Ряды и признаки их сходимости
Некоторые сведения о последовательностях. Понятия, свойства числовых, функциональных, знакопеременных, степенных рядов. Признаки их сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, Лейбница. Теорема Абеля. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.06.2014 |
| Размер файла | 893,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева
Ряды
(Теория и практика)
Содержание
Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши
1.1 Некоторые сведения о последовательностях
1.2 Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры
1.3 Основные свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости
1.4 Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами
1.5 Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами
Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши
2.1 Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд
2.2 Признаки сравнения рядов с положительными членами
2.3 Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами
2.4 Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
3.1 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
3.2 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
3.3 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора
4.1 Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости
4.2 Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля
4.3 Свойства степенных рядов
4.4 Формула Тейлора
Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена
5.1 Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции
5.2 Разложение основных элементарных функций в степенные ряды
6. Задания по теме «Ряды»
6.1 Числовые ряды. Ряды с положительными членами
6.2 Знакопеременные ряды
6.3 Функциональные ряды
6.4 Степенные ряды
Ответы
Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши
1.1 Некоторые сведения о последовательностях
Пусть каждому значению N поставлено в соответствие (по определённым правилам) определённое действительное число R; тогда множество упорядоченных действительных чисел называется числовой последовательностью и обозначается , где ? общий член последовательности. Например, последовательность имеет общий член , где N.
Определение 1. Последовательность называется убывающей, если N, и возрастающей, если N.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число М, R, что N, и ограниченной снизу, если существует такое число М, R, что N.
Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М>0.
(R), что .
Определение 4. Число а называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдётся такой номер N, зависящий от , что для всех натуральных чисел выполняется неравенство . Тогда означает, что N такое, что для всех N: . При этом говорят, что последовательность сходится к числу а.
Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей.
-Если последовательность имеет предел, то он единственен.
-Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.
-Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.
-Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел + (? ).
1.2 Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры
Пусть задана бесконечная последовательность чисел R.
Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида , обозначаемое как . Числа называются членами (элементами) числового ряда.
Определение 6. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: .Тогда и т.д. Получаем последовательность частичных сумм : .
Таким образом, каждому числовому ряду можно поставить в соответствие последовательность частичных сумм : .
Определение 7. Если существует конечный или бесконечный предел S последовательности частичных сумм , то он называется суммой ряда , т.е. .
Если S конечно (S < ), то ряд называется сходящимся; если S = или S не существует, то ряд называется расходящимся и суммы ряд не имеет.
Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел ) или расходится?
Приведём примеры исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.
Решение. Обозначим ? общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда . Так как , то . Тогда , т.е. ряд сходится и его сумма S = 1.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.
Решение. Обозначим ? общий член ряда. Тогда, частичная сумма ряда . Так как , то , тогда , т.е. ряд сходится и его сумма .
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим общий член ряда . Тогда, частичная сумма ряда , , т.е. сумма ряда и ряд расходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.
Решение. Пусть дана геометрическая прогрессия, где q ? знаменатель прогрессии. Ряд называется рядом геометрической прогрессии. Обозначим ? общий член ряда. При n- частичная сумма этого ряда равна
.
Рассмотрим частные случаи.
-Если , то , т.е. ряд сходится.
-Если , то не существует, т.е. последовательность
расходится, а значит расходится и исследуемый ряд геометрической
прогрессии.
-При ряд имеет вид . Тогда , , т.е. ряд расходится.
-При , ряд имеет вид , тогда , т.е. предела последовательности не существует, а значит, искомый ряд расходится.
Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда , в остальных случаях ряд расходится.
1.3 Основные свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости
Пусть дан числовой ряд . Сформулируем его основные свойства.
Свойство 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием или присоединением конечного числа членов, то сходится и сам данный ряд, и наоборот. Иными словами, отбрасывание или присоединение конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда.
Доказательство. Пусть - частичная сумма ряда , - сумма отброшенных членов и - сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в сумму Ck. При достаточно большом n все отброшенные члены будут содержаться в сумме , т.е. (k - фиксированное число, - const). Тогда, если существует , то существует и , т.е. исходный ряд сходится. И наоборот, если существует , то существует и , т.е. сходится составленный ряд. Аналогично доказывается сходимость при добавлении к ряду конечного числа членов.
Свойство 2. Если сходится ряд , то ряд (С - константа) также сходится, причём его сумма равна .
Доказательство. Пусть - частичная сумма ряда , , и ? частичная сумма ряда , . Тогда .
Отсюда, если существует (ряд сходится), то существует , т.е. ряд также сходится.
Свойство 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны A и B соответственно, то их можно почленно складывать (или вычитать), причём ряды также сходятся и их суммы равны .
