работали более эффективно и не тратили время впустую, представляется целесообразным сделать Решение общедоступным, и Результаты не заставят себя ждать.

Людям откроются новые Горизонты, которые ранее и не снились. Многие важные Проблемы, казавшиеся не разрешимыми, будут решены. Человек поднимется на новую ступень своей Эволюции, получив мощный Инструмент в Познании природных Тайн. Желательно только, чтобы Новое Знание не стало губительным для Цивилизации, и не было направлено на разработку новых видов вооружений. Есть и более важные Задачи - создание искусственного Интеллекта, разработка Оптимальных систем управления техническими объектами, новых Материалов с неизвестными на сегодня свойствами, разработка высокоэффективных Лекарств и продление Жизни, освоение Океанских Глубин, полеты к планетам Солнечной Системы и ближайшим Звездам…

Деньги и Власть отнюдь не являются наивысшими Ценностями. Только свободный высокоэффективный Труд, основанный на изначально Верной Любви, и его общественно-полезные Результаты могут способствовать умному и быстрому развитию Человечества, уничтожить Голод и Болезни, свести к минимуму последствия природных Катаклизмов, сделать Жизнь каждого Индивидуума осмысленной и целесообразной. Как только Люди осознают эту простую Мысль, все многовековые Пороки исчезнут сами собой. Именно об этом мечтали все выдающиеся Учёные, Философы и Поэты всех времён и народов. Достижимо ли это? Зависит только от Нас.

Мне удалось найти Общее Свойство всех алгебраических уравнений и решить с его помощью Вековое уравнение в радикалах, удалось сделать то, что ещё совсем недавно считалось не возможным.

Отметим также, что с Решением Векового уравнения решаются Проблемы собственных значений при вычислении Функций от Матриц и устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений, описывающих движения сложных технических Объектов с постоянной и переменной структурой (например, вентильных преобразователей). В любом учебнике по Теории Автоматического Управления можно прочитать: Решение линейного дифференциального уравнения устойчиво, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней. Решение линейного разностного уравнения устойчиво, если все корни характеристического уравнения находятся внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости с центром в начале координат. Напомню, что характеристическое уравнение представляет собой ни что иное, как алгебраическое уравнение n - ой степени.

Оптимальное управление Системами требует отдельного рассмотрения, это самостоятельная и большая работа. Оптимальное быстродействие Систем достигается на Границе устойчивости.

В работе / 2/ было упомянуто о решении алгебраических уравнений по восьмую степень включительно. Ниже приводится доказательство этого утверждения.

Условные обозначения:

* - знак умножения,

** - знак возведения в степень,

ABS(x) - абсолютная величина комплексной переменной x,

Re x, Im x - действительная и мнимая величины комплексной переменной x соответственно,

mod x, fi x - модуль и угол комплексной переменной x соответственно,

SIN(x), COS(x) - тригонометрические функции sinx и cosx,

ATAN2( Im x, Re x ) - обратная тригонометрическая функция arctg ((Im x)/(Re x)).

PI = 3.14159265 - число пи.

1. Фундаментальное свойство алгебраических уравнений

Общий вид алгебраического уравнения n - ой степени

(x**n) + A1*(x**(n-1)) + A2*(x**(n-2)) + … + A(n-1)*x + An = 0, (1)

где

n - порядок алгебраического уравнения, натуральное число;

Ai - коэффициенты уравнения, любые действительные числа, i = 1,n.

Поскольку Вычисления на персональном Компьютере обладают конечной точностью, целесообразно уравнение (1) нормировать по старшему коэффициенту An, чтобы не происходило переполнения разрядной сетки. Нормирующий коэффициент RCn = (ABS(An))**(1/n). Если n - нечётная величина, знак абсолютной величины обычно опускают. Вычисления на персональном Компьютере всегда ведутся с определённой степенью точности EPS, которая задаёт Критерий окончания Счёта.

Критерий окончания Счёта: Если алгебраическая функция F (x), заданная уравнением (1), при вычисленном значении корня xi меньше величины ABS(EPS*An), то вычисления названного корня прекращают. Далее понижают порядок исходного уравнения до величины (n -1), если корень xi - действительный, или до величины (n -2), если xi принадлежит паре комплексно-сопряжённых корней. Вся процедура повторяется сначала для полученного уравнения более низкого порядка до тех пор, пока не будут найдены все корни исходного уравнения (1). Если возможности Компьютера не достаточны, следует понизить степень точности EPS ( в ущерб точности определения корней ) или перейти к вычислениям с двойной точностью, или приобрести более мощную Персоналку.