Доказательство. Пусть , и - частичные суммы этих рядов, тогда
. Переходя к пределу при , получим
Теорема 1 (необходимый признак сходимости рядов). Пусть ряд сходится, тогда его общий член стремится к 0 (при ) (обратное не всегда верно).
Доказательство. Так как ряд сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм имеют место равенства ; . Что и требовалось доказать.
Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: , где ? общий член ряда. Тогда . Частичная сумма ряда имеет вид . Очевидно, каждый член этой суммы , тогда оценка даёт неравенство: , следовательно, , т.е. исходный ряд расходится, хотя .
Следствие из теоремы 1. Если общий член ряда аn (при ) не стремится к 0, то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим общий член ряда . Так как , то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Общий член ряда имеет вид . Данный ряд называется гармоническим, так как каждый его член равен среднему гармоническому двух соседних: . Очевидно неравенство: . Члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы по 2, 4, 8, 16, …, 2k1 членов в каждой группе. Очевидно, сумма каждой группы можно оценить следующим образом: ; ; , т.е. каждая из этих сумм в отдельности больше . Таким образом, для частичных сумм с номерами выполняются неравенства: , , …, ,т.е. частичные суммы гармонического ряда неограниченно растут с увеличением при , значит, . Получаем, что гармонический ряд расходится.
1.4 Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами
Установление сходимости или расходимости числового ряда ? основной вопрос теории рядов; нахождение суммы ряда в случае его сходимости - второстепенная задача. Вопрос сходимости проще всего решается для знакопостоянных рядов, когда все члены ряда одного знака. Для определённости будем рассматривать ряды с положительными () или с неотрицательными членами (). Характерным свойством таких рядов является монотонное возрастание (не убывание) последовательности частичных сумм:
.
Ряд с положительными членами всегда имеет сумму; если эта сумма конечна, то ряд сходится.
Выяснение сходимости рядов с положительными членами опирается на признаки сходимости, которые являются либо необходимыми, либо достаточными, либо необходимыми и достаточными. В частности, к таким рядам применим приведенный выше необходимый признак сходимости рядов (теорема 1). Существует признак, являющийся необходимым и достаточным, который устанавливается следующей теоремой.
Теорема 2. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.
Доказательство (необходимость). Пусть ряд сходится, тогда последовательность его частичных сумм сходится, а значит, она ограничена сверху.
Доказательство (достаточность). Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел, т.е.соответствующий ряд сходится (теорема Вейерштрасса для числовых последовательностей). Теорема доказана.
Следует отметить, что на практике этот признак трудно применим, хотя и представляет собой большой теоретический интерес.
Далее рассматриваются некоторые признаки сходимости рядов с положительными членами, удобные для практического применения, которые являются только достаточными признаками (интегральный и радикальный признаки Коши, признаки сравнения, признак Даламбера).
1.5 Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами
Теорема 3 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд , члены которого удовлетворяют трём условиям:
а) , т.е. исходный ряд с положительными членами;
б) члены ряда монотонно убывают, т.е. ;
в) общий член ряда стремится к нулю: .
Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определённая при функция f(x), такая что , т.е. . Тогда, если несобственный интеграл сходится, то ряд тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится.
Доказательство. Из условий теоремы следует при . Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями , , и осью 0х (рис.1). Разобьём отрезок точками и рассмотрим n криволинейных трапеций.
Из геометрического смысла интеграла площадь криволинейной трапеции . Заменим эту площадь суммой площадей n прямоугольников с единичными основаниями:
Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции
, ,
причём , а
.
Из графика (рис. 1) следует: , т.е.
.
Рассмотрим два случая.
1) Пусть сходится, т.е. имеет конечный предел . Так как , то и .
Итак, частичные суммы ряда ограничены N, тогда по теореме 2 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда с положительными членами) ряд сходится, значит, существует .
2) Пусть интеграл расходится, т.е. неограниченно возрастает при . Тогда из неравенства следует, что последовательность неограниченно возрастает: , т.е. ряд расходится. Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема остаётся верной и тогда, когда её условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k-го (), в таком случае рассматривается интеграл . Замечание 2. Интегральный признак Коши существенно облегчает исследование сходимости ряда, так как позволяет свести этот вопрос к выяснению сходимости интеграла от удачно подобранной соответствующей функции , что легко выполняется, применяя методы интегрального исчисления.
ряд сходимость функция
Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши
2.1 Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд
Определение 1. Числовой ряд вида называется рядом Дирихле с показателем р, R. Заметим, что при получаем ряд , который называется гармоническим.
Пример 1. Исследовать ряд Дирихле на сходимость в зависимости от р.
Решение. 1) В случае, если , члены ряда образуют неубывающую последовательность, а сам ряд расходится по необходимому признаку сходимости ().