Очевидно, что чем мощнее Компьютер, тем больше возможностей для решения уравнений более высоких Степеней n.

Уравнение (1) является частным случаем другого алгебраического уравнения n - ой степени для переменной xc = (x**(2**J)), где J - шаг преобразования,

_

J = 1,m,

m и n - любые натуральные числа.

(xс**n) + B1*(xс**(n-1)) + B2*(xc**(n-2)) + … + B(n-1)*xc + Bn = 0, (2)

B1 = - ((C1**2) - (2*C2)),

B2 = (C2**2) - (2*C1*C3) + (2*C4),

B3 = - ((C3**2) - (2*C2*C4) + (2*C1*C5) - (2*C6)),

B(n-1) = ((-1)**(n-1))*((C(n-1)**2) - (2*C(n-2)*Cn)),

Bn = ((-1)**n)*(Cn**2).

Уравнение (2) может быть получено умножением исходного уравнения (1) на уравнение для корней, взятых с обратным знаком. Например, для случая n = 3 это выглядит следующим образом:

((x**3) + A1*(x**2) + A2*x + A3)*((x**3)-A1*(x**2) + A2*x - A3) = 0.

Тогда относительно переменной xc = (x**2) получают уравнение (2) при J = 1

(xc**3) - ((A1**2) - (2*A2))*(xc**2) + ((A2**2) - (2*A1*A3))*xc - (A3**2) = 0.

Не вызывает сомнения, что

J = 0, Bi = Ai, xc = x.

J = 1, Ci = Ai, xc = (x**2).

J = 2, Ci = Bi для J = 1, xc = (x**4).

Декомпозиция общего уравнения (2) при выделении одного корня xc1

(xc - xc1)*(((xc**(n-1)) + G1*((xc**(n-2)) + G2*((xc**(n-3)) + … + G(n-2)*xc + G(n-1)) = 0, (3)

G1 = (B1 + xc1),

G2 = (B2 + B1*xc1 + (xc1**2)),

G(n-2) = (B(n-2) + B(n-3)*xc1 + … + B1*(xc1**(n-3)) + (xc1**(n-2))),

G(n-1) = (B(n-1) + B(n-2)*xc1 + … + B1*(xc1**(n-2)) + (xc1**(n-1))).

Оказывается, если придать коэффициентам Gi свойства коэффициентов геометрической прогрессии, что достигается выполнением равенства G1*G2 = G3, величина xc1 может быть определена при решении квадратного уравнения:

B1*(xc1**2) + (B1**2)*xc1 + ((B1*B2) - B3) = 0.

Нужно только найти величину J при заданной степени точности EPS.

Условие G3 - G1*G2 = 0 является Фундаментальным свойством алгебраических уравнений любой степени.

2. Алгоритм решения

Пусть L = (2**J) - величина степени корня xc1 на J - ом шаге преобразования,

xc1 = (x1**L).

При использовании Фундаментального свойства величина xс1 может быть найдена из квадратного уравнения

D1*(xс1**2) + D2*xс1 + D3 = 0, (4)

D1 = B1, D2 = (D1**2), D3 = (B1*B2) - B3.

или для (xc1**(-1))

D1 = (B(n - 1)/Bn), D2 = (D1**2), D3 = ((B(n-1)/Bn)*(B(n-2)/Bn) -

- (B(n - 3)/Bn)).

Корни квадратного уравнения (4) при E1 = B1, E2 = B2 - (B3/B1),

xc1 = (-E1/2) + (((-E1/2)**2) - E2)**(1/ 2),

или

xc1 = (-E1/2) - (((-E1/2)**2) - E2)**(1/ 2), (5)

x1 = (xc1**(1/L)). (6)

Если алгебраическая Функция F (x) при вычисленном значении корня x1 не удовлетворяет Критерию окончания Счёта, переходят к следующему шагу преобразования (J присваивают значение J + 1) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений EPS.

Уместно отметить, что величина xc1 может быть как действительной, так и комплексной величиной. При вычислении корня x1 следует подвергать Проверке ВСЕ КОРНИ степени L из переменной xc1:

Если xc1 - комплексная величина ( общий случай ), тогда

PI = 3.14159265, I2 = 1,L

mod xc1 = (((Re xc1)**2) + ((Im xc1)**2))**(0.5),

fi xc1 = ATAN2(Im xc1, Re xc1),

Re x1 = ((mod xc1)**(1/L))*COS(((fi xc1)/L) + (2*PI/L)*I2),

Im x1 = ((mod xc1)**(1/L))*SIN(((fi xc1)/L) + (2*PI/L)*I2).