2) В случае для исследования сходимости ряда используем интегральный признак Коши. Введём функцию , которая удовлетворяет всем условиям теоремы Коши (теорема 3, лекция 1, разд. 1.5): при она непрерывна, положительна и монотонно убывает,. Вычислим несобственный интеграл в двух случаях а) , б) , т.е. когда :
-Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл расходится и расходится исходный ряд.
-Если , , то при , тогда , следовательно, несобственный интеграл сходится и сходится исходный ряд.
3) В случае имеем гармонический ряд , для которого также применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим интеграл , следовательно, несобственный интеграл расходится, а значит, гармонический ряд расходится.
Вывод: ряд Дирихле сходится, если , и расходится, если .
2.2 Признаки сравнения рядов с положительными членами
Рассмотрим некоторые признаки, устанавливающие сходимость или расходимость рядов с положительными членами путём сравнения их с рядами, сходимость или расходимость которых известна.
Теорема 1 (I признак сравнения рядов с положительными членами). Пусть даны 2 ряда с положительными членами и . Если, начиная с некоторого номера N, для всех выполняется неравенство , тогда
1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ,
2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .
Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа членов (свойство 1, лекция 1, разд. 1.3) не влияет на сходимость или расходимость ряда, можно считать, не нарушая общности, что условие выполнено для всех . Пусть ? частичная сумма ряда , а ? частичная сумма ряда . По условию .
1) Если ряд сходится, то последовательность ограничена сверху, а значит, ограничена сверху и последовательность . Следовательно, по теореме 2 (лекция 1, разд. 1.4) о необходимом и достаточном условии сходимости ряда с положительными членами ряд сходится, так как существует конечный предел последовательности .
2) Если ряд расходится, то последовательность не ограничена, а значит, не ограничена и последовательность . Тогда по теореме 2 (лекция 1, разд. 1.4) ряд расходится. Теорема доказана.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим . Сравним ряд с гармоническим рядом . При , а так как гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .
Ответ: ряд расходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим . Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится, так как знаменатель прогрессии , то первые члены ряда равны, а при , , значит, ряд сходится по I признаку сравнения.
Ответ: ряд сходится.
Теорема 2 (предельный признак сравнения рядов с положительными членами). Даны 2 ряда с положительными членами и и пусть существует , тогда эти два ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно.
Доказательство. Так как по условию и , то согласно свойству предела . По условию , значит, . По определению предела для всех существует окрестность точки С такая, что и существует такое натуральное число , зависящее от , что для всех выполняется неравенство , или .
Если ряд сходится, то сходится и ряд (свойство 2, лекция 1, разд. 1.3), откуда по I признаку сравнения рядов следует сходимость ряда , так как .
Если же ряд расходится, то расходится и ряд , а так как , то по I признаку сравнения рядов ряд также расходится. Теорема доказана.
Замечание. Если , или , то предельный признак не применим (теорема 2 в этих случаях не верна).
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим . Рассмотрим ряд . Так как , то эти два ряда одновременно сходятся, или расходятся (теорема 2). Поскольку ? ряд Дирихле с сходится, следовательно, исходный ряд тоже сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим . Рассмотрим гармонический ряд который расходится. Так как то по теореме 1 ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
2.3 Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами
Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами , и существует конечный предел , тогда: 1) ряд сходится, если , 2) ряд расходится, если , 3) если , то для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.
Доказательство. 1) Пусть предел существует и . Рассмотрим число q такое, что . Из определения предела следует, что существует N, начиная с которого выполняется неравенство , . Таким образом, , т.е. . Берём n = N, N+1, N+2,…, тогда , , , …, .
Запишем исходный ряд в виде: . Рассмотрим новый ряд . Этот ряд есть ряд геометрической прогрессии с и , который сходится, а значит, сходится ряд , так как на основании теоремы 1. Ряд получен из исходного отбрасыванием конечного числа членов , тогда ряд сходится (свойство 1, лекция 1, разд. 1.3). Таким образом, исходный ряд сходится, если . Первая часть теоремы доказана.
2) Пусть . Рассмотрим число q такое, что . , из определения предела следует:,Таким образом, и при общий член ряда не стремится к 0, т.е. ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда (теорема 1, лекция 1, разд. 1.3). Вторая часть теоремы доказана.
3) Если , равен единице или не существует, в этом случае для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим.
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим , ; найдём . Составим предел , т.е. по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим ; найдём . Составим предел
,
т.е. по признаку Даламбера ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
2.4 Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами
Теорема 4 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами и пусть существует конечный предел Тогда: 1) если , ряд сходится, 2) если , ряд расходится, 3) если , то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим.