Теорема:

Для любого алгебраического уравнения при заданной степени точности EPS всегда существует такая величина J, при которой корень квадратного уравнения (4) совпадает с одним из корней исходного уравнения (1).

При выборе формулы расчёта следует помнить, что

Если I1 = 1 или I1 = 2, то вычисление xc1 осуществляется по формуле (4) для прямого уравнения (2).

Если I1 = 3 или I1 = 4, то вычисление xc1 происходит по формуле (4) для уравнения, обратного уравнению (2).

Теорема доказывается с помощью Метода математической индукции.

3. Проверка

Дано алгебраическое уравнение третьей степени

(x**3) - 12*(x**2) + 47*x - 60 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0.00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC3 = - 3,9149.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

I2 = 5

Порядковый номер преобразования J = 3

Корень x3 - действительный

x3 = 5,0000.

Корни x1, x2 - действительные

x1 = 4,0001; x2 = 3,0000.

Дано алгебраическое уравнение третьей степени

(x**3) + 11*(x**2) + 51*x + 41 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0.00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC3 = 3,4482.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

I2 = 3

Порядковый номер преобразования J = 2

Корень x3 - действительный

x3 = - 1,0000.

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 5,0000; Im x1 = 4,0000;

Re x2 = - 5,0000; Im x2 = - 4,0000.

Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени

(x**4) - 8*(x**3) - 43*(x**2) + 170*x + 600 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 4,9492.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

I2 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корень x4 - действительный

x4 = 10,000.

Корень x3 - действительный

x3 = 5,0000.

Корни x1, x2 - действительные

x1 = - 2,9997; x2 = - 4,0003.

Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени

(x**4) + 10*(x**3) + 40*(x**2) - 490*x - 4361 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 8,1264.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

I2 = 12.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 5,0000; Im x3 = 8,0000;

Re x4 = - 5,0000; Im x4 = - 8,0000;

Корни x1, x2 - действительные

x1 = 7,0000; x2 = - 7,0000.

Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени

(x**4) + 18*(x**3) + 211*(x**2) + 1242*x + 3298 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 7,5781.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

I2 = 12.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 4,0000; Im x3 = 9,0000;

Re x4 = - 4,0000; Im x4 = - 9,0000;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 5,0000; Im x2 = 3,0000;

Re x2 = - 5,0000; Im x2 = - 3,0000.

Дано алгебраическое уравнение пятой степени

(x**5) - 21*(x**4) - 69*(x**3) + 2429*(x**2) - 720*x - 56700 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = - 8,9272.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

I2 = 5.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корень x5 - действительный

x5 = 18,000.

Корни x3, x4 - действительные

x3 = - 5,0000; x4 = 7,0003;

Корни x1, x2 - действительные

x1 = 9,9997; x2 = - 9,0000.

Дано алгебраическое уравнение пятой степени

(x**5) + 20*(x**4) + 260*(x**3) + 1722*(x**2) + 28862*x + 85202 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = 10,723.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

I2 = 1.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корень x5 - действительный

x5 = 18,000.

Корни x3, x4 - действительные

x3 = - 9,0011; x4 = 7,0002;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 4,9995; Im x1 = 10,000;

Re x2 = - 4,9995; Im x2 = - 10,000.

Дано алгебраическое уравнение пятой степени

(x**5) + 5*(x**4) + 322*(x**3) + 5204*(x**2) + 64445*x + 419630 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = 13,322.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

I2 = 14.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корень x5 - действительный

x5 = - 9,0020;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = 7,0004; Im x3 = 18,002;

Re x4 = 7,0004; Im x4 = - 18,002;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 4,9994; Im x1 = 9,9974;

Re x2 = - 4,9994; Im x2 = - 9,9974.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 2*(x**5) - 82*(x**4) - 220*(x**3) + 1313*(x**2) + 4250*x + 2800 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 3,7543.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x5, x6 - действительные

x5 = - 1,0000; x6 = - 2,0000;

Корни x3, x4 - действительные

x3 = 8,0000; x4 = - 7,0000;

Корни x1, x2 - действительные

x1 = 5,0000; x2 = - 4,9999.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 17*(x**5) + 132*(x**4) - 58*(x**3) - 3699*(x**2) - 9175*x + 5650 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 4,2203.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x5, x6 - действительные

x5 = - 1,0000; x6 = - 2,0000;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 7,0000; Im x3 = 8,0000;

Re x4 = - 7,0000; Im x4 = - 8,0000;

Корни x1, x2 - действительные

x1 = 5,0000; x2 = - 5,0000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 23*(x**5) + 289*(x**4) + 1919*(x**3) + 8738*(x**2) + 26466*x + 29380 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 5,5549.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x5, x6 - действительные

x5 = - 5,0000; x6 = - 2,0000;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 7,0000; Im x3 = 8,0000;

Re x4 = - 7,0000; Im x4 = - 8,0000;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 1,0000; Im x1 = 5,0000;

Re x2 = - 1,0000; Im x2 = - 5,0000.