Доказательство. 1) Пусть существует ; так как , то . Рассмотрим число q такое, что . Из определения предела следует, что существует N, начиная с которого выполняется неравенство , , . Распишем исходный ряд
. (1)
Составим новый ряд
. (2)
Ряд (2) представляет собой ряд геометрической прогрессии со знаменателем : , т.е. этот ряд сходится, а значит, ряд (1) сходится по I признаку сравнения рядов (теорема 1 данной лекции).
2) Пусть существует . Начиная с некоторого , , т.е. , тогда исходный ряд расходится по необходимому признаку сходимости (теорема 1, лекция 1, разд. 1.3).
3) Если (или не существует), то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим. Теорема доказана.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Обозначим . Составим предел:
, т.е. по радикальному признаку Коши ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
3.1 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Определение 1. Числовой ряд , где , называется знакочередующимся рядом.
Для установления сходимости таких рядов существует достаточный признак сходимости, называемый признаком Лейбница.
Теорема 1 (признак Лейбница). Пусть числовой ряд удовлетворяет условиям: 1) , т.е. этот ряд знакочередующийся; 2) члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: т.е. ; 3) общий член ряда стремится к 0, т.е. . Тогда ряд сходится и его сумма .
Доказательство. 1) Сначала рассмотрим частичную сумму чётного порядка и запишем её в виде: . В силу условия 2) теоремы 1 все выражения в скобках положительны, тогда сумма и последовательность монотонно возрастает: .
Теперь запишем эту сумму иначе: . В последнем выражении каждое из выражений в скобках положительно, поэтому , из чего следует, что последовательность является ограниченной, и так как она монотонно возрастает, то она сходится. Другими словами существует , причём .
2) Рассмотрим частичную сумму нечётного порядка , которая положительна. Можно показать, что последовательность монотонно возрастает, так как монотонно возрастает последовательность и . Запишем выражение для в виде: , так как все выражения в скобках положительны, то . По условию 3) теоремы 1, тогда , откуда .
Итак, при всех n (чётных или нечётных), , следовательно, исходный ряд сходится. Теорема доказана.
Замечание 1. Признак Лейбница можно также применять к рядам, для которых условия теоремы выполняются с некоторого номера N. Замечание 2. Условие 2) теоремы 1 (признак Лейбница) о монотонности членов ряда существенно.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим . К данному ряду применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы 1: условие 1) ряд знакочередующийся ; условие 2) выполнено: ; условие 3) также выполнено: . Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится, причем его сумма .
Ответ: ряд сходится.
3.2 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Числовой ряд , члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом. Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд ? знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (?) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 1. Если числовой ряд сходится и его сумма равна S, а частичная сумма равна Sn , то называется остатком ряда, причём , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Рассмотрим сходящийся знакочередующийся ряд как частный случай знакопеременного ряда
,
где . Запишем его в виде , тогда по признаку Лейбница ; так как, то , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Для знакопеременных рядов вводятся понятия абсолютной и условной сходимости.
Определение 2. Ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .
Определение 3. Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема 2 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов). Знакопеременный ряд сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Доказательство. Обозначим через частичную сумму ряда : , а через ? частичную сумму ряда : . Обозначим через сумму всех положительных членов, а через сумму абсолютных величин всех отрицательных членов, входящих в . Очевидно, что .
По условию теоремы ряд сходится, тогда существует , и так как последовательность ? монотонно возрастающая и неотрицательная, то . Очевидно, что , тогда последовательности и являются монотонно возрастающими и ограниченными, причем их пределы равны и . Тогда . Значит, исходный знакопеременный ряд сходится и сходится абсолютно. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 2 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов. Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд сходится по признаку Лейбница (см. пример 1 данной лекции), а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, (гармонический ряд) расходится.
Пример 2. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд .
Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: . Составим ряд из абсолютных величин и применим к нему признак Даламбера. Составим предел , где , . Проведя преобразования, получаем . Таким образом, ряд сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно. Ответ: ряд абсолютно сходится.
Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .
Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ?, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х. Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено. Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.
Ответ: ряд условно сходится.
3.3 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
Свойство 1. Если ряд абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если ? сумма всех его положительных членов, а ? сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда равна .
Свойство 2. Если ряд абсолютно сходится и , то ряд также абсолютно сходится.
Свойство 3. Если ряды и абсолютно сходятся, то ряды также абсолютно сходятся.
Свойство 4 (теорема Римана). Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.
Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора
4.1 Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости
Определение 1. Ряд, члены которого являются функциями одной или нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.
Рассмотрим функциональный ряд, члены которого являются функциями одной независимой переменной х. Сумма первых n членов ряда является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член есть функция от х, определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке . Если соответствующий числовой ряд сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда(где ? сумма числового ряда), то точка называется точкой сходимости функционального ряда . Если числовой ряд расходится, то точка называется точкой расходимости функционального ряда.
Определение 2. Областью сходимости функционального ряда называется множество всех таких значений х, при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается . Отметим, что R.
Функциональный ряд сходится в области , если для любого он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией . Это так называемая предельная функция последовательности : .
Как находить область сходимости функционального ряда ? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда составляем и рассматриваем предел при фиксированном х: . Тогда является решением неравенства и решением уравнения (берём только те решения уравнения, в которых соответствующие числовые ряды сходятся).
Пример 1. Найти область сходимости ряда .
Решение. Обозначим , . Составим и вычислим предел , тогда область сходимости ряда определяется неравенством и уравнением . Исследуем дополнительно сходимость исходного ряда в точках, являющимися корнями уравнения:
а) если , , то получается расходящийся ряд ;
б) если , , то ряд сходится условно (по признаку Лейбница, пример 1, лекция 3, разд. 3.1).
Таким образом, область сходимости ряда имеет вид:.
4.2 Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля
Рассмотрим частный случай функционального ряда, так называемый степенной ряд , где .
Определение 3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
,
где ? постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Степенной ряд есть «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням . Любой числовой ряд является частным случаем степенного ряда при .
Рассмотрим частный случай степенного ряда при : . Выясним, какой вид имеет область сходимости данного ряда .
Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится при всяком х, для которого справедливо неравенство .
2) Если же степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком х, для которого .
Доказательство. 1) По условию степенной ряд сходится в точке , т. е. сходится числовой ряд
(1)
и по необходимому признаку сходимости его общий член стремится к 0, т.е. . Следовательно, существует такое число , что все члены ряда ограничены этим числом: .
Рассмотрим теперь любое х, для которого , и составим ряд из абсолютных величин: . Запишем этот ряд в другом виде: так как , то
(2).
Из неравенства получаем , т.е. ряд
(3)
состоит из членов, которые больше соответствующих членов ряда (2). Ряд представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем , причём , так как . Следовательно, ряд (2) сходится при . Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится.
2) Пусть ряд расходится при , иными словами, расходится числовой ряд . Докажем, что для любого х () ряд расходится. Доказательство ведётся от противного. Пусть при некотором
фиксированном () ряд сходится, тогда он сходится при всех (см. первую часть данной теоремы), в частности, при , что противоречит условию 2) теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие. Теорема Абеля позволяет судить о расположении точки сходимости степенного ряда. Если точка является точкой сходимости степенного ряда, то интервал заполнен точками сходимости; если точкой расходимости является точка , то бесконечные интервалы заполнены точками расходимости (рис. 1).
Рис. 1. Интервалы сходимости и расходимости ряда
Можно показать, что существует такое число , что при всех степенной ряд абсолютно сходится, а при ? расходится. Будем считать, что если ряд сходится только в одной точке 0, то , а если ряд сходится при всех , то .
Определение 4. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал , что при всех этот ряд сходится и притом абсолютно, а для всех х, лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Замечание. На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается отдельно для каждого конкретного ряда.
Покажем один из способов определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд и обозначим .
Составим ряд из абсолютных величин его членов:
и применим к нему признак Даламбера.
Пусть существует
,
где .
По признаку Даламбера ряд сходится, если , и расходится, если . Отсюда ряд сходится при , тогда интервал сходимости: . При ряд расходится, так как . Используя обозначение , получим формулу для определения радиуса сходимости степенного ряда:
,
где ? коэффициенты степенного ряда.
Если окажется, что предел , то полагаем .
Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения .
Определение 5. Обобщенным степенным рядом называется ряд вида
. Его также называют рядом по степеням . Для такого ряда интервал сходимости имеет вид: , где ? радиус сходимости.
Покажем, как находится радиус сходимости для обобщенного степенного ряда.
,
т.е. , где .
Если , то , и область сходимостиR; если , то и область сходимости .
Пример 2. Найти область сходимости ряда .
Решение. Обозначим . Составим предел
.
Решаем неравенство: , , следовательно, интервал сходимости имеет вид: , причём R = 5. Дополнительно исследуем концы интервала сходимости: а) , , получаем ряд , который расходится; б) , , получаем ряд , который сходится условно. Таким образом, область сходимости: , .
Ответ: область сходимости .
Пример 3. Ряд расходится для всех , так как при , радиус сходимости .
Пример 4. Ряд сходится при всех R, радиус сходимости .
4.3 Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд , у которого интервал сходимости , тогда сумма степенного ряда определена для всех и можно записать равенство .
Свойство 1. Степенной ряд сходится абсолютно в любом промежутке , лежащем в интервале сходимости, причём сумма степенного ряда является непрерывной функцией при всех .
Свойство 2. Если отрезок , то степенной ряд можно почленно интегрировать от a до b, т.е. если
, то
.
При этом радиус сходимости не меняется:
где ? коэффициенты проинтегрированного ряда.