Дано алгебраическое уравнение шестой степени

(x**6) + 20*(x**5) + 260*(x**4) + 1722*(x**3) + 10141*(x**2) + 28862*x + 85202 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC6 = 6,6335.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

I2 = 7.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корни x5, x6 - комплексно - сопряжённые

Re x5 = - 7,0000; Im x5 = 8,0000;

Re x6 = - 7,0000; Im x6 = - 8,0000;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 2,0001; Im x3 = 5,0001;

Re x4 = - 2,0001; Im x4 = - 5,0001;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 0,99989; Im x1 = 5,0000;

Re x2 = - 0,99989; Im x2 = - 5,0000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 8*(x**6) - 72*(x**5) - 878*(x**4) - 2269*(x**3) + 1374*(x**2)+

+ 10404*x + 7560 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 3,5816.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 - действительный

x7 = - 1,0000.

Корни x5, x6 - действительные

x5 = - 6,9999; x6 = 10,000;

Корни x3, x4 - действительные

x3 = 2,0000; x4 = - 6,0002;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 3,0000; Im x1 = 0,020156;

Re x2 = - 3,0000; Im x2 = - 0,020156.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 11*(x**6) - 48*(x**5) - 1148*(x**4) - 4849*(x**3) - 1059*(x**2) + 21600*x + 18900 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 4,0825.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 - действительный

x7 = - 1,0000.

Корни x5, x6 - действительные

x5 = - 3,0000; x6 = 2,0000;

Корни x3, x4 - действительные

x3 = - 7,0007; x4 = 10,000;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 5,9997; Im x1 = 3,0002;

Re x2 = - 5,9997; Im x2 = - 3,0002.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 28*(x**6) + 419*(x**5) + 4478*(x**4) + 32647*(x**3) + 142460*(x**2) + 322970*x + 289060 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 6,0276.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 - действительный

x7 = - 2,9882.

Корни x5, x6 - действительные

x5 = - 6,0015; x6 = - 3,0114;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 6,9995; Im x3 = 2,0004;

Re x4 = - 6,9995; Im x4 = - 2,0004;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 9,9992; Im x1 = 10,000;

Re x2 = - 9,9992; Im x2 = - 10,000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 28*(x**6) + 419*(x**5) + 4478*(x**4) + 32647*(x**3) + 142460*(x**2) + 322970*x + 289060 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 6,0276.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 - действительный

x7 = - 2,9121.

Корни x5, x6 - действительные

x5 = - 5,9706; x6 = - 3,0980;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 7,0096; Im x3 = 1,9992;

Re x4 = - 7,0096; Im x4 = - 1,9992;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 9,9999; Im x1 = 10,000;

Re x2 = - 9,9999; Im x2 = - 10,000.

Дано алгебраическое уравнение седьмой степени

(x**7) + 31*(x**6) + 503*(x**5) + 5681*(x**4) + 45055*(x**3) +

+227990*(x**2) + 638790*x + 722660 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC7 = 6,8705.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 5.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корень x7 - действительный

x7 = - 3,0000.

Корни x5, x6 - комплексно-сопряжённые

Re x5 = - 1,0000; Im x5 = 10,000;

Re x6 = - 1,0000; Im x6 = - 10,000;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 6,9966; Im x3 = 2,0014;

Re x4 = - 6,9966; Im x4 = - 2,0014;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 6,0034; Im x1 = 2,9979;

Re x2 = - 6,0034; Im x2 = - 2,9979.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) - 16*(x**7) - 68*(x**6) + 2450*(x**5) - 11789*(x**4) -

- 15682*(x**3) + 185520*(x**2) - 63648*x - 725760 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 5,4026.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

I2 = 5.

Порядковый номер преобразования J = 3.

Корни x7,x8 - действительные

x7 = - 3,0000; x8 = - 2,0000;

Корни x5, x6 - действительные

x5 = 4,9977; x6 = 4,0011;

Корни x3, x4 - действительные

x3 = - 12,000; x4 = 7,0101;

Корни x1, x2 - действительные

x1 = 9,0102; x2 = 7,9807.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) - 5*(x**7) - 92*(x**6) + 294*(x**5) - 2791*(x**4) + 85535*(x**3) - 408480*(x**2) - 848640*x + 2207500 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 6,2085.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.