Свойство 3. Сумма степенного ряда есть функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Производные от суммы степенного ряда будут суммами рядов, полученных из данного степенного ряда почленным дифференцированием соответствующее число раз, причём радиусы сходимости таких рядов будут те же, что и у исходного ряда.
Если , то , , …, и т.д.
4.4 Формула Тейлора
Рассмотрим важную задачу, которая решается в теории функциональных рядов: по заданной функции найти сходящийся функциональный ряд того или иного типа, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функции. Такая задача называется разложением функции в ряд, например, степенной.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
х0: ,
где , причём в этой окрестности функция имеет все производные до -го порядка.
Задача: Подберём многочлен n-й степени
по степеням так, чтобы в точке х0 совпадали значения и , а также значения их производных до ()-го порядка включительно. Тогда считаем, что в окрестности точки х0 такой многочлен будет приближать данную функцию с некоторой точностью.
Коэффициенты многочлена являются неопределенными коэффициентами, которые необходимо найти исходя из следующих условий:
, , , … , .
Для нахождения этих коэффициентов найдём производные до n-го порядка от :
,
,
…
,
, при всех R.
Подставим в эти соотношения и приравняем , где :
, , ,
, … .
Находим выражения для , решая полученную систему уравнений:
.
Получаем общую формулу для определения коэффициентов многочлена :
, . (4)
Тогда многочлен примет следующий вид:
.
Этот многочлен называется многочленом Тейлора для функции по степеням , где называются коэффициентами многочлена Тейлора, .
Таким образом, для каждой функции , удовлетворяющей поставленным условиям при , можно найти многочлен Тейлора (в точке х0 функция и многочлен совпадают со своими производными до n-го порядка).
Разность , обозначенную через , называют остаточным членом формулы Тейлора, которая имеет вид:
(5)
Формула (5) называется формулой Тейлора для функции по степеням порядка n. Отметим, что
.
Величина остаточного члена формулы Тейлора играет важную роль в оценке точности приближения заданной функции многочленом Тейлора. Существует два вида остаточных членов.
1) Остаточный член в форме Пеано. Преобразуем остаточный член формулы Тейлора, используя некоторые понятия из теории пределов.
а) Функция называется бесконечно малой при , если .
б) Бесконечно малая функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости относительно бесконечно малой функции при , если существует и записывается следующим образом: (что читается так: «в есть о малое от б).
Рассмотрим формулу Тейлора для функции по степеням порядка n: . Остаточный член в формуле Тейлора имеет вид: . Из построения многочлена Тейлора следует Тогда откуда остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде: , т.е. величина остаточного члена есть бесконечно малая более высокого порядка малости относительно при .
Формула Тейлора , в которой , называется формулой Тейлора с остаточным членов в форме Пеано. Поскольку остаточный член при является бесконечно малой величиной, то можно считать, что разность бесконечно мала, т.е. .
2) Остаточный член в форме Лагранжа. Запишем остаточный член в виде
,
где Q(x) есть некоторая функция, подлежащая определению. Можно доказать, что , где точка о заключена между х и х0: , т.е. остаточный член имеет вид: . Тогда формула Тейлора примет вид , который называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Рассмотрим частные случаи формулы Тейлора.
- Если в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа положить , то получаем формулу конечного приращения: (теорема Лагранжа).
- Если в формуле Тейлора положить , то получим формулу, которую называют формулой Маклорена:
,
где остаточный член можно записать в форме Пеано: или в форме Лагранжа:
.
Формула Маклорена является разложением функции в виде многочлена по степеням х.
Пример 5. Разложить функцию в виде многочлена третьего порядка по степеням с остаточным членом в форме Лагранжа.
Решение. Запишем формулу Тейлора для функции в точке в виде многочлена 3-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа
,
где .
Находим производные нужного порядка в точке :
, ; , ; , ; , ; , ,
где .
Полученные данные подставляем в формулу Тейлора и вычисляем .
Можно сказать, что функция заменяется многочленом с точностью, которую можно определить, оценив остаточный член формулы Тейлора при .
Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена
5.1 Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0: и имеет производные любого порядка, тогда для этой функции формально можно составить ряд по степеням :
,
где .
Определение 1. Обобщённый степенной ряд вида называется рядом Тейлора для функции по степеням . Если положить , то получим ряд , который носит название ряда Маклорена для функции по степеням х.
Задача. Пусть задана функция , бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х0: , и пусть для этой функции составлен ряд Тейлора по степеням : и его сумма равна . Если интервал является интервалом сходимости данного ряда с радиусом сходимости R, то можно записать равенство:
при всех .
Выясним, при каких условиях такой степенной ряд имеет своей суммой функцию , т.е. когда , поскольку существуют функции, для которых сумма ряда Тейлора не совпадает с данной функцией.