I2 = 9.

Порядковый номер преобразования J = 4.

Корни x7, x8 - действительные

x7 = - 2,0000; x8 = - 12,000;

Корни x5, x6 - действительные

x5 = 5,0007; x6 = 4,0004;

Корни x3, x4 - действительные

x3 = 9,0007; x4 = 6,9983;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 3,0000; Im x1 = 8,0000;

Re x2 = - 3,0000; Im x2 = - 8,0000;

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 2*(x**7) - 181*(x**6) + 408*(x**5) + 13814*(x**4) - 13881*(x**3) - 40064*(x**2) + 3130800*x + 5114900 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 6,8961.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.

I2 = 3.

Порядковый номер преобразования J = 2.

Корни x7, x8 - действительные

x7 = - 3,0001; x8 = - 1,9999;

Корни x5, x6 - комплексно-сопряжённые

Re x5 = - 12,000; Im x5 = 4,0000;

Re x6 = - 12,000; Im x6 = - 4,0000;

Корни x3, x4 - действительные

x3 = 7,9933; x4 = 9,0060;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = 5,0004; Im x1 = 7,0003;

Re x2 = 5,0004; Im x2 = - 7,0003.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 22*(x**7) + 209*(x**6) + 976*(x**5) - 6297*(x**4) - 140690*(x**3) - 424030*(x**2) - 2210200*x + 34748000 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 8,7623.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

I2 = 19.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корни x7, x8 - действительные

x7 = 4,9999; x8 = 7,0001;

Корни x5, x6 - комплексно-сопряжённые

Re x5 = - 12,000; Im x5 = 4,0001;

Re x6 = - 12,000; Im x6 = - 4,0001;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = - 2,0001; Im x3 = 9,0002;

Re x4 = - 2,0001; Im x4 = - 9,0002;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 2,9998; Im x1 = 7,9998;

Re x2 = - 2,9998; Im x2 = - 7,9998.

Дано алгебраическое уравнение восьмой степени

(x**8) + 24*(x**7) + 316*(x**6) + 3466*(x**5) + 29941*(x**4) + 232490*(x**3) + 2258800*(x**2) + 10588000*x + 73467000 = 0.

Решение:

Степень точности EPS = 0,00001.

Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC8 = 9,6219.

Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.

I2 = 19.

Порядковый номер преобразования J = 5.

Корни x7,x8 - комплексно-сопряжённые

Re x7 = - 12,000; Im x7 = 4,0000;

Re x8 = - 12,000; Im x8 = - 4,0000;

Корни x5, x6 - комплексно-сопряжённые

Re x5 = - 1,9999; Im x5 = 9,0002;

Re x6 = - 1,9999; Im x6 = - 9,0002;

Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые

Re x3 = 5,0000; Im x3 = 7,0000;

Re x4 = 5,0000; Im x4 = - 7,0000;

Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые

Re x1 = - 3,0001; Im x1 = 7,9998;

Re x2 = - 3,0001; Im x2 = - 7,9998.

Выводы

Найдено Общее Свойство алгебраических уравнений любой степени, позволяющее определять их корни.

Разработан универсальный Метод решения (в радикалах) алгебраических уравнений произвольной степени

На конкретных примерах показана ПРАВИЛЬНОСТЬ разработанного Метода, приведены ПРИМЕРЫ решения алгебраических уравнений с третьей по восьмую степень включительно.

Решена проблема устойчивости решений линейных дифференциальных и разностных уравнений, не прибегая к численным методам вычисления корней характеристических уравнений.

Решена проблема Собственных значений, необходимых при вычислениях Функций от Матриц.

Решение может быть проверено Студентами, обладающими математическими знаниями в объёме институтского курса и имеющими навыки программирования на языках высокого уровня.

Литература

1. В.А. Никифоровский. В мире уравнений - Москва, Издательство «Наука», (Серия «История науки и техники») АКАДЕМИЯ НАУК СССР, 1987. - 176 с.

2. В.А. Будников. Мифы древней Греции, ч. 1. Лирика - Новосибирская область, Искитим, Издательство «Междуречье», 2006. - 504 с.

3. В.А. Будников. Метод решения алгебраических уравнений. Решение Векового уравнения. - СТАТЬИ ДЕПОНИРОВАНЫ в «СИБКОПИРАЙТ», № 2480 от 02.09.08., Новосибирск, 2008. - 21 с.

Приложение

Размещено на Allbest.ru