Рассмотрим пример. Дана функция , которая является бесконечно дифференцируемой . Вычислим производные этой функции в точке : Таким образом, все вычисленные коэффициенты ряда Тейлора-Маклорена для данной функции равны 0, поэтому этот ряд сходится на всей оси, его сумма тождественно равна 0: , однако при ( только в начале координат).
Пусть ряд Тейлора имеет интервал сходимости , где R - радиус сходимости. Тогда, если ? частичная сумма этого ряда, то для любого существует . Рассмотрим теорему, которая даёт условия того, что .
Теорема 1 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда Тейлора к функции f(x)). Для того чтобы ряд Тейлора , , имел своей суммой функцию , т.е. , необходимо и достаточно, чтобы для всех существовал предел , где ? остаток ряда Тейлора.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция есть сумма ряда Тейлора на указанном промежутке: , или , где ? частичная сумма ряда Тейлора, ? остаток ряда Тейлора. Из условия сходимости ряда существует предел , и так как , то существует предел
,
т.е. . Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть существует . Так как функция бесконечно дифференцируема при всех , то для неё имеет место формула Тейлора для всех , где ? остаточный член формулы Тейлора, который совпадает с остатком ряда Тейлора. Тогда частичная сумма соответствующего ряда Тейлора имеет вид:
.
Рассмотрим предел , который обозначим через , учитывая, что : , т.е. . Достаточность доказана.
Замечание. Если , то сумма ряда Тейлора может не совпадать с данной функцией, т.е. , хотя сам ряд может сходиться к другой функции.
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к исходной функции неудобно для проверки на практике конкретных рядов; существуют более простые, хотя и более жёсткие, достаточные условия разложения функции в ряды Тейлора?Маклорена. Сначала сформулируем лемму.
Лемма. Для любого R существует следующий предел:
Доказательство. Рассмотрим степенной ряд , общий член которого . Найдём радиус и область сходимости этого ряда, используя признак Даламбера. Вычисляем предел, учитывая, что :
,
т.е. радиус сходимости ряда . Следовательно, рассмотренный ряд сходится для всех R, тогда по необходимому признаку сходимости общий член ряда , , т.е. для любого R.
Теорема 2 (достаточные условия разложимости функции f(x) в ряд Маклорена). Пусть функция определена и бесконечно дифференцируема на интервале . Если существует такое число , что для каждого натурального N и всех выполняется неравенство: (это означает, что производные любого порядка ограничены одним и тем же числом), тогда остаток ряда Маклорена при , а значит, .
Доказательство. Покажем, что остаток ряда Маклорена стремится к нулю при . Запишем для функции формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа: , где ? многочлен Маклорена, а . Отметим, что частичная сумма ряда Маклорена совпадает с многочленом Маклорена , а остаток ряда есть . Выполним его оценку, используя условия теоремы 2 и учитывая, что для всех :
.
По лемме при , тогда , . Следовательно, по теореме 1 о необходимом и достаточном признаке сходимости ряда Тейлора к исходной функции получаем . Теорема доказана.
5.2 Разложение основных элементарных функций в степенные ряды
Используем изложенную выше теорию для разложения основных элементарных функций в степенные ряды. Для разложения функции в степенной ряд по степеням можно рекомендовать следующий порядок действий:
1) Находим производные функции в точке :
2) Составляем ряд Тейлора .
3) Находим интервал сходимости данного ряда: , где R- радиус сходимости.
4) Исследуем поведение остатка ряда для всех
Если окажется, что , то на основании теорем 1 и 2 делаем вывод, что при всех . В результате получаем формулу разложения функции в степенной ряд.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(1)
Вывод. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии , знаменатель которой и . Можно показать, что интервал сходимости этого ряда , и сумма этого ряда (сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле ). Оценим остаток ряда:
.
При , , тогда на основании теоремы 1
рассмотренный ряд имеет своей суммой функцию .
Разложение (1) имеет место.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
, R (2)
Вывод. Для данной функции запишем ряд Маклорена: . Так как функция ? бесконечно дифференцируема, то все производные существуют и равны N.
Находим эти производные в точке ; получаем для всех N, тогда ряд Маклорена приобретает вид:
.
Этот ряд сходится для всех R. Покажем, что сумма этого ряда равна . Фиксируем некоторое число R и рассмотрим некоторый отрезок [?a; a], на котором для любого N. В этом случае по теореме 2 данный ряд Маклорена будет сходиться на указанном отрезке к исходной функции . Отметим, что это верно для любого фиксированного числа R. Разложение (2) имеет место при всех R.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
, R (3)
Вывод. Для функции запишем ряд Маклорена .
Находим все производные: , , , , …, . Вычисляем эти производные в точке х = 0:
.
Подставив эти значения в ряд Маклорена, получаем ряд:
.
Данный ряд сходится при любом ; покажем, что он сходится к функции . Согласно теореме 2 (поскольку , т.е. все производные ограничены одним и тем же числом) данный ряд Маклорена будет сходиться к исходной функции при всех R. Таким образом разложение (3) имеет место.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
, R (4)
Вывод. Рассмотрим разложение (3)
, R.
Продифференцируем данный степенной ряд; получившийся новый ряд будет также сходиться при всех R к функции, которая равна производной от (свойство 3, лекция 4, разд. 4.3), т.е.
.
Таким образом, разложение (4) имеет место.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(5)
Разложение (5) приводится без вывода. Отметим, что оно верно при фиксированном R и называется биномиальным рядом. При натуральном N этот ряд представляет собой конечную сумму, известную как бином Ньютона:
N.
Для нецелых m имеет место формула Тейлора:
При из этой формулы получаем бесконечный степенной ряд (5). Найдём радиус его сходимости, применяя признак Даламбера. Учитывая, что , , вычисляем предел:
,
тогда при ряд сходится и его радиус сходимости , а интервал сходимости (?1;1) ; можно показать, что , . Итак, разложение (5) верно для всех . В частном случае, когда , из разложения (5) получаем ряд :
,
который при абсолютно сходится. Если в каждом члене ряда заменить х на (? х), то получим разложение (1):
.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(6)
Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем ряд геометрической прогрессии со знаменателем
,
который сходится при , т.е. этот ряд имеет интервал сходимости (?1;1) с радиусом сходимости .
Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится:
.
Сумма полученного ряда равна
(или , так как ).
Таким образом, , т.е. имеет место разложение (6) при . Исследуя сходимость данного ряда в точке, получаем числовой ряд , который условно сходится. Таким образом, область сходимости ряда в разложении (6) имеет вид , а радиус сходимости .
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(7)
Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при получаем разложение
,
из которого заменой на вытекает следующий ряд:
,
сходящийся при , а именно, при . Полученный ряд почленно интегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится, обозначим :
.
Сумма полученного ряда
.
Таким образом, , т.е. разложение (7) имеет место при . Исследуя разложение (7) в точках и , получаем два условно сходящихся числовых ряда и соответственно. Таким образом, область сходимости ряда (7) является отрезком , а радиус сходимости R равен 1.
· Разложение в степенной ряд функции имеет вид:
(8)
Вывод. Из разложения (5) биномиального ряда при и при замене на получаем разложение в степенной ряд:
.
Получившийся ряд сходится при . Этот ряд почленно проинтегрируем на отрезке , используя свойство 3 (лекция 4, разд. 4.3); при этом интервал сходимости сохранится:
.
Сумма полученного ряда . Таким образом,
,
т.е. имеет место разложение (8) на интервале сходимости .
В заключение добавим, что все перечисленные в разделе 5.2 разложения называют основными разложениями элементарных функций в степенной ряд, которые используются как эталонные для разложения других функций.
6. Задания по теме «Ряды»
Выражение вида
,
где - члены ряда, - n-й или общий член ряда, называется бесконечным рядом.
Если члены ряда:
· числа, то ряд называется числовым;
· числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;
· числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;
· положительные числа, то ряд называется знакоположительным;
· числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;
· функции, то ряд называется функциональным;
· степени х, то ряд называется степенным;
· тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.
6.1 Числовые ряды. Ряды с положительными членами
Основные понятия числового ряда
Числовым рядом называется сумма вида
, (1)
где называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.
Суммы:
составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда.
Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм
Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S - суммой сходящегося ряда, т.е.
и .
Эта запись равносильна записи
.
Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.
Задание 1. Найти общий член числового ряда:
Таблица 1
|
1) |
6) |
|
|
2) |
7) |
|
|
3) |
8) |
|
|
4) |
9) |
|
|
5) |
10) |
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: . Если, то ряд расходится - это достаточный признак расходимости ряда.
Задание 2. Проверить выполнение необходимого условия сходимости ряда:
Таблица 2
|
1) |
6) |
|
|
2) |
7) |
|
|
3) |
8) |
|
|
4) |
9) |
|
|
5) |
10) |
Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.
Признаки сравнения рядов с положительными членами
1-й признак сравнения. Пусть и ? ряды с положительными
членами, причём для всех номеров n, начиная с некоторого. Тогда:
Подобные документы
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
контрольная работа [127,2 K], добавлен 07.09.2010Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.
контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряды Лорана. Полюса и особые точки. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Общее дифференциальное уравнение Риккати. Исследование решений в окрестности полюса и существенно особой точки.
дипломная работа [252,1 K], добавлен 15.12.2012
